Conteúdo 2 Flashcards
Curvas parametrizadas - vetor posição e vetor velocidade
vetor posição –> r(t) = [ f(t), g(t), h(t) ]
vetor velocidade –> v(t) = r’ (t) = [ f’ (t), g’ (t), h’ (t) ]
Comprimento de curva
L = int_a_b | r’ (t) | dt
(por aproximação com derivadas, usando o teorema do valor médio e somas de Rienmann)
Integral de LINHA
int_C [ f(x,y) ds] = int_a_b [ (f (r(t))) . | r’(t) | dt]
(independe da parametrização:
int_(-C) [ f(x,y) ds] = int_C [ f(x,y) ds] )
. motivação -> massa de um fio
r’(t) |
r’(t) | = raiz[ (r’(t)^i)² + (r’(t)^j)² + (r’(t)^k)² ]
Integral de CAMPO Vetorial
Integral de CAMPO Vetorial
. int_C [ F . dr] = int_C [ F . T . ds ] = int_a_b [ (f (r(t))) . | r’(t) | dt]
(depende da parametrização:
int_(-C) [ f(x,y) ds] = - int_C [ f(x,y) ds] –> o sentido importa)
. motivação -> trabalho
Campos CONSERVATIVOS -
TEOREMA FUNDAMENTAL DA INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO
Seja F um campo vetorial em uma região D e seja C uma curva em D. Então:
int_C [ F . dr] = f (r(b)) - f (r(a))
F = ∇ f
. Se int_C [ F . dr] = 0 –> curva fechada em uma região –> F conservativo em D.
. logo, não depende dos pontos inicial e final.
Ex = campo gravitacional / elétrico
TEOREMA FUNDAMENTAL DA INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO - Rotacional
o rotacional de um campo conservativo é sempre nulo
rot(∇f) = 0
rot(^F) = (0,0,0)
(vetor rotacional transforma um campo vetorial em um novo campo vetorial)
rot = ^∇ x ^V (^V = campo vetorial)
TEOREMA FUNDAMENTAL DA INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO - P e Q
se F(x,y) = < P(x,y) , Q(x,y) > é um campo CONSERVATIVO, e P e Q tem derivadas parciais de primeira ordem definidas no domínio D, então:
del_P/del_y = del_Q/del_x
(derivadas parciais trocadas!!)
TEOREMA DE GREEN (ideia)
o teorema dá a relação entre a integral de linha sobre uma curva simples fechada C e uma integral dupla sobre a região plana D limitada por C.
Sistema ANTI - horário –> POSITIVO
(região à esquerda da curva -> + C )
TEOREMA DE GREEN
int_fech_c [ Pdx + Qdy] = int int [ del_Q/del_x - del_P/del_y ] dA
Resumo resultados
1) TFILC: F = ∇f
int_c F . dr = f(r(b) - f(r(a))
2) F é conservativo em D <=> int_C F . dr, para toda C FECHADA em D
3) F = Pi + Qj em D (Py DIFERENTE de Qx em um ponto) => NÃO é conservativo
4) Py = Qx em D E D simplesmente conexa ==> F é CONSERVATIVO em D
5) GREEN: F = Pi + Qy em D
int_C [Pdx + Qdy] = int int_D [ Qx - Py] dA
CAMPO ROTACIONAL
equivalente dos resultados 2,3 e 4 para R³
F(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k
CAMPO ROTACIONAL - ROTACIONAL de F
rot F = ∇ X f = | i j k |
| del_x del_y del_z |
| P Q R |
rot F = (Rz - Qz)i + (Pz- Rx)j + (Qx-Py)k
se rot F DIFERENTE de 0 em algum ´ponto -> NÃO é conservativo
CAMPO ROTACIONAL - Campos CONSERVATIVOS
rot F = (0,0,0) & E SIMPLESMENTE CONEXO
rot F = (0,0,0) ==
. Rz = Qz
. Pz = Rx
. Qx = Py
