Chapitre 1 - Les nombres réels

Question 1

Quels sont les 4 axiomes pour l’addition dans ℝ?

Answer 1

(A1) Commutativité : x + y = y + x
∀ x, y ∈ ℝ

(A2) Associativité : x + (y + z) = (x + y) + z
∀ x, y, z ∈ ℝ

(A3) Élément neutre pour l’addition : il existe un élément 0 ∈ ℝ tel que 0 + x = x + 0 = x
∀ x ∈ ℝ

(A4) Inverse additif : pour tout x ∈ ℝ, il existe -x ∈ ℝ tel que x + (-x) = 0

Question 2

Quels sont les 4 axiomes pour la multiplication dans ℝ ?

Answer 2

(M1) Commutativité : xy = yx
∀ x, y ∈ ℝ

(M2) Associativité : x(yz) = (xy)z
∀ x, y, z ∈ ℝ

(M3) Élément neutre : 1x = x1 = x
∀ x ∈ ℝ

(M4) Inverse multiplicatif : ∀ x ∈ ℝ tel que x ≠ 0, il existe x⁻¹ ∈ ℝ , tel que xx⁻¹ = 1

Question 3

Quel est l’axiome de la distributivité ?

Answer 3

(D) Distributivité : (x + y) z = xz + yz
∀ x, y, z ∈ ℝ

Question 4

Qu’est-ce qu’une relation d’ordre ? Donner les trois types

Answer 4

Définition : relation appliquée sur un ensemble X, notée ≤

Réflexivité : x ≤ x

Antisymétrie : (x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y

Transitivité : (x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z

Question 5

Quels sont les 4 axiomes sur la relation d’ordre dans ℝ ?

Answer 5

(O1) Transitivité : x ≤ z si x ≤ y et y ≤ z
∀ x, y, z ∈ ℝ

(O2) Exactement une des affirmations suivantes est vraie ∀ x ∈ ℝ
- x < 0
- x = 0
- 0 < x

(O3) si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z
∀ z ∈ ℝ

(O4) si 0 ≤ x et 0 ≤ y, alors 0 ≤ xy

Question 6

ℕ

Answer 6

Entiers naturels (0, 1, 2, 3, …)

Question 7

ℕ*

Answer 7

Entiers naturels strictement positifs (1, 2, 3, …)

Question 8

ℤ

Answer 8

Entiers relatifs (0, ±1, ±2, ±3, …)

Question 9

ℚ

Answer 9

Nombres rationnels

ℚ = {a/b : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

Question 10

Définir la puissance entière

Answer 10

Soit a ∈ ℝ \ {0} et n ∈ ℕ*

On définit a⁰ = 1, aⁿ = a • a • … • a (n facteurs a), a⁻ⁿ = a⁻¹ • a⁻¹ • … • a⁻¹ (avec n facteurs a⁻¹)

Question 11

Définir le polynôme

Answer 11

Soit n ∈ ℕ et x ∈ ℝ
Un polynôme P(x) est une somme finie des puissances naturelles de x à coefficients réels a₀, …, aₙ ∈ ℝ :

P(x) = a₀+ a₁x + … + aₙxⁿ

Question 12

Quelle est la définition de la valeur absolue ?

Answer 12

Soit a ∈ ℝ.
La valeur absolue de a, notée |a|, est définie par :
|a| = {a si a ≥ 0, -a si < 0

Question 13

Donner les quatre propriétés induites par la définition de valeur absolue.

Answer 13

1. Positivité : |x| ≥ 0. On a |x| = 0 ⇔ x = 0
2. –|x| ≤ x ≤ |x|
3. Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x + y|
4. |xy| = |x||y|

Question 14

Définir le principe du bon ordre

Answer 14

Tout sous-ensemble non-vide A ⊂ ℕ possède un plus petit élément.

Question 15

Définir le principe d’induction

Answer 15

Soit E ⊆ ℕ
-> tel que 0 ∈ E et
-> tel que n ∈ E dès que (n - 1) ∈ E.
Alors E = ℕ

Question 16

Quelles sont les trois étapes du raisonnement par récurrence?

Answer 16

Contexte : Soit n₀ ∈ ℕ. On veut MQ une propriété Pₙ est vraie ∀ n ∈ ℕ tel que n ≥ n₀.

1. Initialisation : prouver que la propriété P₀ est vraie.
2. Hérédité (étape inductive) : prouver que, ∀ entier n ≥ 0, si Pₙ est vraie alors Pₙ₊₁ est vraie.
3. Conclusion : la propriété Pₙ est vraie ∀ n ≥ n₀.

Question 17

Définition de «borné supérieurement»

Answer 17

A est borné supérieurement si :
- il existe M (borne supérieure/majorant) ∈ ℝ tq a ≤ M pour tout a ∈ A

Question 18

Définition de «borné inférieurement»

Answer 18

A est borné inférieurement si :
- Il existe m (borne inférieure/minorant) ∈ ℝ tq a ≥ m pour tout a ∈ A.

Question 19

Quelles sont les conditions pour qu’un ensemble soit considéré comme borné?

Answer 19

Doit être borné supérieurement ET inférieurement

Question 20

Définir le supremum

Answer 20

Plus petite borne supérieure de A

supA = sup{a : a ∈ A}

Question 21

Conditions pour être un supremum

Answer 21

Un nb β ∈ ℝ est le sup de A si et seulement si β est un majorant de A et que pour tout majorant M de A on a β ≤ M

Question 22

Définir l’infimum

Answer 22

La plus grande borne inférieure de A

infA = inf{a : a ∈ A}

Question 23

Quel est l’axiome de complétude ?

Answer 23

(AC) Tout ensemble non vide A ⊆ ℝ qui est borné supérieurement admet une plus petite borné supérieure.

Question 24

Quel est le principe d’Archimède ?

Answer 24

Pour tout réel x > 0,
il existe un entier naturel n ∈ ℕ* tel que 1/n < x

Question 25

Donner la définition de la partie entière et de la partie fractionnaire

Answer 25

Pour tout réel x ∈ ℝ, il existe un seul entier n ∈ ℤ tel que n ≤ x < n+1

Partie entière de x -> ⌊x⌋ = n
Partie fractionnaire de x -> {x} = x - ⌊x⌋

Question 26

Définir la fonction plafond (notation)

Answer 26

Si x ∉ ℕ, on note ⌈x⌉=⌊x⌋+1
Si x ∈ ℕ, on note ⌈x⌉=⌊x⌋

Question 27

Définir l’exposant rationnel

Answer 27

Soit x > 0 et m, n ∈ ℕ*

On définit xᵐ/ⁿ = (xⁿ)¹/ᵐ = (x¹/ⁿ)ᵐ

On définit x⁰ = 1 et 0ᵐ/ⁿ = 0

Question 28

Définir la densité

Answer 28

Soit A ⊆ B ⊆ ℝ des sous-ensembles de ℝ
On dit que A est dense dans B si pour tout x ∈ B ET pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que |a - x| < ε

Question 29

Est-ce que ℚ est dense dans ℝ?

Answer 29

Oui

Question 30

Est-ce que ℝ\ℚ est dense dans ℝ?

Answer 30

Oui

Question 31

Condition pour qu’un ensemble soit dénombrable

Answer 31

Un A est dénombrable s’il existe une bijection φ : ℕ → A.

Autrement dit, pour chaque n ∈ ℕ il existe un unique élément φ(n) de A
Et pour chaque élément x ∈ A il existe un unique n ∈ ℕ tel que x = φ(n)

Question 32

Donner les trois propriétés sur les ensembles dénombrables

Answer 32

(a) Tout sous-ensemble infini d’un ensemble dénombrable est dénombrable

(b) L’union dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable

(c) L’union finie (non-vide) d’ensembles dénombrables est dénombrable

Question 33

Définition intuitive du développement décimal

Answer 33

x = (k,a₁a₂a₃… aₙaₙ₊₁…)

où k ∈ ℤ et aₙ ∈ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} pour tout entier n ≥ 1

Question 34

Qu’est-ce qu’un développement décimal propre?

Answer 34

Un dev décimal est propre s’il n’existe PAS un entier N ≥ 1 tel que aₙ = 9 pour tout n ≥ N.

Question 35

Est-ce que tout nombre réel x ∈ ℝ admet un développement propre ?

Answer 35

Oui

Question 36

Quelle est la relation entre les nombres réels et les développements décimaux propres?

Answer 36

Une correspondance biunivoque ; chaque dev décimal propre représente un nb réel et chaque nb réel admet un unique dev décimal propre

Question 37

Quelle est la condition pour qu’un nombre réel soit rationnel ?

Answer 37

Il doit admettre un développement périodique

Question 38

Quel est le théorème de Cantor sur la dénombrabilité de l’ensemble des nombres réels?

Answer 38

L’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable.

Question 39

Définir un nombre algébrique vs un nombre transcendant

Answer 39

Nombre algébrique :
Soit α ∈ ℝ. On dit α algébrique s’il existe un polynôme non nul à coefficients entiers P(x) = a₀+…+aₙxⁿ tel que P(α) = 0

Nombre transcendant :
Si α n’est pas algébrique, il est transcendant

Question 40

Quel est le théorème de Liouville sur les nombres réels transcendants ?

Answer 40

L’ensemble des nombres réels transcendants est non vide et non dénombrable.