Chapitre 1 - Les nombres réels Flashcards
Quels sont les 4 axiomes pour l’addition dans ℝ?
(A1) Commutativité : x + y = y + x
∀ x, y ∈ ℝ
(A2) Associativité : x + (y + z) = (x + y) + z
∀ x, y, z ∈ ℝ
(A3) Élément neutre pour l’addition : il existe un élément 0 ∈ ℝ tel que 0 + x = x + 0 = x
∀ x ∈ ℝ
(A4) Inverse additif : pour tout x ∈ ℝ, il existe -x ∈ ℝ tel que x + (-x) = 0
Quels sont les 4 axiomes pour la multiplication dans ℝ ?
(M1) Commutativité : xy = yx
∀ x, y ∈ ℝ
(M2) Associativité : x(yz) = (xy)z
∀ x, y, z ∈ ℝ
(M3) Élément neutre : 1x = x1 = x
∀ x ∈ ℝ
(M4) Inverse multiplicatif : ∀ x ∈ ℝ tel que x ≠ 0, il existe x⁻¹ ∈ ℝ , tel que xx⁻¹ = 1
Quel est l’axiome de la distributivité ?
(D) Distributivité : (x + y) z = xz + yz
∀ x, y, z ∈ ℝ
Qu’est-ce qu’une relation d’ordre ? Donner les trois types
Définition : relation appliquée sur un ensemble X, notée ≤
Réflexivité : x ≤ x
Antisymétrie : (x ≤ y et y ≤ x) ⇒ x = y
Transitivité : (x ≤ y et y ≤ z) ⇒ x ≤ z
Quels sont les 4 axiomes sur la relation d’ordre dans ℝ ?
(O1) Transitivité : x ≤ z si x ≤ y et y ≤ z
∀ x, y, z ∈ ℝ
(O2) Exactement une des affirmations suivantes est vraie ∀ x ∈ ℝ
- x < 0
- x = 0
- 0 < x
(O3) si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z
∀ z ∈ ℝ
(O4) si 0 ≤ x et 0 ≤ y, alors 0 ≤ xy
ℕ
Entiers naturels (0, 1, 2, 3, …)
ℕ*
Entiers naturels strictement positifs (1, 2, 3, …)
ℤ
Entiers relatifs (0, ±1, ±2, ±3, …)
ℚ
Nombres rationnels
ℚ = {a/b : a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
Définir la puissance entière
Soit a ∈ ℝ \ {0} et n ∈ ℕ*
On définit a⁰ = 1, aⁿ = a • a • … • a (n facteurs a), a⁻ⁿ = a⁻¹ • a⁻¹ • … • a⁻¹ (avec n facteurs a⁻¹)
Définir le polynôme
Soit n ∈ ℕ et x ∈ ℝ
Un polynôme P(x) est une somme finie des puissances naturelles de x à coefficients réels a₀, …, aₙ ∈ ℝ :
P(x) = a₀+ a₁x + … + aₙxⁿ
Quelle est la définition de la valeur absolue ?
Soit a ∈ ℝ.
La valeur absolue de a, notée |a|, est définie par :
|a| = {a si a ≥ 0, -a si < 0
Donner les quatre propriétés induites par la définition de valeur absolue.
- Positivité : |x| ≥ 0. On a |x| = 0 ⇔ x = 0
- –|x| ≤ x ≤ |x|
- Inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x + y|
- |xy| = |x||y|
Définir le principe du bon ordre
Tout sous-ensemble non-vide A ⊂ ℕ possède un plus petit élément.
Définir le principe d’induction
Soit E ⊆ ℕ
-> tel que 0 ∈ E et
-> tel que n ∈ E dès que (n - 1) ∈ E.
Alors E = ℕ
Quelles sont les trois étapes du raisonnement par récurrence?
Contexte : Soit n₀ ∈ ℕ. On veut MQ une propriété Pₙ est vraie ∀ n ∈ ℕ tel que n ≥ n₀.
- Initialisation : prouver que la propriété P₀ est vraie.
- Hérédité (étape inductive) : prouver que, ∀ entier n ≥ 0, si Pₙ est vraie alors Pₙ₊₁ est vraie.
- Conclusion : la propriété Pₙ est vraie ∀ n ≥ n₀.
Définition de «borné supérieurement»
A est borné supérieurement si :
- il existe M (borne supérieure/majorant) ∈ ℝ tq a ≤ M pour tout a ∈ A
Définition de «borné inférieurement»
A est borné inférieurement si :
- Il existe m (borne inférieure/minorant) ∈ ℝ tq a ≥ m pour tout a ∈ A.
Quelles sont les conditions pour qu’un ensemble soit considéré comme borné?
Doit être borné supérieurement ET inférieurement
Définir le supremum
Plus petite borne supérieure de A
supA = sup{a : a ∈ A}
Conditions pour être un supremum
Un nb β ∈ ℝ est le sup de A si et seulement si β est un majorant de A et que pour tout majorant M de A on a β ≤ M
Définir l’infimum
La plus grande borne inférieure de A
infA = inf{a : a ∈ A}
Quel est l’axiome de complétude ?
(AC) Tout ensemble non vide A ⊆ ℝ qui est borné supérieurement admet une plus petite borné supérieure.
Quel est le principe d’Archimède ?
Pour tout réel x > 0,
il existe un entier naturel n ∈ ℕ* tel que 1/n < x
Donner la définition de la partie entière et de la partie fractionnaire
Pour tout réel x ∈ ℝ, il existe un seul entier n ∈ ℤ tel que n ≤ x < n+1
Partie entière de x -> ⌊x⌋ = n
Partie fractionnaire de x -> {x} = x - ⌊x⌋
Définir la fonction plafond (notation)
Si x ∉ ℕ, on note ⌈x⌉=⌊x⌋+1
Si x ∈ ℕ, on note ⌈x⌉=⌊x⌋
Définir l’exposant rationnel
Soit x > 0 et m, n ∈ ℕ*
On définit xᵐ/ⁿ = (xⁿ)¹/ᵐ = (x¹/ⁿ)ᵐ
On définit x⁰ = 1 et 0ᵐ/ⁿ = 0
Définir la densité
Soit A ⊆ B ⊆ ℝ des sous-ensembles de ℝ
On dit que A est dense dans B si pour tout x ∈ B ET pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que |a - x| < ε
Est-ce que ℚ est dense dans ℝ?
Oui
Est-ce que ℝ\ℚ est dense dans ℝ?
Oui
Condition pour qu’un ensemble soit dénombrable
Un A est dénombrable s’il existe une bijection φ : ℕ → A.
Autrement dit, pour chaque n ∈ ℕ il existe un unique élément φ(n) de A
Et pour chaque élément x ∈ A il existe un unique n ∈ ℕ tel que x = φ(n)
Donner les trois propriétés sur les ensembles dénombrables
(a) Tout sous-ensemble infini d’un ensemble dénombrable est dénombrable
(b) L’union dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable
(c) L’union finie (non-vide) d’ensembles dénombrables est dénombrable
Définition intuitive du développement décimal
x = (k,a₁a₂a₃… aₙaₙ₊₁…)
où k ∈ ℤ et aₙ ∈ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} pour tout entier n ≥ 1
Qu’est-ce qu’un développement décimal propre?
Un dev décimal est propre s’il n’existe PAS un entier N ≥ 1 tel que aₙ = 9 pour tout n ≥ N.
Est-ce que tout nombre réel x ∈ ℝ admet un développement propre ?
Oui
Quelle est la relation entre les nombres réels et les développements décimaux propres?
Une correspondance biunivoque ; chaque dev décimal propre représente un nb réel et chaque nb réel admet un unique dev décimal propre
Quelle est la condition pour qu’un nombre réel soit rationnel ?
Il doit admettre un développement périodique
Quel est le théorème de Cantor sur la dénombrabilité de l’ensemble des nombres réels?
L’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable.
Définir un nombre algébrique vs un nombre transcendant
Nombre algébrique :
Soit α ∈ ℝ. On dit α algébrique s’il existe un polynôme non nul à coefficients entiers P(x) = a₀+…+aₙxⁿ tel que P(α) = 0
Nombre transcendant :
Si α n’est pas algébrique, il est transcendant
Quel est le théorème de Liouville sur les nombres réels transcendants ?
L’ensemble des nombres réels transcendants est non vide et non dénombrable.
