Conteúdo 1

Question 1

Integrais múltiplas - Teorema de Fubini

Answer 1

Volume = int int f(x,y) dA = int_a_b A(x) dx =
int_a_b [ int_c_d f(x,y) dy ] dx
= int_c_d [ int_a_b f(x,y) dx ] dy

Question 2

Integral dupla em REGIÕES ‘CENTRAIS’ (conceito e base para solução)

Answer 2

Conceito: você aplica o teorema de Fubini para a integral dupla ( volume = int int f(fx,y) dA, tomando cuidado para integrar em valores do retângulo apenas dentro da região (isto é, onde a função é diferente de 0 )

Solução: As regiões podem ser do tipo 1 (em função de x) ou 2 (em função de y)

tipo 1 (em função de x): int_a_b int_g1(x)_g2(x) [ f(x,y) dydx ]

tipo 2 (em função de y): int_c_d int_h1(y)_h2(y) [ f(x,y) dxdy ]

Question 3

Significado físico de integrais duplas e físicas

Answer 3

int dupla = volume
int tripla = massa

Question 4

Mudança de Variável - matriz jacobiana e jacobiano

Answer 4

Matriz Jacobiana
d_parcial (x,y) / d_parcial (u,v) = [ xu yu // xv yv ]

Jacobiano (determinante da matriz) = XuYv - XvYu

Question 5

Mudança de Variável - Integral

Answer 5

int int f(x,y) dA = int int ([ f ( x(u,v), y(u,v) ] . jacobiano ] dA

Question 6

Mudança de Variável - Mudança polar: relembrando coordenadas polares

Answer 6

x² + y² = r²
x = rcos(o)
y = rsen(o)

tg(o) = y/x –> arctg(o)

Question 7

Mudança de Variável - Mudança polar

Answer 7

Jacobiano [ d_parcial (x,y) / d_parcial (r,theta) ] = r
dxdy -> r dr d_theta

Question 8

Coordenadas Esféricas - variáveis

Answer 8

3 informações necessárias para localizar um ponto:
rho
phi
sigma

Question 9

Coordenadas Esféricas - melhores objetos para trablhar e variáveis constantes

Answer 9

se rho = constante —> Esfera
se phi = constante —> Cone
se sigma = constante —> Plano

Question 10

Coordenadas Esféricas - transformação do sistema cartesiano para o esférico [ (x,y,z) –> (rho,phi,sigma) ]

Answer 10

x = rho sen(phi) cos(sigma)

y = rho sen(phi) sen(sigma)

z = rho cos(phi)

Question 11

Coordenadas Esféricas - Limites de Integração e Jacobiano

Answer 11

• Limites de integração
  0 <= rho <= R
  0 <= phi <= pi
  0 <= sigma <= 2 pi

Jacobiano = | d_parcial (x,y,z) / d_parcial (rho,phi,sigma) | = rho² sen(phi)