Chapitre 2

Question 1

Qu’est-ce qu’une relation bien fondée ?

Answer 1

Une relation binaire R sur un ensemble A est bien fondée si toute partie non vide X de A possède un élément minimal par R

Question 2

Proposition sur l’induction à partir des relations bien fondées (énoncé)

Answer 2

Soit R une relation bien fondée sur A et soit P une propriété valide pour le principe de séparation tel que pour tout élément x de A, si P(y) est vrai pour tout y tel que y R x, alors P(x) est vrai, alors P(x) est vrai pour tout élément de A

Question 3

Proposition sur l’induction à partir des relations bien fondées (schéma de preuve)

Answer 3

• Définir X l’ensemble des éléments pour lesquels P(x) est faux et x₀ l’élément minimal de X
• Regarder tous les y tels que y R x₀, qui ne sont pas dans X puisqu’ils sont plus petits que l’élément minimal
• Conclure en appliquant la prémisse

Question 4

Qu’est-ce qu’un ordre ?

Answer 4

Une relation réflexive (si c’est un ordre partiel), antisymétrique et transitive

Question 5

Qu’est-ce qu’un bon ordre ?

Answer 5

Un ordre sur un ensemble A tel que toute partie non-vide de A possède un plus petit élément

Question 6

Qu’est-ce qu’un ensemle bien ordonné ?

Answer 6

Un couple (ensemble, ordre) tel que l’ordre est un bon ordre sur l’ensemble

Question 7

Propriétés d’un ensemble bien ordonné

Answer 7

• Si l’ensemble est non-vide, il possède un plus petit élément
• Tout élément possède non-maximal un plus petit majorant
• Il n’existe pas de suite infinie strictement décroissante
• La restriction de l’ordre à tout sous-ensemble est également un ensemble bien ordonné

Question 8

Proposition sur les ordres totaux biens fondés

Answer 8

Une relation d’ordre stricte est un bon ordre (strict) si et seulement si c’est un ordre total bien fondé

Question 9

Qu’est-ce qu’un isomorphisme ?

Answer 9

Une application bijective et strictement croissante

Question 10

Quelles sont les caractéristiques d’une application f strictement croissante de A sur B avec (A, < _A) et (B, _B) des ensembles bien ordonnés et «sub>A</sub> total ? (énoncé)

Answer 10

• f est injective
• x «sub>A</sub> y ⇔ f(x) «sub>B</sub> f(y)

Question 11

Quelles sont les caractéristiques d’une application f strictement croissante de A sur B avec (A, «sub>A</sub>) et (B, _B) des ensembles bien ordonnés et «sub>A</sub> total ? (schéma de preuve)

Answer 11

• Prouver f injective par cas
• Prouver l’équivalence

Question 12

Quelles sont les caractéristiques d’une application strictement croissante f de (A, <) bien ordonné dans lui-même ? (énoncé)

Answer 12

a ≤ f(a) est vrai pour tout élément a de A

Question 13

Quelles sont les caractéristiques d’une application strictement croissante f de (A, <) bien ordonné dans lui-même ? (schéma de preuve)

Answer 13

• Poser X = {a ∈ A | f(a) < x} et x₀ le plus petit élément de X
• Appliquer f sur x₀ et f(x₀) et en déduire que f(f(x₀)) < f(x₀) < x₀
• Par contradiction, X n’a pas de plus petit élément et est donc vide

Question 14

Proposition de la rigidité (énoncé)

Answer 14

Si (A, «sub>A</sub>) et (B, «sub>B</sub>) sont deux ensembles bien ordonnés, il existe au plus un isomorphisme du premier sur le second

Question 15

Proposition de la rigidité (schéma de preuve)

Answer 15

• Supposer qu’il existe deux isomorphismes f et g
• Construire g^-1∘f strictement croissante
• Montrer qu’on a f(a) ≤ g(a) et g(a) ≤ f(a) donc f(a) = g(a)

Question 16

Qu’est-ce qu’un segment initial ?

Answer 16

Si (A, <) est un ensemble bien ordonné et si a ∈ A, alors le segment initial de A déterminé par a est (Init(a) = {x ∈ A | x < a}, <)

Question 17

Propriété du segment initial

Answer 17

• Clotûre par minorant
• Unicité

Question 18

Quelles sont les propriétés d’un ensemble X ⊆ A avec (A, <) un ensemble bien ordonné et X un ensemble clos par minorant ? (énoncé)

Answer 18

Soit X = A, soit il existe a ∈ A tel que X = Init(a) le segment initial déterminé par a

Question 19

Quelles sont les propriétés d’un ensemble X ⊆ A avec (A, <) un ensemble bien ordonné et X un ensemble clos par minorant ? (schéma de preuve)

Answer 19

• Définir Y = A\X
• Si Y est vide, X = A
• Sinon, y₀ minore Y, et on montre Init(y₀) ⊆ X et X ⊆ Initi(u₀)

Question 20

Inexistence d’isomorphismes entre (A, <) et un de ses segments initiaux (schéma de preuve)

Answer 20

• Supposons que f est un isomorphosme de A dans Init(a)
• f(a) > a par définition d’un isomorphisme (strictement croissant)
• f(a) < a car x ∈ Init(a) ⇒ x < a
• Contradiction donc conclusion

Question 21

Inexistence d’isomorphismes entre deux segmentes initiaux distincts (schéma de preuve)

Answer 21

• Pour Init(a) et Init(b), deux cas symétriques a < b et b < a
• Si a < b, Init(a) segment initial de Init(b) donc on peut se ramener au cas de l’inexistence d’isomorphismes entre un ensemble et ses segments initiaux

Question 22

Proposition de la comparaison pour les bons ordres (énoncé)

Answer 22

Soient (A, «sub>A</sub>) et (B, «sub>B</sub>) deux ensembles bien ordonnés, alors l’un exactement des cas suivants est vrai
- ils sont isomorphes
- le premier est un segment initial du second
- le second est un segment initial du premier

Question 23

Proposition de la comparaison pour les bons ordres (schéma de preuve)

Answer 23

• Définir F telle que F(a) = b si et seulement si Init(a) est isomorphe à Init(b) et montrer que F est fonctionnelle et injective
• Montrer que si a ∈ Dom (F) et a’ < a, a’ ∈ Dom(F), c’est à dire que le domaine et l’image de F sont clos par minorant
• Regarder les 4 cas possibles :
  
  • Dom(F) = A et Im(F) = B, alors A et B sont isomorphes
  • Dom(F) = A et Im(F) est un segment initial de B, alors A est isomorphe à un segment initial de B
  • Dom(F) est un segment initial de A et Im(F) = B, alors B est isomorphe à un segment initial de A
  • Dom(F) est un segment initial de A déterminé par a et Im(F) est un segment inital de B déterminé par b, ce qui est impossible car on aurait F(a) = b, donc a ∈ Init(a) et b ∈ Init(b)

Question 24

Comment se définit l’adition sur deux ensembles bien ordonnés ?

Answer 24

A ⊞ B = (A × {1}) ∪ (B × {2}) tel que (a, i) ⊏ (b, j) si et seulement si
- i = j = 1 et a < b
- i = j = 2 et a < b
- i < j

Question 25

Comment peut-on résumer la structure construite à la somme de deux ensembles bien ordonnés ?

Answer 25

Les deux ensembles sont juxtaposés (mis à la suite l’un de l’autre) : (A, <) + (B, <) peut se voir comme A puis B

Question 26

Propriété de l’addition de deux ensembles bien ordonnés

Answer 26

• L’addition de deux ensembles bien ordonnés est un ensemble bien ordonné
• Associativité

Question 27

Comment se définit la multiplication sur deux ensembles bien ordonnés ?

Answer 27

A × B tel que (a, b) ⊏ (a’, b’) si et seulement si
- b < b’
- b = b’ et a < a’

Question 28

Comment peut-on résumer la structure construite à la multiplication de deux ensembles bien ordonnés ?

Answer 28

Le premier ensemble est indexé par le second, c’est à dire que A × B correspond à autant de copies de A qu’il y a d’éléments dans B, et pour cahcune des copies, on l’indexe par un des éléments de B dans l’ordre

Question 29

Propriété de la multiplication de deux ensembles bien ordonnés

Answer 29

• La multiplication de deux ensembles bien ordonnés est un ensemble bien ordonné
• Associativité
• Distributivité sur l’addition

Question 30

Comment se définit l’exponentiation sur deux ensembles bien ordonnés ?

Answer 30

Si A a un plus petit élément a₀, un support d’une suite f d’éléments de A est {i | f(i) != a₀}, et A^(B) est le sous-ensemble de A<sup>B</sub> formé par les suites à support fini, tel que f ⊏ g si et seulement si
- ∃ i, f(i) < g(i) et ∀ j > i, (f(j) = g(j))</sup>

Question 31

Propriété de l’exponentiation de deux ensembles bien ordonnés

Answer 31

• L’exponentation de deux ensembles bien ordonnés donc le premier a un plus petit élément est un ensemble bien ordonné
• Distributivité

Question 32

Qu’est-ce qu’un ensemble transitif ?

Answer 32

Un ensemble d’ensemble est transitif si et seulement si tout élément de l’un de ses élément lui appartient : ∀ X ∈ A, x ∈ X ⇒ x ∈ A

Question 33

Que peut-on dire des parties d’un ensemble transitif ?

Answer 33

A ⊆ P(A) si et seulement A est transitif

Question 34

Montrer qu’il existe au moins un ensemble transitif

Answer 34

∅ est un ensemble transitif

Question 35

Comment construire des ensembles transitifs à partir d’un ou de plusieurs ensembles transitifs ?

Answer 35

• Si A est transitif A ∪ {A}, P(A) et ∪A sont transitifs
• Une réunion d’ensembles transitifs est transitive
• Une intersection d’ensembles transitifs est transitive

Question 36

Combien existe-t-il d’ensembles transitifs ?

Answer 36

Une infinité

Question 37

Qu’est-ce qu’un ordinal ?

Answer 37

Un ensemble α est un ordinal si et seulement si α est transitif et que la restriction de ∈ à α est un bon ordre

Question 38

Propriétés condition d’un ordinal

Answer 38

• ∀ x ∈ α, x ⊆ α (transitivé de l’ensemble)
• ∀ x ∈ α, x !∈ x (anti-réflexivité)
• ∀ x, y, z ∈ α, (x ∈ y ∧ y ∈ z) ⇒ (x ∈ z) (transitivité de l’ensemble)
• ∀ A != ∅ ⊆ α, ∃ x ∈ A, ∀ y != x ∈ A, x ∈ y (bon ordre)

Question 39

Montrer qu’il existe au moins un ordinal

Answer 39

∅ est un ordinal

Question 40

Comment construire des ordinaux à partir d’un ordinal ?

Answer 40

Si α est un ordinal α ∪ {α} est un ordinal

Question 41

Définition de l’opération successeur pour les ordinaux

Answer 41

Pour tout ensemble A, S(A) = A ∪ {A}, et pour n un entier naturel, on note n l’ordinal Sⁿ(∅)

Question 42

Définition de l’ordinal n

Answer 42

Pour tout entier n, l’ordinal n a exactement n éléments, à savoir les ordinaux k pour k < n

Question 43

Qu’est-ce qu’un élément d’un ordinal α ?

Answer 43

Un ordinal strictement inclus dans α

Question 44

Proposition sur l’intersection d’ordinaux

Answer 44

Si A est un ensemble non-vide d’ordinaux, ∩A est un ordinal

Question 45

Définition de l’ordre des ordinaux

Answer 45

Si α et β sont des ordinaux, α est strictement plus petit que β (α < β) si α est un élément de β

Question 46

Quel est l’ordre large associé à l’appartenance (ordre strict) pour les ordinaux ?

Answer 46

C’est l’inclusion : α ⊆ β est vrai si et seulement si soit α ∈ β, soit α = β

Question 47

Quel est le plus petit élément d’un ensemble non-vide d’ordinaux ?

Answer 47

Son intersection

Question 48

Quelle propriété sur les ordres peut-on dire des ordinaux ?

Answer 48

Tout ensemble non-vide d’ordinaux est un ensemble bien ordonné

Question 49

Trichotomie des ordinaux

Answer 49

Pour toute paire d’ordinaux α, β
- α ∈ β
- α = β
- β ∈ α

Question 50

À quoi correspond le segment initial Init(α) pour α un ordinal ?

Answer 50

À α lui-même : l’ensemble qui contient tous les ordinaux plus petits que α est α

Question 51

Définition de l’induction par les ordinaux (première définition)

Answer 51

Soit P(α) une proposition valide pour le principe de séparation, alors
- soit θ un ordinal tel que pout tout α < θ, si P(α) est vraie si P(β) l’est pour tout β < α, alors P(α) est vrai pout tout α < θ
- P(α) est vraie si P(β) l’est pour tout β < α, alors P(α) est vrai pout tout α < θ

Question 52

Quel est le plus petit élément d’un ensemble non-vide d’ordinaux ?

Answer 52

Son union

Question 53

Paradoxe de Burali-Forti (énoncé)

Answer 53

Aucun ensemble ne contient tous les ordinaux

Question 54

Paradoxe de Burali-Forti (schéma de preuve)

Answer 54

Il suffit de considérer qu’un tel ensemble existe et de montrer que l’union de cet ensemble est un ordinal qui n’y appartient pas

Question 55

Définition de ω

Answer 55

ω est la borne supérieure des ordinaux n pour n entier, c’est le premier ordinal infini

Question 56

Que vaut ⋃α pour α un ordinal ? (énoncé)

Answer 56

• Si ∀ β, β < α implique S(β) < α, alors ⋃α = α
• Si ∃ β, α = S(β), alors ⋃α = β

Question 57

Que vaut ⋃α pour α un ordinal ? (schéma de preuve)

Answer 57

• ⋃α ⊆ α car α est un ordinal, α ⊆ ⋃α car β < α ∈ β < α ⇒ β < S(β) < α ⇒ β ∈ S(β) ∈ α ⇒ β ⊆ ⋃α
• β ⊆ ⋃α car γ ∈ β ⇒ γ < β ⇒ γ ∈ β ∈ α ⇒ γ ∈ ⋃α, ⋃α ⊆ β car ⋃α = ⋃S(β) = ⋃β ∪ β ⊆ β

Question 58

Qu’est-ce qu’un ordinal successeur ?

Answer 58

Un ordinal non-nul α tel qu’il existe β vérifiant α = S(β)

Question 59

Qu’est-ce qu’un ordinal limite ? (définition classique)

Answer 59

Un ordinal non-nul α tel que α = ⋃α

Question 60

Définition de l’induction par les ordinaux (successeurs et limites)

Answer 60

Soit P(α) une proposition valide pour le principe de séparation, alors si
- P(0) est vraie
- si P(α) est vraie, P(S(α)) l’est aussi
- si λ est limite et si P(α) est vraie pour α < λ, alors P(λ) est vraie
Alors P(α) est vraie pour tout ordinal α

Question 61

Proposition de la comparaison pour les ordinaux (énoncé)

Answer 61

Tout ensemble bien ordonnée est isomorphe à un unique ordinal

Question 62

Proposition de la comparaison pour les ordinaux (schéma de preuve)

Answer 62

• Reprendre la proposition de la comparaison sur les bons ordres : puisque pour les ordinaux sont une famille d’ensemble bien ordonnés, on sait que pour tout ensemble bien ordonné (A, <)
  
  • (A, <) est isomorphe à la suite des ordinaux entière → impossible car la suite des ordinaux ne forme pas un ensemble
  • la suite des ordinaux est isomorphe à un segment initial de (A, <) → impossible car la suite des ordinaux ne forme pas un ensemble
  • (A, <) est isomorphe à la suite des ordinaux → seule possibilité, et comme un segment initial de la suite des ordinaux est un ordinal, c’est fini

Question 63

Qu’est-ce que ord(A, <) ?

Answer 63

ord(A, <) est le type d’ordre de l’ensemble bien ordonné (A, <), c’est-à-dire que c’est le seul ordinal avec lequel (A, <) est isomorphe

Question 64

Soit ord(A) = α et ord(B) = β, comment montrer que α = β ?

Answer 64

En construisant une bijection strictement croissante de A sur B

Question 65

Soit ord(A) = α et ord(B) = β, comment montrer que α < β ? (énoncé)

Answer 65

En construisant une bijection strictement croissante de A sur un segment initial de B

Question 66

Soit ord(A) = α et ord(B) = β, comment montrer que α < ? (schéma de preuve)

Answer 66

Un isomorphisme de A dans un segment inital de B entraîne un isomorphisme de (α, >) dans un segment initial de (β, <) déterminé par un ordinal qu’on note γ et qui coïncide avec le segment initial, donc (α, >) est isomorphe à (γ, >) et α = γ < β

Question 67

Soit ord(A) = α et ord(B) = β, comment montrer que α ≤ β ? (énoncé)

Answer 67

En construisant une injection strictement croissante de A sur B

Question 68

Soit ord(A) = α et ord(B) = β, comment montrer que α ≤ β ? (schéma de preuve)

Answer 68

Une injection croissante de A dans B entraîne une injection croissante de (α, >) dans (β, <), or si on avait α > β on aurait une injection croissante (α, >) dans un de ses propres segments initiaux, donc on a bien α ≤ β

Question 69

Comment se définit l’addition de deux ordinaux ?

Answer 69

Si α et β sont des ordinaux, on définit α + β comme l’unique ordinal γ tel que (γ, ∈) est isomorphe à (α, ∈) + (β, ∈)

Question 70

Propriétés de l’addition d’ordinaux

Answer 70

• α + 0 = 0 + α = α
• α + 1 = S(α)
• Pour α fini, 1 + α = S(α)
• Pour α infini, 1 + α = α
• Associativité

Question 71

Lien entre l’addition et l’ordre d’ordinaux (énoncé)

Answer 71

Pour α, β ordinaux, α < β si et seulement s’il existe γ tel que α + γ = β

Question 72

Lien entre l’addition et l’ordre d’ordinaux (schéma de preuve)

Answer 72

• Si α + γ = β, puisque (α, <) est isomorphe à un segment initial de (α, <) + (γ, <), c’est un segment initialest isomorphme à un segment initial de (β, <) donc α ≤ β
• Si α ≤ β, (β \ α, <) est un ensemble bien ordonné isomorphe à un ordinal γ et (α, <) est le segment initial de β déterminé par α, et dans l’ordre sur β, les élément de α sont suivis par les éléments de β \ α donc β = α + β \ α = α + γ

Question 73

Propriétés de l’addition à gauche d’ordinaux

Answer 73

Pour tout ordinal α, l’addition à gauche d’α est strictement croissante et continue :
- β < β’ ⇒ α + β < α + β’
- α + λ = sup_β<λ (α + β) pour λ limite

Question 74

Propriétés de l’addition à droite d’ordinaux

Answer 74

Pour tout ordinal β, l’addition à droite d’β est non décroissante et semi-continue inférieurement :
- α ≤ α’ ⇒ α + β ≤ α’ + β
- λ + β ≥ sup_α<λ (α + β) pour λ limite

Question 75

Définition récursive de l’addition à gauche d’ordinaux

Answer 75

• α + 0 = α
• α + S(β) = S(α + β)
• α + λ = sup_β<λ (α + β) pour λ limite

Question 76

Comment se définit la multiplication de deux ordinaux ?

Answer 76

Si α et β sont des ordinaux, on définit α × β comme l’unique ordinal γ tel que (γ, ∈) est isomorphe à (α, ∈) × (β, ∈)

Question 77

Comment se définit l’exponentiation de deux ordinaux ?

Answer 77

Si α et β sont des ordinaux, on définit α^β comme l’unique ordinal γ tel que (γ, ∈) est isomorphe à (α, ∈)^{(β, ∈)}

Question 78

Propriétés de la multiplication d’ordinaux

Answer 78

• α × 0 = 0 × α = α
• α × 1 = 1 × α = α
• Associativité à gauche par rapport à l’addition ordinale
• Distributivité à gauche par rapport à l’addition ordinale

Question 79

Propriétés de l’exponentiation d’ordinaux

Answer 79

• α⁰ = 1
• α¹ = α
• Pour β != 0, 0^β = 0
• 1^β = 1
• α^β+γ = α^β× α^γ
• α^β×γ = (α^β)^γ

Question 80

Lien entre la multiplication et l’ordre d’ordinaux

Answer 80

Pour tout ordinal γ vérifiant γ < α × β , il existe un couple d’ordinaux (ρ, σ) avec ρ < α et σ < β vérifiant γ = α × σ + ρ

Question 81

Propriétés de la multiplication à gauche d’ordinaux

Answer 81

Pour tout ordinal α != 0, la multiplication à gauche d’α est strictement croissante et continue :
- β < β’ ⇒ α × β < α × β’
- α × λ = sup_β<λ (α × β) pour λ limite

Question 82

Propriétés de l’exponentiation de base ordinale

Answer 82

Pour tout ordinal α ≥ 2, l’exponentiation de base α est strictement croissante et continue :
- β < β’ ⇒ α^β < α^β’
- α × λ = sup_β<λ (α^β) pour λ limite

Question 83

Propriétés de la multiplication à droite d’ordinaux

Answer 83

Pour tout ordinal β, la multiplication à droite d’β est non décroissante et semi-continue inférieurement :
- α ≤ α’ ⇒ α × β ≤ α’ × β
- λ × β ≥ sup_α<λ (α × β) pour λ limite

Question 84

Définition récursive de l’exponentation à base ordinale

Answer 84

• α⁰ = 1
• α^S(β) = α^β × α
• α^λ = sup_β<λ (α^β) pour λ limite

Question 85

Propriétés de l’exponentiation d’exposant ordinal

Answer 85

Pour tout ordinal β, l’exponentiation d’exposant β est non décroissante et semi-continue inférieurement :
- α ≤ α’ ⇒ α^β ≤ α’^β
- λ^β ≥ sup_α<λ (α^β) pour λ limite

Question 86

Définition récursive de la multiplication à gauche d’ordinaux

Answer 86

• α × 0 = 0
• α × S(β) = α × β + α
• α × λ = sup_β<λ (α × β) pour λ limite

Question 87

Comment se définit la division euclidienne de deux ordinaux ?

Answer 87

Pour tout ordinal β et tout ordinal non-nul α, il existe un unique couple d’ordinaux (ρ, σ) avec ρ < α et σ ≤ β vérifiant γ = α × σ + ρ

Question 88

Proposition de non-injection des ordinaux (énoncé)

Answer 88

Pour tout ordinal infini α, l’ensemble d’ordinaux s’injectant dans α est un ordinal, et c’est le plus petit ordinal ne s’injectant pas dans α

Question 89

Proposition de non-injection des ordinaux (schéma de preuve)

Answer 89

• Poser Θ l’ensemble des ordinaux qui s’injectent dans α, θ = ⋃Θ et β un ordinal infini de Θ
• Construire f une bijection de β sur S(β) : f(0) = β, f(n) = n - 1 pour n ≥ 1, f(γ) = γ pour ω ≤ γ < β
• Comme β s’injective dans S(β), β ∈ Θ ⇒ S(β) ∈ Θ, donc Θ n’a pas de plus grand élémént et ne contient pas sa borne supérieure θ
• Donc θ ne s’injecte pas dans α et est le plus petit ordinal ayant cette propriété

Question 90

Comment se définit la suite ω_i ?

Answer 90

On pose ω₀ = ω et ω_i+1 le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dans ω_i

Question 91

Borne supérieure de l’ensemble des ordinaux dénombrables

Answer 91

ω₁ qui est le plus petit ordinal qui ne s’injecte pas dans ω

Question 92

Qu’est-ce que le développement itéré de n en base p

Answer 92

Il s’agit d’exprimer n au moyen des entiers de 1 à p-1, de la somme, des multiplications et de l’exponentiation en base p

Question 93

Définition des suites de Goodstein

Answer 93

Pour q ≥ p ≥ 2, T_p,q(n) est l’évaluation du développement itéré de n en base p dans lequel on a remplacé partout p par q, une suite de Goodstein à partir de d est alors :
- G_d,2 = d
- G_{d,p+1</sup> = Tp,p+1(Gd,p) - 1 si Gd,p est non-nul, 0 sinon}

Question 94

Théorème de Goodstein (énoncé)

Answer 94

Pour tout entier d, la suite G_d,p converge vers 0, c’est-à-dire qu’il existe p tel que G_d,p = 0

Question 95

Théorème de Goodstein (schéma de preuve)

Answer 95

• Introduire une fonction de développement itéré adapté à l’arithmétique ordinale : T^p,ω(n) est le développement itéré de n en base p dans lequel on a remplacé partout p par ω et q < p par q
• Construire Ĝ_d,p = T_p,ω(G_d,p) afin d’obtenir une suite d’ordinaux Ĝ_d,2, Ĝ_d,3, … pour tout entier d
• Montrer que Ĝ_d,p = Ĝ_d,p+1
• Conclure en utilisant le fait qu’il n’existe pas de suite infinie décroissante d’ordinaux et pour tout p et n, T^p,ω(n) < T^p,ω(n + 1)