Chapitre 2 - Topologie

Question 1

Définir l’ensemble ouvert

Answer 1

Un ensemble A ⊆ ℝ est ouvert si pour chaque x ∈ A,
il existe r > 0 tq ]x-r, x+r[ ⊆ A.

Autrement dit, A ⊆ ℝ est ouvert si et seulement si ∀ x ∈ A, ∃ r > 0 tel que ]x-r, x+r[ ⊆ A

Question 2

Définir l’ensemble fermé

Answer 2

Un ensemble A ⊆ ℝ est dit fermé si son complémentaire ℝ\A est ouvert.

Question 3

Quelles sont les quatre propriétés qui découlent des concepts d’ensembles ouverts et fermés?

Answer 3

(a) toute réunion d’ensembles ouverts est ouverte

(b) toute intersection d’ensembles fermés est fermée

(c) toute intersection finie d’ensembles ouverts est ouverte

(d) toute réunion finie d’ensembles fermées est fermée

Question 4

Définir x comme point intérieur d’un sous-ensemble de ℝ

Answer 4

x est un point intérieur de A si :

il existe r > 0 tel que ]x-r, x+r[ ⊆ A

(Si x a un voisinage inclus dans A; tout sauf les bornes?)

Question 5

Définir x comme point d’adhérence d’un sous-ensemble de ℝ

Answer 5

x est un point d’adhérence de A si :

pour tout r > 0, on a ]x-r, x+r[ ∩ A ≠ ∅

(x a un voisinage qui peut dépasser de A)

Question 6

Définir x comme point frontière d’un sous-ensemble de ℝ

Answer 6

x est un point frontière de A si :

pour tout r>0, on a ]x-r, x+r[ ∩ A ≠ ∅
et
]x-r, x+r[ ∩ (ℝ\A) ≠ ∅

(x a un voisinage qui est à la fois dans A et à l’extérieur de A)

Question 7

Définir x comme point d’accumulation/point limite d’un sous ensemble de ℝ

Answer 7

x est un point d’accumulation/limite de A si :

Tout voisinage ouvert de x contient un point de A distinct de x, c-à-d, ∀ r > 0, on a
]x-r, x+r[ ∩ (A{x}) ≠ ∅

Question 8

Définir l’intérieur de A

Answer 8

int(A)
Ensemble des points intérieurs de A

Question 9

Définir l’adhérence/fermeture de A

Answer 9

Ā

ensemble des points d’adhérence de A

Question 10

Définir la frontière de A

Answer 10

∂A

Ensemble des points frontières de A

Question 11

Définir Acc(A)

Answer 11

Ensemble des points limites de A