Eksamen 1 semester del 2 Flashcards
Misoppfatninger og vanlige feil innenfor de 4 regneartene (fjerne og legge til nuller)?
Mange elever bruker reglene om å fjerne og legge til nuller uten å forstå reglene.
Det er naturlig å tenke at dersom en tar bort én eller flere nuller for å gjøre utregningen enklere, må en legge på noen nuller i svaret.
Kan en ta bort alle nullene?
Hvor mange nuller skal svaret inneholde?
Mange algoritmer og regler i matematikk bygger på mønster og egenskaper i posisjonssystemet.
For å kunne bruke disse reglene riktig må elevene forstå hva som skjer med tallene når reglene brukes.
Når de ikke har forstått logikken bak reglene, kan det føre til uhensiktsmessig og feil bruk.
Reglene kan virke vilkårlige, og de bidrar ikke nødvendigvis til tallforståelse knyttet til posisjonssystemet.
Misoppfatninger og vanlige feil innenfor de 4 regneartene (største minus miste siffer)?
En vanlig feil hos elever som misforstår subtraksjonsalgoritmen er at de subtraherer det største sifferet fra det minste uavhengig av hvilket tall det hører til. Eksempel: 82 – 36 = 54 fordi seks minus to er fire og åtte minus tre er fem.
Bakgrunnen for framgangsmåten kan henge sammen med måten subtraksjon blir introdusert på for elevene. Dersom de til å begynne med møter mange oppgaver der denne metoden gir riktig svar, vil noen elever generalisere framgangsmåten til å gjelde alle subtraksjonsoppgaver.
Eksempel: 78 − 33 = 45, fordi 8 minus 3 er 5 og 7 minus 3 er 4.
Det er viktig at læreren er bevisst på at denne misoppfatningen kan oppstå, og på et tidlig stadium presenterer subtraksjonsoppgaver der denne strategien ikke gir riktig svar. For eksempel kan regnestykket 23 − 8 være en introduksjon i subtraksjon for åtteåringer, og et utgangspunkt for å diskutere ulike strategier.
Misoppfatninger og vanlige feil innenfor de 4 regneartene (å dividere et lite tall med et stort tall er umulig) ?
Barn bygger sin første forståelse av de fire regneartene på erfaringer med små hele tall.
Innlæring av divisjon skjer ofte gjennom delingsdivisjon, der oppgavene går ut på å dele et tall på et mindre tall. Dette konkretiseres ofte ved at en mengde blir fordelt likt på et gitt antall personer, gjerne som svar på spørsmål av typen: Hvor mye blir det til hver?
Dersom dividenden konsekvent er større enn divisoren, er det lett for at elevene overgeneraliserer og havner i misoppfatningen å dividere et lite tall med et stort tall er umulig.
Noen elever vil si at det ikke er mulig å løse slike oppgaver, mens andre løser oppgavene ved å snu divisjonen (reverserer). De tror at divisjon er kommutativ, på samme måte som multiplikasjon.
Gjennom utprøving ser vi at en del elever mener at
6 : 25 er det samme som 25 : 6, og at rekkefølgen av tallene ikke spiller noen rolle.
Misoppfatninger og vanlige feil innenfor de 4 regneartene (multiplikasjon gjør svaret større og divisjon svaret mindre)?
Når elever blir introdusert for multiplikasjon og divisjon, jobber de med tall som er større enn 1.
Da vil de oppdage at produktet har større verdi enn faktorene, og at kvotienten har mindre verdi enn dividenden.
Dersom elevene bare får oppleve multiplikasjon som gjentatt addisjon, vil de utvikle en snever tankemodell for hva multiplikasjon er, og få et ufullstendig begrep om multiplikasjon.
Mange vil overgeneralisere og mene at multiplikasjon alltid gir større svar enn utgangspunktet, fordi erfaringene med gjentatt addisjon tilsier det. Da blir det vanskelig å gjøre overslag i regneuttrykk som 324 ∙ 0,38.
Tilsvarende vil elever som møter divisjon bare som delingsdivisjon ikke kunne knytte en praktisk mening til divisjonsoppgaver der de må bruke målingsdivisjon.
I delingsdivisjon kommer det fram i oppgaven hvor mange mengden skal fordeles på. Spørsmålet er hvor mye det blir på hver. Dersom divisoren er et desimaltall vil det være unaturlig for elevene å knytte situasjonen til divisjon.
Eksempel: 3 : 0,5.
Elevene kan for eksempel tenke at tre kroner skal deles på 0,5 barn. Det gir lite mening, men noen vil kunne resonnere seg fram til en løsning på problemet ved å bruke multiplikasjon (6 · 0,5 = 3).
Dette er en fin strategi, men det er ikke opplagt for elevene at det er divisjon de skal knytte til situasjonen.
Derfor er det viktig at elevene får erfaringer med målingsdivisjon. I oppgaver med målingsdivisjon er det opplyst hvor mye det skal være i hver mengde. Svaret er hvor mange det rekker til.
Elevene kan for eksempel tenke at tre liter saft skal deles på flasker som rommer en halv liter hver. Hvor mange flasker må til? Her kommer det fram av situasjonen at det dreier seg om fordeling (deling).
Større tall i multiplikkasjon:
🔷Bygger på gangetakta og ensifret multiplikasjon
🔷Kjennskap til plasseverdi
🔷Multiplikasjonsoppfatninger/ tenkning om multiplikasjon med ulike tankemodeller
NB: tiermultiplikasjon = “ekstra null”
Undervisningskunnskap i matematikk - hva handler det om?
- Kunne beherske algoritmene selv
- Kunne analysere og vurdere ulike standardalgoritmer, se likhetene
- Analysere selvenes løsninger
- Kunne stille spørsmål slik at eleven innser at noe ikke stemmer dersom det er tilfelle
- Kunne gå inn på hvorfor noe ikke stemmer, og kunne benytte og velge gode representantasjoner som viser meningen bak algoritmen (konkreter)
- Kunne vise sammenhenger mellom representasjon og algoritmen
- Kunne analysere elevenes egne metoder og avgjøre om de er spesielle eller generelle
Divisjon - kompetenter for å lykkes?
Vi bygger på: 🔷sammenhengen mellom divisjon og multiplikasjon - gangetabell -faktoren -motsatt operasjon
🔷Tenkning om divisjon som operasjon
- regenefrotellinger
- målings-/ delingsdivisjon
- modellering
🔷Veien mot skriftelig algoritme
- bokføring
- skisser
- plassverdisystem
Divisjonsalgoritmen baserer seg på?
🔷kjennskap til gangetabellen
🔷Riktig plassering av siftene
🔷Substraksjon
Lærerens blikk (divisjon)?
Hvilken elevkunnskapp krever ulike stykker?
🔷kunne velge tall som peker mot det man øansker å oppnå, eks:
- få eleven over fra hoderegning og se behovet for å føre regnskap
- algoritmer for tall som ikke går opp, ha strategi
Oppstykkingsdivisjon?
🔷Veien mot standardalgoritme
🔷kjenne til andre metoder enn standardalgoritmen
🔷Kunne vurdere elevsvar, alternative resonnementer (konkreter, måter å vise på)
🔷NÅR og HVORDAN støtte med konkreter og regnefortellinger
🔷Finne ut svaret - samtale - tankegang –> satandard regnemåte
Utfall?
Et mulig resultat av et forsøk, for eksempel «tre øyne på terningen» i et terningkast
Utfallsrom?
Alle mulige utfall i et forsøk, for eksempel {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Hendelse?
Ett eller flere enkeltutfall. Eksempel: Å få 1 eller 2 på terningen.
Tilfeldig forsøk?
i) Et tilfeldig forsøk som kan utføres vilkårlig mange ganger under samme forhold
ii) Vi kan beskrive de mulige utfallene av forsøket og utfallet av hvert enkelt forsøk, for eksempel kast med terning.
Relativ frekvens?
antall utførte forsøk
Uniform sannsynlighetsmodell?
alle de mulige utfallene er like sannsynlige.
P (A) = 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
——————————-
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
eksemple:
Hendelse A:
resultatet blir et partall, A = {2, 4, 6}
• P (A) = 3 = 1/2
----
6
Sjansespill?
Utfall: {5}
Utfallsrom: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Hendelse (A): å få 5 på et kast
P(A) = 4 = 1
----- ---
36 9Tre typer sannsynlighetsmodeller?
- Subjektiv sannsynlighet
- Utregning
(teoretisk sannsynlighetsmodell) - Eksperimenter
(empirisk sannsynlighetsmodell)
subjektiv sannsynlighet?
•Anslag uten teoretisk grunnlag.
• Erfaringer. Flere svar like gode.
• Ikke uviktig. Brukes i rettssaker:
«Det er overveiende sannsynlig at tiltalte er skyldig.» • «Jeg tror jeg gjenkjenner ham fra åstedet.»
Utregning (teoretisk sannsynlighetsmodell)?
Vi definerer sannsynligheter for hendelser uten å gjennomføre eksperiment.
• Eksempel: Myntkast.
Av myntens form vet vi
at det bare er to mulige utfall:
Krone eller mynt. Utfallsrom: kron og mynt (k,m).
• Når alle utfallene er like sannsynlige.
Eksperimenter (empirisk sannsynlighetsmodell)?
• Vet ikke teoretisk sannsynlighetsmodell.
• Gjør et eksperiment mange ganger.
Bruker relativ frekvens som et mål på sannsynlighetene for et mulig utfall
- Jo flere eksperimenter, jo bedre estimat.
- Brukes når vi ikke har mulighet til å regne ut teoretisk sannsynlighet, for eksempel sjansen for at et fotballag vinner en kamp.
«De store talls lov”?
• Dersom en rekke uavhengige forsøk gjøres
under like forhold, vil frekvensen av en bestemt hendelse stabilisere seg og nærme seg en bestemt verdi når antall forsøk gjøres stadig større:
• «De store talls lov» er linken
mellom empirisk og teoretisk sannsynlighetsmodeller.
Gitt et mulig utfall “u” av et tilfeldig forsøk. Vi kan få den relative frekvensen for “u” til å bli så nær sannsynligheten p(u) som vi ønsker ved å utføre forsøket tilstreklig mange ganger
forventningsverdi for frekvens av et utfall formel: hvis p(u) er sannsynligheten for et utfall “u” og det tilfledige forsøket utføres “n” ganger, så kalles
E(u) = p(u) x n
Uniform sannsynlighetsmodell utdypt?
Dersom alle enkeltutfallene er like sannsynlige, har vi en uniform sannsynlighetsmodell.
Da kan vi regne slik:
P(A) = 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
——————————
𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
P(A) er sannsynligheten for hendingen A navnet du vil kalle det eks “to ganger mynt”
Ikke uniform sannsynlighet?
- Kaste tegnestift.
* Å få en gutt eller jente.
diagrammer
Når vi kaster to terninger, kan vi bruke et diagram. Utfallet {3,5} betyr at terning 1 viser en treer, mens terning 2 viser en femmer.
Antall mulige utfall er 6 · 6 = 36
P(minst en firer) = 11
——
36
P(sum lik 4) = 3 = 1
- ---- ----
36. 12
Krysstabeller?
På en skole er det 690 elever. Alle elevene har svart på om de gjennomsnittlig gjør over eller under en time lekser hver dag. 400 av elevene leser over en time lekser. 320 av elevene er gutter. 140 av jentene leser under en time lekser.
a) Hvor stor er sannsynligheten for at en elev på skolen er en jente som leser over en time lekser?
b) Hvor stor er sannsynligheten for at en gutt leser over en time lekser?
svar: a) Av de 690 elevene er 230 elever jenter som leser over en time lekser. Sannsynligheten blir 230 = 1 ------ --- 690 3
b) Av de 320 guttene leser 170 gutter over en time lekser. Sannsynligheten blir
170 ≈ 0,531 = 53,1%
——
320
Uavhengige hendinger?
Hva er sannsynligheten for å få 6 på den blå terningen og 5 på den rød terningen?
1
—
36
Sannsynligheten for 6 på den blå er 1/6 og
sannsynligheten for 5 på den rød er 1/6
Når vi multipliserer disse to sannsynlighetene får vi
1. ∙ 1 = 1
– — —
6 6 36
Definisjon:
To tilfeldige forsøk er uavhengige hvis sannsynligheten for de mulige utfallene til det ene forsøket ikke påvirkes av informasjon om utfallet av det andre.
Dersom P(A) = P(A|B) er A og B uavhengige hendinger
Eksempel:
Vi kaster en mynt to ganger og lar A stå for at det blir mynt i første kast, mens B vil si at det blir mynt i andre kast.
Undersøk om hending B er uavhengig av hending A
avhengige hendinger?
En svart pose inneholder 5 røde og 3 blå kuler. Kulene blandes godt. Det trekkes to kuler fra posen uten å se. Hva er sannsynligheten for å trekke to røde?
Vi antar at det er en uniform sannsynlighet, hvor alle kulene har like stor sannsynlighet for å bli trukket.
Eksempel
Trekning 1:
Uniform sannsynlighetsmodell med 5 gunstige utfall og 8 mulige utfall
Trekning 2: Gitt gunstig utfall i forrige trekning er det nå 4 gule og 3 blå. Uniform sannsynlighetsmodell med 4 gunstige og 7 mulige. 5 ∙ 4 = 20 = 5 --- --- ----- --- 8 7 56 14
p(R1 ligger R2ligger ) = p(R1 ligger) · p(R2 ligger│R1 ligger) = 5 ∙ 4
—- —
8. 7
Sannsynligheten for rød i andre trekning, gitt rød i første trekning. Det vil si at hendelsene er avhengig av hverandre.
Generelt: to hendinger, A og B, er avhengige når P(A) ≠ P(A|B)
formell:
Når A og B er avhengige hendinger, har vi
P(AxB) = P(A) · P(B|A)
Hvordan jobbe mot forståelse av sammensatte forsøk?
- bygge/ fysisk = konkret
- klosser for å vise = halvkonkret
- bilder til utregning = halbabstrakt
- utregning = abstrakt
Mengdesirkel (Venndiagram)?
Hva er sannsynligheten for at et terningkast (sekssidet terning) gir et partall (hendelse A) eller er mindre enn 5 (hendelse B) = ?
𝑃 (𝐴 eller 𝐵 ) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵) − 𝑃 (𝐴 og 𝐵)
annsynligheten for at A eller B inntreffer er lik sannsynligheten for at A inntreffer pluss sannsynligheten for at B inntreffer minus sannsynligheten for at A OG B (samtidig) inntreffer.
Sannsynligheten for at
et terningkast gir et partall (hendelse A) eller er mindre enn 5 (hendelse B)
3/6 + 4/6 -2/6 = 5/6
