Chapitre 1 Flashcards
L’ensemble Ω est
l’ensemble des résultats possibles ou l’ensemble fondamental
E désigne
l’expérience aléatoire
ω désigne l’évènement
élémentaire dans l’expérience aléatoire E
Méthode de résolution, on détermine d’abord
L’ensemble Ω
L’ensemble A ∩ Bᶜ est parfois appelé
« la différence A moins B » et est souvent dénoté A − B ou A \ B.
De la même façon, l’ensemble Aᶜ ∩ B est parfois appelé
« la différence B moins A» et est souvent dénoté B−A ou B\A.
L’ensemble (A ∩ Bᶜ)∪(Aᶜ ∩ B) s’appelle
a différence symétrique de A et B et est dénoté A △ B.
Propriété 1 : le cas équiprobable.
Si Ω est un ensemble fini et si les résultats possibles ont tous la même probabilité, alors pour tout évènement A on a
P[A] = cardinal de A / cardinal de Ω
Propriété 2 : La complémentation
Pour tout évènement A, on a P[A] = 1 − P[Aᶜ].
1er Axiome de Kolmogorov
Pour tout évènement A on a 0 ≤ P[A] ≤ 1
2e Axiome de Kolmogorov
P[∅]=0 et P[Ω]=1
3e Axiome de Kolmogorov d’aditivité finie
Si n est un entier positif et si A₁ , A₂ , A₃ …An sont des évèments mutuellement exclusifs, alors
n n
P[ ⋃ Aᵢ ] = Σ P[ Aᵢ ]
i=1 i=1
3e Axiome de Kolmogorov d’aditivité dénombrable
Si A₁ , A₂ , A₃,…An sont des évèments mutuellement exclusifs, alors
∞ ∞
P[ ⋃ Aᵢ ] = Σ P[ Aᵢ ]
i=1 i=1
Identité de Poincaré pour 2 évènements
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B]
Identité de Poincaré pour 3 évènements
P[A ∪ B ∪ C] = P[A] + P[B] + P[C]
− P[A∩B] − P[A∩C] − P[B∩C]
+ P[A ∩ B ∩ C]
Monotonicité
Si A et B sont des évènements et si A ⊂ B alors P[A] ≤ P[B]
Preuve Monotonicité
Si A⊂B ,alors on a B=A∪(B∩Aᶜ).
Les ensembles A et B∩Aᶜ étant disjoints,l’axiome 3 nous donne
P[B] = P[A] + P[B ∩ Aᶜ].
En vertu de l’axiome 1, on a P[B ∩ Aᶜ] ≥ 0.
Ces deux dernières équations nous donnent P[A] ≤ P[B]. CQFD.
L’inégalité de Boole
n n
P [ ⋃ Ak] ≤ Σ P[Ak]
k=1 k=1
L’inégalité de Bonferroni
Si B₁, B₂,…Bn sont des évènements, alors
n n P [ ∩ Bᵢ] ≤ 1 - Σ P[Bᵢᶜ] i=1 i=1
