Conteúdo 1 Flashcards
Definição Equação diferencial
Equação diferencial -> incógnitas são funções e a equação evolve derivadas dessas destas funções
( enquanto que equações algébrias são aquelas em que as incógnitas são números)
Classifcação de equações diferencias
TIPO:
-Ordinária
- Parcial
ORDEM: 1° / 2° / …
LINEARIDADE:
-Linear
[ tem a forma: a0(t) y + a1(t) dy/dt + a2(t) d²y/d²t + … = f(t) ]
- Não linear
Equações (diferenciais ordinárias) SEPARÁVEIS - definição
podem ser escritas na forma
g(y) dy/dx = = f(x)
ou seja
g(y) y’ = f(x)
(de um lado apenas y e do outro apenas x)
Equações (diferenciais ordinárias) SEPARÁVEIS - solução geral
1) isola-se y, de modo que um lado fique com as variáveis x e outro com as variáveis y
2) integra-se ambos lados em relação a x (lembrando que y’dx = dy)
3) solução é dada implicitamente, de modo que um seja uma função y(x) somada a uma constante C
4) alguns problemas tem um valor inicial (PVI - problema de valor inicial, do tipo y(x) = a, por exemplo). Fazendo a substituição conseguimos encontrar o valor da constante C.
Equações (diferenciais ordinárias) SEPARÁVEIS - intervalo de validade da solução do PVI / pontos de máximo local / esboço do gráfico da solução
intervalo de validade da solução do PVI -> maior intervalo contendo x0 para o qual a solução y(x) e a sua derivada dy/dx estão definidas
- observa-se onde a equação diferencial não está definida e estuda esses pontos com a solução
máximo local -> a reta tangente à curva é horizontal (dy/dx = 0)
esboço da curva -> reta vertical = dx/dy = 0 = [1/(dy/dx)]
Equações (diferenciais ordinárias) SEPARÁVEIS - intervalo de validade da solução do PVI / pontos de máximo local / esboço do gráfico da solução
intervalo de validade da solução do PVI -> maior intervalo contendo x0 para o qual a solução y(x) e a sua derivada dy/dx estão definidas
- observa-se onde a equação diferencial não está definida e estuda esses pontos com a solução
máximo local -> a reta tangente à curva é horizontal (dy/dx = 0)
esboço da curva -> reta vertical = dx/dy = 0 = [1/(dy/dx)]
equações separáveis - aplicação: juros compostos
dS/dt = k . S
(S = dinheiro, k = taxa, t = tempo)
calculando a integração por partes -> S = Ce^{kt}
C = constante
modelos matemáticas - definição e passos
def -> uma eq diferencial que descreve algum processo físico é chamada de modelo matemático do processo
Passos:
1) identificar as variáveis independente e dependente, atribuindo letras pra representá-las (a variável dependente muitas vezes é o tempo)
2) escolha das unidades de medida de cada variável
3) usar uma lei conhecida sobre o princípio básico que envolve o problema
4) expressar essa lei ou princípio com as variáveis do passo 1
5) certificar de que as unidades físicas batem
Equações lineares de primeira ordem (formas, homonegêneas e não-homogêneas)
a1(x) y’ + a0(x) y = g(x)
FORMA PADRÃO == (d/dx) y + P(x)y = f(x)
f(x) = 0 -> homogênea
f(x) diferente de 0 -> não-homogênea
Equações lineares de primeira ordem - Método do Fator Integrante
Forma padrão de Equações lineares de primeira ordem == (d/dx) y + P(x)y = f(x)
FATOR INTEGRANTE = e^{ int P(x)dx }
y . e^{ int P(x)dx } = int { f(x) e^{ int P(x)dx } } dx . e^{ int P(x)dx }
(ou y . FI = int { f(x) FI } dx . FI
Equação EXATA - forma + critério
- forma: m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0
- critério para diferencial exata:
d_parcial m / d_parcial y = d_parcial n / d_parcial x
Equação EXATA - passos
i) dado m(x,y) dx + n(x,y) dy = 0, verificar se o teorema é válido
ii) se for, então existe f tal que d_parcial f / d_parcial x = m(x,y)
iii) solução = f(x,y) = [int (m dx)] + g(y) = c
iv) n = d_parcial f / d_parcial y = [d_parcial (int(m dx)) / d_parcial y] + g’(y)
v) integramos e encontramos g(y). Substituimos em iii.
Modelo de Malthus (crescimento a taxa constante (PG exponencial)
p’ = rp
p(0) = p_o
Eq separavel:
p(t) = p_o e^{rt}
Modelo logístico de Nerhulst (modificação do modelo de Malthus)
r(p) -> função decrescente da população
r(p) = r_o (1-p/k)
K = capacidade de suporte do meio Zé x
