Conservation de la masse (cinématique) Flashcards
Densité de courant de masse
Un écoulement est un phénomène de transport puisqu’il s’agit d’un transfert de masse. C’est pourquoi il est naturel d’introduire la notion de vecteur densité de courant de masse.
Flux de matière ou débit massique
- On exprime la masse qui traverse une section (S) lors d’un écoulement.
On considère une section infinitésimale dS autour d’un point M et on calcule la masse d2m de fluide traversant dS pendant dt. Cette masse se trouve dans le prisme de base dS et de génératrice vdt. (v vecteur)
d2m= μ(M,t) v(M,t).ndtdS (n vecteur) où n vect norm à la section dS.
On somme toutes les contributions, on obtient
dm=(double intégrale sur M€(S) d2m/dt) dt
Qm = dm/dt est le flux de matière ou débit massique en kg/s
Le vecteur Jm désigne le vecteur densité de courant de masse Jm= μv ( Jm vecteur, v vecteur). Jm(M,t)=μ(M,t) v(M,t)
Un flux est la quantité double intégrale de M appartient à (S) de J.ndS.
Qm , Le débit massique est donc, au sens mathématique, le flux du vecteur Jm = μ v.
Qv le débit volumique : mesure le volume de fluide qui traverse la surface (S) par unité de temps (unité m3/s)
Qv=double intégrale de M app a (S) de (1/μ)(d2m/dt)
=doub int de v.ndS
C’est le flux du vecteur v.
Équation de continuité
ou
équation de conservation de la masse
Div(nuv)+delta nu/deltat=0 partout et à chaque instant
v vecteur
Delta nu/deltat dérivée partielle de nu par rapport à t
C’est la première équation fondamentale de la mécanique des fluides.
Il s’agit d’une contrainte imposée à vectv(M,t) et nu(M,t) qui repose sur une loi de conservation, celle de la masse.
Prenons un volume de contrôle five (V) dans un fluide, délimité par une surface fictive (S). Soit m(t) la masse contenue à l’intérieur de la surface fermée à l’instant t. Par définition de la masse vol,
m(t)=tr int de M app à (V) de nu(M,t)dtau
Cette masse varie à cause du flux de matière à travers (S) :
dm(t)/dt= -dou int de Mappà (S) nu vectv.vectdSext
Ou vectdSext est dirigé vers l’extérieur de la surface fermée (S) ce qui explique l’origine du signe - devant l’intégrale .
On égalise les deux quantités ce qui donne le théorème de la divergence.
En utilisant le théorème de la divergence et en passant le terme de droite à gauche on obtient l’intégrale triple égal zéro quelque soit V, d’où l’équation de cons de la masse ou eq de continuité
Théorème de Green-Ostrogradsky ou théorème de la divergence
Le flux d’un champ vectoriel A(M) à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégrale sur le volume V limité par (S) de la divergence du champ vectoriel.
Int double de Mappa (S) de vectA.vectdSext
=int triple de Mapp a V de div vectA(M)dtau
Avec divVectA=vectnabla.vectA
