Chapitre 3

Question 1

Expression de la formule “α est un ordinal” par une formule ensembliste (schéma de preuve)

Answer 1

La définition d’un ordinal (transitivité et restriction de ∈ bon ordre) est exprimable par une formule ensembliste :
∀ x ∈ α, (x ⊆ α), et
∀ x ∈ α, (x !∈ x), et
∀ x, y, z ∈ α, ((x ∈ y et y ∈ z ) ⇒ x ∈ z), et
∀ t ⊆ α, (t != ∅ ⇒ ∃ x ∈ t, ∀ y ∈ t, (y = x ou x ∈ y))
où l’utilisation de ∅ et ⊆ sont des simplifications qui pourraient être évitées

Question 2

Qu’est-ce qu’Ord(α) ?

Answer 2

La formule ensembliste correspondant à “α est un ordinal”

Question 3

Lemme de l’existence des ordinaux dans le système Zermelo fini (énoncé)

Answer 3

L’ordinal 0 existe, et pour chaque ordinal α, l’ordinal S(α) existe

Question 4

Lemme de l’existence des ordinaux dans le système Zermelo fini (schéma de preuve)

Answer 4

• L’ensemble vide s’obtient par séparation par ∅ = {x ∈ a | x!= x} à partir de a un ensemble quelconque
• S(α) s’obtient en utilisant les axiomes de la paire et de la réunion qui garantissent la bonne définition de ∪, donc S(α) = α ∪ {α}

Question 5

Induction ordinale dans le système Z_fini

Answer 5

Si ϕ est une formule ensembliste et v est un vecteur d’arguments, et que pour tout ordinal α, si ϕ(β, v) est vraie pour tout β < α alors ϕ(α, v) est vraie, alors ϕ(α, v) est vraie pour tout ordinal α

Question 6

Quel problème pose le système Z_fini vis-à-vis des ordinaux ?

Answer 6

Pour garantir l’existence de l’ordinal ω, il manque un axiome

Question 7

Qu’est-ce qu’un ensemble récurrent ?

Answer 7

Un ensemble est dit récurrent s’il contient ∅ et est clos par l’application S : x → x ∪ {x}

Question 8

Quel est l’axiome d’infini ?

Answer 8

∃ a, (∅ ∈ a et ∀ x ∈ a, (S(x) ∈ a)), c’est-à-dire qu’il existe au moins un ensemble récurrent
(où l’utilisation de ∅ et S sont de simplifications qui pourraient être évitées)

Question 9

Quels axiomes forment le système Zermelo ?

Answer 9

Les axiomes du système Zermelo fini auxquels on ajoute l’axiome d’infini :
- L’axiome d’extensionnalité
- L’axiome de la paire
- L’axiome de l’union
- L’axiome des parties
- L’axiome de séparation en Φ pour chaque formule du premier ordre Φ
- L’axiome d’infini

Question 10

Il existe un plus petit ordinal récurrent (schéma de preuve)

Answer 10

• Prendre les ordinaux α d’un ensemble a
• Par séparation, prendre le plus petit d’entre eux

Question 11

Définition d’oméga (ω) dans le système Zermelo

Answer 11

ω est le plus petit ordinal récurrent

Question 12

Définition des entiers dans le système de Zermelo

Answer 12

Les entiers sont les ordinaux α < ω

Question 13

Qu’est-ce qu’un ensemble dénombrable dans le système de Zermelo

Answer 13

Un ensemble en bijection avec un entiers

Question 14

Qu’est-ce qu’un ensemble fini dans le système de Zermelo ?

Answer 14

Un ensemble en bijection avec ω

Question 15

Axiomes de remplacement

Answer 15

Pour ϕ(x, y, v) formule ensembliste où a et b n’apparaissent pas comme variable libre, on appelle axiome de replacement pour ϕ l’énonc suivant :
∀ a, ∀ v, (∀ x, y, z, ((ϕ(x, y, v) et ϕ(x, z, v)) ⇒ y = z) ⇒ ∃ b, ∀ y, (∃ x ∈ a, (ϕ(x, y, v)) ⇒ y ∈ b))

Question 16

Quels axiomes forment le système ZF. ?

Answer 16

Les axiomes du système Zermelo auxquels on ajoute les axiomes de remplacement

Question 17

Quel problème pose le système Z vis-à-vis des ordinaux ?

Answer 17

Il ne garantit pas la comparaison des bons ordres

Question 18

Qu’est-ce que la suite des V_α ?

Answer 18

Il existe une unique suite d’esembles (V_α)_Ord(α) indexée par les ordinaux et vérifiant pour tout α, λ :
- V₀ = ∅
- V_α+1 = P(V_α)
- V_λ = ⋃_α<λ V_α pour λ limite

Question 19

Qu’est-ce que la classe V ?

Answer 19

La classe définissable des ensembles purs

Question 20

Qu’est-ce que le rang ?

Answer 20

Une classe fonctionnelle sur la classe V, telle que le plus petit ordinal α tel que a ensemble pur appartient à V_α+1 est le range de a, et rang(α) = α ⇔ α ∈ V_α+1 \ V_α

Question 21

Axiome du choix

Answer 21

On appelle “axiome du choix” l’énoncé “tout ensemble possède une fonction de choix”, c’est-à-dire :
∀ A, ∃ F : A ∖ {∅} → ⋃A, ∀ x ∈ A ∖ {∅}, (F(x) ∈ x)

Question 22

Axiomes de Peano

Answer 22

• ∀ x, (x != 0 ⇔ ∃ y, (x = S(y)) (Succ₁)
• ∀ x, y, (x !=y ⇒ S(x) != S(y)) (Succ₂)
• ∀ x, (x + 0 = x) (Add₁)
• ∀ x, y, (x + S(y) = S(x + y)) (Add₂)
• ∀ x, (x × 0 = 0) (Mult₁)
• ∀ x, y, (x × S(y) = x × y + x) (Mult₂)
• ∀ X, ((X(0) et ∀ x, (X(x) ⇒ X(S(x)))) ⇒ ∀ x, X(x))) (Ind)

Question 23

Lien entre les ordinaux et Peano

Answer 23

La structure (ω, 0, S, +, ×) satisfait les axiomes de Peano