Chapitre 6

Question 1

E[X] =

Answer 1

Σx.p_X(x)
x

∫ x.f_X(x)dx

Question 2

Si X et Y sont des variables aléatoires et si Y = g(X) pour une certaine fonction
g : R → R, alors

E[Y ] = E[g(X)] =

Answer 2

Σg(x).p_X(x)
x

∫ g(x).f_X(x)dx

Question 3

Si X, Y et Z sont des variables aléatoires et si Z = g(X, Y ) pour une certaine fonction
g:R2 →R,alors

E[Z] = E[g(X, Y )] =

Answer 3

ΣΣ g(x,y).p_X,Y(x,y)
x

∫∫ g(x,y).f_X,Y(x,y)dxdy

Question 4

E[aX + b] =

Answer 4

a . E[X] + b

Question 5

E[X+Y]=

Answer 5

E[X] + E[Y]

Question 6

E[XY] =

Answer 6

E[X] . E[Y]

ssi X et Y sont des v.a. indépendantes!

Question 7

E[u(X).v(Y)] =

Answer 7

E[u(X)] . E[v(Y )]

ssi X et Y sont des v.a. indépendantes! et u, v des fonctions de R dans R

Question 8

Var[X] =

Answer 8

E[X²] − (E[X])²

Question 9

Var[aX + b] =

Answer 9

a²Var[X] pour tout réels a et b

Question 10

σ_(aX + b) =

Answer 10

|a|σX pour tout réels a et b

Question 11

σ_(X+Y) =

Answer 11

sqrt(􏰇σ²_X+2ρ_X,Y . σ_X . σ_Y + σ_Y²)

Question 12

Valeurs de ρ_(X,Y)

Answer 12

−1≤ ρ_(X,Y) ≤1

Question 13

ρ_(X,Y) = 1 ssi..

Answer 13

ρ_(X,Y) = 1 ssi Y=aX+b pour un certain a>0 et un certain b∈R

Question 14

ρ_(X,Y) = -1 ssi..

Answer 14

ρ_(X,Y) = -1 ssi Y =aX+b pour un certain a<0 et un certain b∈R.

Question 15

Cov[aX+b,cY +d]=

Answer 15

acCov[X,Y] pour tout a,b,c et d.

Question 16

ρ_(aX+b,cY +d) = ρ_(X,Y)

Answer 16

pour tout a,b,c et d avec a et c non nuls et de même signe.

Question 17

ρ_(aX+b,cY +d) = - ρ_(X,Y)

Answer 17

pour tout a,b,c et d avec a et c non nuls et de signe opposé.

Question 18

Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, alors

ρ_(X,Y) =

Answer 18

ρ_(X,Y) = Cov[X,Y] =0

Question 19

Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, alors

Var[X+Y]=

Answer 19

Var[X]+Var[Y]

Question 20

Si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes, alors

σ_(X+Y) =

Answer 20

sqrt(σ²_X + σ²_Y)

Question 21

nieme moment par rapport à l’origine de la v.a. X

Answer 21

E[X^n]

Question 22

nieme moment central de la v.a. X

Answer 22

E[(X − μX )^n]

Question 23

σ² =Var[X]=

Answer 23

E[(X−μ )²]
ou
E[X²]-(E[X])²

Question 24

Écart type σ =

Answer 24

sqrt(Var[X])

Question 25

Cov[X,Y] =

Answer 25

E[(X−μ_X)(Y−μ_Y)]
ou
Cov[X, Y ] = E[XY ] − E[X] E[Y ]

Question 26

Coef. de corrélation ρ_(X,Y)

Answer 26

Cov[X,Y] / (σ_X . σ_Y)

Question 27

Interprétation de la covariance.

Answer 27

Une covariance positive nous indique que plus la variable X est grande, plus la variable Y a tendance à être grande et plus la variable X est petite, plus la variable Y a tendance à être petite. On dit alors qu’il y a une association linéaire positive entre X et Y . Avec une covariance négative, c’est l’inverse : plus la variable X est grande, plus la variable Y a tendance à être petite et plus la variable X est petite, plus la variable Y a tendance à être grande. On dit alors qu’il y a une association linéaire négative entre X et Y.

Question 28

Def de ce qu’est la covariance

Answer 28

La covariance de X et Y (on dit aussi covariance entre X et Y ) est une mesure du degré d’association linéaire entre X et Y .

Question 29

Approximation pour E[g(X)]

Answer 29

E[g(x)] ≈ g(μ_X)+ 1/2 g′′(μ_X) . σ²_X

Question 30

Approximation pour Var[g(X)]

Answer 30

Var[g(X)] ≈ 􏰊(g′( μ_X ))² .􏰋 σ²_X

Question 31

Inégalité de Markov

Answer 31

P[X ≥ a] ≤ E[X] / a pour tout a>0

Question 32

Inégalité de Chebyshev

Answer 32

P[| X - μ_X | ≥ c ] ≤ σ²_X / c²

P[μ_X−c < X < μ_X +c] ≥ 1 − (σ²_X / c²)

Question 33

Fonction génératrice des moments

Answer 33

M_X(t)= E[e^tX] =

Σ e^tX.p_X(x)
x

∫ e^tX.f_X(x) dx

Question 34

Une fonction génératrice des moments satisfait …

Answer 34

(1) M_X(0) = 1.

(2) M_X(t) > 0 pour tout t ∈ R.

Question 35

Propriétés fonction génératrice des moments

Answer 35

(1) E[X^n] = M^(n)_X(0). (nième dérivée de M_X en 0)
(2) si M_X(t) = M_Y(t) alors on a F_X(u) = F_Y(u)
(3) V_n –D–> V ssi lim M_Vn (t) = M_V (t)

Question 36

Calcul d’espérance par conditionnement

Answer 36

E[Y] = Σ E[Y | X=x].p_X(x)
x
E[Y] = ∫ E[Y | X=x].f_X(x) dx

également vrai pour P[A]

P[A] = Σ P[A | X=x].p_X(x)
x
P[A] = ∫ P[A | X=x].f_X(x) dx

Question 37

La moyenne échantillonnale x̄ et sa variance

Answer 37

E[x̄] = E[Sn/n] = E[Sn]/n = nμ/n = μ
Var[X] = Var[Sn/n] = Var[Sn]/n2 = nσ2/n2 = σ2/n.

Question 38

La loi des grands nombres

Answer 38

P

x̄ → μ.