Chapitre 4 - Variables aléatoires et distribution

Question 1

Définition variable aléatoire

Answer 1

Une variable aléatoire est une quantité dont la valeur numérique dépend du résultat d’une expérience aléatoire. Plus précisément, étant donnée une expérience aléatoire E avec ensemble fondamental Ω et mesure de probabilité P, une variable aléatoire est une fonction définie sur Ω et à valeurs dans R.

Question 2

Définition fonction de masse p(x)

Answer 2

Cette fonction de masse décrit la distribution de probabilité de la variable aléatoire X : si on connaît la fonction p(x), alors on peut, à l’aide de l’équation (4.1), calculer P[X ∈ B] pour tout B ⊂ R.

P[X ∈ B] = Σ p(x). (4.1)
x∈B

Question 3

Définition densité de probabilité f(x)

Answer 3

Cette densité de probabilité décrit la distribution de probabilité de la variable aléatoire X : si on connaît la fonction f(x) alors on peut, à l’aide de l’équation (4.2), calculer P[X ∈ B] pour tout B ⊂ R.

P[X ∈ B] = ∫ f(x)dx. (4.2)
B

Question 4

Définition variable aléatoire continue

Answer 4

Une variable aléatoire X est dite continue, ou plus précisément absolument continue, s’il existe une fonction f(x) telle que pour tout B ⊂ R on a

P[X ∈ B] = ∫ f(x)dx.
B

Question 5

Conditions pour avoir une densité de probabilité d’une variable aléatoire.

Answer 5

1) f(x) ≥ 0 pour tout x∈R.

 ∞

(2) ∫ f(x) dx = 1.
- ∞

Question 6

Conditions pour vérifier que si p(x) est la fonction de masse d’une variable aléatoire discrète X :

Answer 6

(a) p(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ.
􏰋
(b) Σ p(x) = 1.
x∈ℝ

Question 7

P[a < X ≤ b] =

Answer 7

F (b) − F (a) pour tout a < b.

Question 8

Déterminer la fonction de répartition depuis la fonction de masse

Answer 8

F(x) = P[X ≤x] = P[X ∈(−∞,x]] =

Σ p(u)   =    Σ p(u). u∈(−∞,x]         u≤x

Question 9

Déterminer la fonction de masse depuis la fonction de répartition

Answer 9

p(u) = P[X=u]
= lim P[u−1/n < X ≤ u]
   n→∞
= lim (F(u) − F(u − 1/n))
    n→∞
= F(u) − lim F(u − 1/n)
              n→∞
= grandeur du saut de la fonction F (x) au point x = u.

Question 10

Déterminer la fonction de répartition depuis la densité de probabilité

Answer 10

F(x) = P[X ≤ x] = P[X ∈ (−∞,x]]

                x = ∫ f(u) du = ∫ f(u) du.   (−∞,x]        -∞

Question 11

Déterminer la densité depuis la fonction de répartition

Answer 11

f(x)= d/dx F(x)

Question 12

Déterminer la fonction de masse d’une fonction de variable aléatoire discrète

Answer 12

• Calculer toutes les valeurs de y
• Regrouper les valeurs de y identiques
• Associé à ces regroupements la somme des p(x) correspondants

Question 13

Déterminer la densité d’une fonction de variable aléatoire continue

Answer 13

• Énoncer l’interval à valeur de Y
• Poser F_Y(y) = P[Y ≤ y] = P[G(X) ≤ y]
• Isoler X , ex: P[X ≤ (y-4)/12] = F_X((y-4)/12)
• Dériver le résultat de ex : F_X((y-4)/12)