Conteúdo 2 Flashcards
EDO de 2° ordem
(equação geral e eq homogênea)
a{2}(x)y’’ + a{1}(x)y’ + a_{0}(x)y = g(x)
homo -> a{2}(x)y’’ + a{1}(x)y’ + a_{0}(x)y = 0
Solução EDO de 2° ordem
Y = Yc + Yp
Yc = c1y1 + c2y2 (solução homogênea)
Yp = solução particular
EDO de ordem superior - operador “D”
[(d^n/dx^n) y] = D^n y
(D = derivada de ordem n de y)
EDO de ordem superior - operador “L”
esse operador corresponde ao lado esquerdo de uma EDO de ordem superior, mas sem a especificação da variável
L = a{2}(x)D² + a{1}(x)D + a_{0}(x)
EDO de 2° ordem - teorema de existência e unicidade (pvi)
o PVI
. y’’ + p(t)y’ + q(t)y = f(t)
. y(t0) = yo
. y’(t0) = y’0
para p(t), q(t), f(t) funções contínuas em uma intervalo aberto I contendo t0 tem uma ÚNICA solução nesse intervalo
EDO de 2° ordem - princípio da superposição
se y1(t) e y2(t)são soluções da eq homo, então
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t)
para c1 e c2 constantes, também é.
EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes
(hipótese sobre y, y’ e y’’)
y = e^{mx}
y’ = me^{mx}
y’’ = m²e^{mx}
ay’’ + by’ + cy = 0 –> e^{mx}[am²+bm+c] = 0
am²+bm+c = 0
por bhaskara, descobrimos o delta e as raízes de m
m = [ -b +/- raiz(delta) ] / 2a
EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes -
Caso 1 (delta > 0 )
(delta > 0 )
m1 diferente de m2
y = c1e^{m1x} + c2e^{m2x}
EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes -
Caso 1 (delta = 0 )
(delta = 0 )
m1 = m2
y = c1e^{m1x} + c2xe^{m1x}
EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes -
Caso 1 (delta < 0 )
m = alpha +/- beta i (número complexo)
y = e^{aplha x} (c1cos(beta x) + c2sen(beta x))
Dependência linear
Um conjunto {v1,v2} pe LINEARMENTE INDEPENDENTE se a ÚNICA SOLUÇÃO da equação vetorial c1v1 + c2v2 = 0 é a TRIVIAL (c1=c2=0)
Se o determinante é DIFERENTE de 0 –> LI
Wronskiano
se phi_1, phi_2 pertencentes ao conjunto solução são tais que:
w(t0) = [
Wronskiano
se phi_1, phi_2 pertencentes ao conjunto S são tais que:
w(t0) = [ phi_1 (t0) phi_2 (t0) ] DIFERENTE de 0
[ phi_1’ (t0) phi_2’ (t0) ]
(w(t0) = wronskiano)
Então toda solução desse conjunto são CL (combinação linear) de phi_1 e phi_2.
Teorema fundamental da álgebra
Todo polinômio de grau y^{n} tem n raízes, mas nem todas elas são necessariamente reais ou diferentes
Números complexos - forma algébrica
z = a + bi
z = qualquer número complexo
a = parte real
b = parte imaginária
i = unidade imaginária (i² = -1)
Números complexos - Forma trigonométrica
z = rho ( cos(theta) + i sen(theta) )
(lembrar como z = rho(cis(theta)), por exemplo)
a = rho cos(theta)
b = rho sen(theta)
theta = argumento
rho = | z | = raiz(a² + b²) (por pitágoras)
Números complexos - potências de i
i^{0} = 1
i^{1} = i
i^{2} = -1
i^{3} = -i (i^{2}. i^{1} = i(-1) = -i )
Números complexos - identidade de euler <3
e^{i pi} + 1 = 0
e^{i theta} = cos(theta) + i sen(theta)
Redução de ordem
quando a solução y1 ou y2 não é conhecida
hipótese: y2 = u(x) . y1 ( u(x) = -c2/c1 )
redução de ordem –> w = u’
y2 = y1 int[ (e^{-int P dx}) / y1²] dx
(é LI pois essa foi a hip inicial)
EDO não homogênea - Coeficientes a determinar (conceito)
ideia geral –> ‘palpite’ sobre a forma de yp (solução particular)
limitações:
a) EDO linear com coeficientes constantes (que já sabemos calcular)
b) g(x) deve ser:
. constante (ou) .e^{alpha x} (ou) .sen(beta x) (ou) .cos(beta x)
ou somas/produtos dessas funções
EDO não homogênea - Coeficientes a determinar (resumo geral)
g(x) forma de yp
1 A
5x + 7 Ax + B
x³ + x² + 1 Ax³ + Bx² + Cx + E
sen(4x) A cos(4x) + B sen(4)
cos(4x) A cos(4x) + B sen(4)
e^{5x} A e^{5x}
(lembrar que quando g(x) tiver senos ou cossenos, a forma padrão é fazer yp como uma SOMA de COS e SEN)
EDO não homogênea - Coeficientes a determinar
(abordagem do anulador –> operadores anuladores )
D^{n} —-anula—> x^{n-1}
[D - alpha]^{n} —-anula—> x^{n-1} e^{alpha x}
[D - 2 alpha D + (alpha² + beta²)= ]^{n} —-anula—>
. x^{n-1} e^{alpha x} sen(beta x)
. x^{n-1} e^{alpha x} cos(beta x)
EDO não homogênea - Coeficientes a determinar
(abordagem do anulador –> conceito)
a2(x) y’’ + a1(x) y’ + a0(x) y = g(x)
y = yc + yp
L(y) = (a2 D² + a1 D + a0) y
(quando fazemos isso, anulamos o lado direito da EDO nao homo.)
EDO de 2° ordem - Método de Variação dos Parâmetros (teoria)
Quando usar:
quando se conheça duas soluções fundamentais y1(t) e y2(t) da equação homogênea correspondente em um intervalo I, onde o wronskiano Wy1, y2 diferente de 0, para todo t ∈ I.
EDO de 2° ordem - Método de Variação dos Parâmetros (método)
u1 = int [u1’ dx]
u2 = int [u2’ dx]
u1 = int [ (-y2 f(x) ) / W ] dx
u1 = int [ (y1 f(x) ) / W ] dx
Yp = u1y1 + u2y2
(lembrando que Y = Yc + Yp)
Soluções por séries de potências (ideia geral)
1) Escrever y como somatório
(ex: y(x) = Σ(n=0 até o infinito) [ a_{n} . x^{n} )
derivar essa série de y
2)encontrar a fórmula de recorrência e termo geral
(Uma recorrência é uma expressão que dá o valor de uma função num dado ponto em termos dos valores da mesma função em pontos anteriores.)
3) substituir na EDO
