Definiciones Capitulo Espacio Topo y Continuidad

Question 1

Definicion de Topologia en X

Answer 1

T conjunto de subconjuntos de X es topologia si verifica:
tiene al vacio y a X,
union arbitraria esta en T
interseccion finita esta en T

Question 2

Definicion de Hausdorff

Answer 2

Un espacio es Hausdorff si dados dos puntos x,y existen dos abiertos disjuntos que los separan

Question 3

Definicion de conjunto Cerrado

Answer 3

A cerrado si su complemento es abierto

Question 4

Definicion de punto interior

Answer 4

decimos que p es interior a A si existe todo un entorno de p que queda contenido en A

Question 5

Definicion de Punto de acumulacion de A

Answer 5

p es de acumulacion de A si para todo abierto que contiene a p, entonces el abierto sin p intersecta A

Question 6

Definicion de clausura de A

Answer 6

la clausura de A es la union de los puntos de acumulacion con los del conjunto

Question 7

Definicion de frontera de A

Answer 7

Decimos que p es frontera de A si todo abierto que contenga a p intersecta el conjunto y su complemento

Question 8

Definicion de conjunto denso

Answer 8

A es denso si su clausura es todo

Question 9

Definicion de convergencia de una sucesion

Answer 9

Una sucesion a coverge a p si para todo entorno de p se tiene que existe n0 tal que despues de n0 la sucesion se mete en el entorno

Question 10

Cuando una topologia es mas fina que otra?

Answer 10

T1 es mas fina que T2 si T2 esta contenida en T1

Question 11

Definicion de base de una topologia

Answer 11

Decimos que B es base de una topologia si todo x en X esta en algun elemento de B y Dada una interseccion de elementos de la base existe dentro de la interseccion un elemento de la base que contiene a x, con x en la intereseccion

Question 12

Def topologia producto

Answer 12

Es la inducida por la vavse B = AxB con A y B en Tx y Ty

Question 13

Def de subbase

Answer 13

S es una subbase si la flia de intersecciones finitas de elementos de S forman una base

Question 14

Def de f: X -> Y continua

Answer 14

f es continua si todo abierto de Y tiene una preimagen abierta

Question 15

Definiciones equivalentes de continuidad

Answer 15

f continua sii
dado x en X y V abierto en Y que contiene a f(x) entonces hay un entorno de x que por f queda contenido en V sii
Para todo A en X se tiene que si p esta en A clausura entonces f(p) esta en f(A) clausura sii
Preimagenes de cerrados son cerrados

Question 16

Def Homeomorfismo

Answer 16

funcion biyectiva continua con inversa continua

Question 17

Def de funcion abierta

Answer 17

f es abierta si la imagen por f de un abierto es abierto en Y

Question 18

Def de funcion cerrada

Answer 18

f es cerrada si la imagen de un cerrado por f es cerrada

Question 19

Porque no es lo mismo una funcion Cerrada que una Abierta

Answer 19

porque f no anda bien con los complementos, por ejemplo las funciones cte mandan cerrados en cerrados, pero tambien abiertos en cerrados