Chapitre 5

Question 1

À quoi servent les cardinaux ?

Answer 1

Ce sont des représentants des classes d’équipotence d’ordinaux

Question 2

Qu’est-ce qu’un cardinal ?

Answer 2

Un ordinal qui est le plus petit de sa classe d’équipotence, c’est-à-dire qu’il n’est en bijection avec aucun ordinal plus petit que lui

Question 3

Exemples de cardinaux finis

Answer 3

Tous les ordinaux finis (entiers) sont des cardinaux

Question 4

Exemples de cardinaux infinis

Answer 4

ω est un cardinal infini, puisque c’est le plus petit ordinal infini

Question 5

Qu’est-ce que Card ?

Answer 5

La classe de tous les cardinaux (qui ne forment pas un ensemble)

Question 6

Lien entre les ensembles et les cardinaux (énoncé)

Answer 6

Tout ensemble est en bijection avec un unique cardinal

Question 7

Lien entre les ensembles et les cardinaux (schéma de preuve)

Answer 7

• On sait que pour tout ensemble bien ordonné (A, <), il existe un unique ordinal α tel que (α, ∈) est isomorphe à (A, <), et donc il existe une bijection entre A et α
• Soit κ le plus petit ordinal en bijection avec α, et par transitivité A est en bijection avec κ qui est un cardinal par construction
• Il y a unicité car deux cardinaux ne sont jamais en bijection, sinon le plus grand des deux ne peut pas être un cardinal par définition

Question 8

Qu’est-ce que la cardinalité ?

Answer 8

L’unique cardinal κ tel que l’ensemble A est en bijection avec κ est appelé cardinalité de A et noté ||A||

Question 9

Lien entre la cardinalité et les applications entre ensembles (énoncé)

Answer 9

Pour tout couple d’ensembles A, B
- il existe une injection de A dans B si et seulement si ||A|| ≤ ||B||
- il existe une surjection de A dans B si et seulement si ||A|| ≥ ||B||
- il existe une bijection de A dans B si et seulement si ||A|| = ||B||

Question 10

Lien entre la cardinalité et les applications entre ensembles (schéma de preuve)

Answer 10

• Avec les bijections de A sur ||A|| et de B sur ||B||, on obtient les injections et surjections de ||A|| dans ||B|| à partir de celles de A dans B
• Pour deux cardinaux κ et λ, soit κ ≤ λ et l’identité est une injection de κ dans λ, soit κ > λ et il n’y a pas d’injection de κ dans λ, sinon il y aurait bijection par Cantor-Bernstein

Question 11

Lien entre la cardinalité et les parties

Answer 11

Pour tout ensemble A, ||P(A)|| > ||A||

Question 12

Cardinal des ensembles finis

Answer 12

Si A est un ensemble fini de cardinal n, et si a n’appartient pas à A, alors A ∪ {a} est fini de cardinal n + 1

Question 13

Dénomnbrement des ensembles finis

Answer 13

Soient A et B des ensembles finis de taille p et q respectivement,
- ||A ∪ B|| + ||A ∩ B|| = p + q
- || A × B|| = pq
- ||A^B|| = p^q

Question 14

Qu’est-ce que le successeur d’un cardinal ?

Answer 14

Pour tout cardinal infini κ, il existe un plus petit cardinal strictement supérieur à κ qui correspond au plus petit ordinal ne s’injectant pas dans κ : le successeur de κ noté κ⁺

Question 15

Qu’est-ce qu’un cardinal successeur ?

Answer 15

Un cardinal de la forme κ⁺

Question 16

Qu’est-ce qu’un cardinal limite ?

Answer 16

Un cardinal qui n’est pas successeur

Question 17

Borne supérieur de cardinaux

Answer 17

Soit (I, <) un ensemble totalement ordonné et (κ_i)_{i ∈ I} une suite strictement croissante de cardinaux, alors sup_{i ∈ I}κ_i est un cardinal

Question 18

Définition d’aleph

Answer 18

Pour tout ordinal α, on appelle α-ème aleph le cardinal infini ℵ_α

Question 19

Lien entre les cardinaux infinis et aleph

Answer 19

Tout cardinal infini est un aleph, par surjectivité de la suite des ℵ_α

Question 20

Qu’est-ce que ω_α ?

Answer 20

Le cardinal ℵ_α vu comme un ordinal plutôt que comme le représentant d’une classe d’équipotence

Question 21

Addition de deux cardinaux

Answer 21

κ + λ = ||κ ⊞ λ||

Question 22

Produit de deux cardinaux

Answer 22

κ × λ = ||κ × λ||

Question 23

Exponentiation de deux cardinaux

Answer 23

κ^λ = ||^λκ||, où ^λκ est l’ensemble des applications de λ dans κ

Question 24

Cardinal de l’addition de deux ordinaux

Answer 24

Pour ||A|| = κ et ||B|| = λ , ||A + B|| = κ + λ

Question 25

Cardinal du produit de deux ordinaux

Answer 25

Pour ||A|| = κ et ||B|| = λ , ||A × B|| = κ × λ

Question 26

Cardinal de l’exponentiation de deux ordinaux

Answer 26

Pour ||A|| = κ et ||B|| = λ , ||^BA|| = κ^λ

Question 27

Carré d’un cardinal

Answer 27

Pour tout ordinal α, ℵ_α × ℵ_α = ℵ_α

Question 28

Addition et produit d’alephs

Answer 28

ℵ_α + ℵ_β = ℵ_α × ℵ_β = max(ℵ_α, ℵ_β)

Question 29

Qu’est-ce que le cardinal ℵ_ω ?

Answer 29

C’est la borne supérieur des ℵ_n pour n entiers

Question 30

Qu’est-ce qu’une partie cofinale ?

Answer 30

A ⊆ B est une partie cofinale de B si tout élément de B a un majorant dans A, c’est-à-dire que l’ensemble B “va au bout” de A

Question 31

Parties cofinales d’un cardinal ?

Answer 31

Soit κ un cardinal, tout sous-ensemble de κ de cardinal κ est cofinal dans κ

Question 32

Qu’est-ce que la cofinalité d’un ensemble bien ordonné ?

Answer 32

Soit (A, <) un ensemble bien ordonné, la cofinalité de (A, <) est cf(A, <) le plus petit ordinal θ tel qu’il existe une suite structement croissante d’ordinaux (α_ξ)_ξ<θ telle que α_ξ < α pour tout ξ, et α = sup_ξ<θ α_ξ

Question 33

Propriétés de la cofinalité pour un ordinal quelconque

Answer 33

• cf(α) ≤ α
• cf(cf(α)) = cf(α)
• cf(α) est un cardinal

Question 34

Propriétés de la cofinalité pour un ordinal limite

Answer 34

cf(λ) = cf(ℵ_λ)