Conteúdo 2

Question 1

EDO de 2° ordem
(equação geral e eq homogênea)

Answer 1

a{2}(x)y’’ + a{1}(x)y’ + a_{0}(x)y = g(x)

homo -> a{2}(x)y’’ + a{1}(x)y’ + a_{0}(x)y = 0

Question 2

Solução EDO de 2° ordem

Answer 2

Y = Yc + Yp

Yc = c1y1 + c2y2 (solução homogênea)
Yp = solução particular

Question 3

EDO de ordem superior - operador “D”

Answer 3

[(d^n/dx^n) y] = D^n y
(D = derivada de ordem n de y)

Question 4

EDO de ordem superior - operador “L”

Answer 4

esse operador corresponde ao lado esquerdo de uma EDO de ordem superior, mas sem a especificação da variável

L = a{2}(x)D² + a{1}(x)D + a_{0}(x)

Question 5

EDO de 2° ordem - teorema de existência e unicidade (pvi)

Answer 5

o PVI
. y’’ + p(t)y’ + q(t)y = f(t)
. y(t0) = yo
. y’(t0) = y’0

para p(t), q(t), f(t) funções contínuas em uma intervalo aberto I contendo t0 tem uma ÚNICA solução nesse intervalo

Question 6

EDO de 2° ordem - princípio da superposição

Answer 6

se y1(t) e y2(t)são soluções da eq homo, então
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t)
para c1 e c2 constantes, também é.

Question 7

EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes
(hipótese sobre y, y’ e y’’)

Answer 7

y = e^{mx}
y’ = me^{mx}
y’’ = m²e^{mx}

ay’’ + by’ + cy = 0 –> e^{mx}[am²+bm+c] = 0
am²+bm+c = 0

por bhaskara, descobrimos o delta e as raízes de m
m = [ -b +/- raiz(delta) ] / 2a

Question 8

EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes -
Caso 1 (delta > 0 )

Answer 8

(delta > 0 )
m1 diferente de m2

y = c1e^{m1x} + c2e^{m2x}

Question 9

EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes -
Caso 1 (delta = 0 )

Answer 9

(delta = 0 )
m1 = m2
y = c1e^{m1x} + c2xe^{m1x}

Question 10

EDO de ordem superior:
Eq homogênea com coeficientes constantes -
Caso 1 (delta < 0 )

Answer 10

m = alpha +/- beta i (número complexo)

y = e^{aplha x} (c1cos(beta x) + c2sen(beta x))

Question 11

Dependência linear

Answer 11

Um conjunto {v1,v2} pe LINEARMENTE INDEPENDENTE se a ÚNICA SOLUÇÃO da equação vetorial c1v1 + c2v2 = 0 é a TRIVIAL (c1=c2=0)

Se o determinante é DIFERENTE de 0 –> LI

Question 12

Wronskiano

Answer 12

se phi_1, phi_2 pertencentes ao conjunto solução são tais que:

w(t0) = [

Question 12

Wronskiano

Answer 12

se phi_1, phi_2 pertencentes ao conjunto S são tais que:

w(t0) = [ phi_1 (t0) phi_2 (t0) ] DIFERENTE de 0
[ phi_1’ (t0) phi_2’ (t0) ]
(w(t0) = wronskiano)

Então toda solução desse conjunto são CL (combinação linear) de phi_1 e phi_2.

Question 13

Teorema fundamental da álgebra

Answer 13

Todo polinômio de grau y^{n} tem n raízes, mas nem todas elas são necessariamente reais ou diferentes

Question 14

Números complexos - forma algébrica

Answer 14

z = a + bi

z = qualquer número complexo
a = parte real
b = parte imaginária
i = unidade imaginária (i² = -1)

Question 15

Números complexos - Forma trigonométrica

Answer 15

z = rho ( cos(theta) + i sen(theta) )
(lembrar como z = rho(cis(theta)), por exemplo)

a = rho cos(theta)
b = rho sen(theta)

theta = argumento
rho = | z | = raiz(a² + b²) (por pitágoras)

Question 16

Números complexos - potências de i

Answer 16

i^{0} = 1
i^{1} = i
i^{2} = -1
i^{3} = -i (i^{2}. i^{1} = i(-1) = -i )

Question 17

Números complexos - identidade de euler <3

Answer 17

e^{i pi} + 1 = 0
e^{i theta} = cos(theta) + i sen(theta)

Question 18

Redução de ordem

Answer 18

quando a solução y1 ou y2 não é conhecida

hipótese: y2 = u(x) . y1 ( u(x) = -c2/c1 )
redução de ordem –> w = u’

y2 = y1 int[ (e^{-int P dx}) / y1²] dx
(é LI pois essa foi a hip inicial)

Question 19

EDO não homogênea - Coeficientes a determinar (conceito)

Answer 19

ideia geral –> ‘palpite’ sobre a forma de yp (solução particular)
limitações:
a) EDO linear com coeficientes constantes (que já sabemos calcular)
b) g(x) deve ser:
. constante (ou) .e^{alpha x} (ou) .sen(beta x) (ou) .cos(beta x)
ou somas/produtos dessas funções

Question 20

EDO não homogênea - Coeficientes a determinar (resumo geral)

Answer 20

g(x) forma de yp
1 A
5x + 7 Ax + B
x³ + x² + 1 Ax³ + Bx² + Cx + E

sen(4x) A cos(4x) + B sen(4)
cos(4x) A cos(4x) + B sen(4)

e^{5x} A e^{5x}

(lembrar que quando g(x) tiver senos ou cossenos, a forma padrão é fazer yp como uma SOMA de COS e SEN)

Question 21

EDO não homogênea - Coeficientes a determinar
(abordagem do anulador –> operadores anuladores )

Answer 21

D^{n} —-anula—> x^{n-1}
[D - alpha]^{n} —-anula—> x^{n-1} e^{alpha x}
[D - 2 alpha D + (alpha² + beta²)= ]^{n} —-anula—>
. x^{n-1} e^{alpha x} sen(beta x)
. x^{n-1} e^{alpha x} cos(beta x)

Question 21

EDO não homogênea - Coeficientes a determinar
(abordagem do anulador –> conceito)

Answer 21

a2(x) y’’ + a1(x) y’ + a0(x) y = g(x)
y = yc + yp

L(y) = (a2 D² + a1 D + a0) y
(quando fazemos isso, anulamos o lado direito da EDO nao homo.)

Question 22

EDO de 2° ordem - Método de Variação dos Parâmetros (teoria)

Answer 22

Quando usar:
quando se conheça duas soluções fundamentais y1(t) e y2(t) da equação homogênea correspondente em um intervalo I, onde o wronskiano Wy1, y2 diferente de 0, para todo t ∈ I.

Question 23

EDO de 2° ordem - Método de Variação dos Parâmetros (método)

Answer 23

u1 = int [u1’ dx]
u2 = int [u2’ dx]

u1 = int [ (-y2 f(x) ) / W ] dx
u1 = int [ (y1 f(x) ) / W ] dx

Yp = u1y1 + u2y2
(lembrando que Y = Yc + Yp)

Question 24

Soluções por séries de potências (ideia geral)

Answer 24

1) Escrever y como somatório
(ex: y(x) = Σ(n=0 até o infinito) [ a_{n} . x^{n} )
derivar essa série de y

2)encontrar a fórmula de recorrência e termo geral
(Uma recorrência é uma expressão que dá o valor de uma função num dado ponto em termos dos valores da mesma função em pontos anteriores.)

3) substituir na EDO