Ch. 5 et 8

Question 1

Différence entre le sens et la direction d’un vecteur

Answer 1

sens : signe
direction : angle

Question 2

Définition de vecteurs égaux (équipollents)

Answer 2

Même module, même direction, même sens

Question 3

Définition d’un vecteur unitaire

Answer 3

De longueur 1

Question 4

Définition de vecteurs opposés

Answer 4

Même module, même direction, sens opposé

Question 5

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

u + v = …

Où u et v sont des vecteurs

Answer 5

u + v = v + u
Commutatifs

Où u et v sont des vecteurs

Question 6

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

u + (v + w) = …

Où u, v et w sont des vecteurs

Answer 6

u + (v + w) = (u + v) + w
Associatifs

Où u, v et w sont des vecteurs

Question 7

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

u + (-u) = …

Où u et 0 sont des vecteurs

Answer 7

u + (-u) = 0

(0 est un vecteur, pas un scalaire)

Où u et 0 sont des vecteurs

Question 8

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

u + 0 = … = …

Où u et 0 sont des vecteurs

Answer 8

u + 0 = 0 + u = u

(0 est un vecteur)

Où u et 0 sont des vecteurs

Question 9

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

1u = …

Où u est un vecteur et 1 un scalaire

Answer 9

1u = u

Où u est un vecteur et 1 un scalaire

Question 10

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

(c k) ū = …

Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires

Answer 10

(c k) ū = c (k ū)

Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires

Question 11

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

(c + k) ū = …

Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires

Answer 11

(c +k) ū = c ū + k ū

Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires

Question 12

Propriétés des opérations sur les vecteurs :

k (u + v) = …

Où u et v sont des vecteurs et k est un scalaire

Answer 12

k (u + v) = (k u + k v)

Où u et v sont des vecteurs et k est un scalaire

Question 13

Définition vectorielle de vecteurs parallèles

Où u et v sont des vecteurs et k un scalaire

Answer 13

u = k v

Où u et v sont des vecteurs et k un scalaire

Question 14

Définition vectorielle du produit scalaire

Où a et b sont des vecteurs

Answer 14

a * b =||a||||b||cosθ

Où a et b sont des vecteurs et θ est l’angle entre a et b

Question 15

Propriétés du produit scalaire

a * b = …

Où a et b sont des vecteurs

Answer 15

a * b = b * a

Où a et b sont des vecteurs

Question 16

Propriétés du produit scalaire

a * (b + c) = …

Où a, b et c sont des vecteurs

Answer 16

a * (b + c) = a * b + a * c

Où a, b et c sont des vecteurs

Question 17

Propriétés du produit scalaire

k ( a * b) = … = …

Où a et b sont des vecteurs et k est un scalaire

Answer 17

k ( a * b) = (ka) * b = a * (kb)

Où a et b sont des vecteurs et k est un scalaire

Question 18

Propriétés du produit scalaire

a * 0 = …

Où a est un vecteur et le zéro est le vecteur nul

Answer 18

a * 0 = 0 (scalaire)

Où a est un vecteur et le zéro à gauche est le vecteur nul

Question 19

Propriétés du produit scalaire

a * a = …

Où a est un vecteur

Answer 19

a * a = ||a||²

Où a est un vecteur

Question 20

Propriétés du produit scalaire

a et b sont orthogonaux si…

Où a et b sont des vecteurs

Answer 20

a * b = 0 (scalaire)

Où a et b sont des vecteurs et 0 est un scalaire

Question 21

Qu’est-ce qu’une combinaison linéaire ?

Answer 21

La somme des multiples des vecteurs d’un ensemble.

ex.: u est une combinaison linéaire de l’ensemble de vecteurs (a, b) car u = k₁a + k₂b

Où u, a et b sont des vecteurs et k₁ et k₂ sont des scalaires

Question 22

Quels sont les critères pour engendrer R² ?

Answer 22

Tout vecteur de R² doit pouvoir s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de l’ensemble donné.

Donc, il faut minimalement deux vecteurs non-parallèles.

Question 23

Qu’est-ce que la dépendance linéaire ?

Answer 23

Un des vecteurs d’un ensemble s’écrit comme une combinaison linéaire des autres ; à l’opposé, les vecteurs d’un ensemble sont linéairement indépendants (libres) s’ils ne peuvent pas s’écrire en fonction des autres.

Dans R², un ensemble de vecteurs est automatiquement dépendant si il 3+ vecteurs dans l’ensemble.

Question 24

Le vecteur nul est-il linéairement dépendants ou indépendant des autres vecteurs?

Answer 24

Linéairement dépendant ; on peut toujours écrire 0v = 0

Où v est un vecteur, 0 (gauche) un scalaire et 0 (droite) un vecteur

Question 25

Pour être une base de R², quelles sont les deux caractéristiques que doit posséder un ensemble de vecteurs?

Answer 25

1. l’ensemble doit pouvoir engendrer R² (2 vecteurs non-parallèles)
2. l’ensemble doit être linéairement indépendant

Question 26

Quelle est la base canonique de R² ?

Answer 26

(i, j)

Où i et j sont des vecteurs

Question 27

Comment sont orientés les axes dans R³ ?

Answer 27

z vers le haut, y sur la gauche-droite, x vers soi

Question 28

Opérations dans R³

a + b = …

Où a et b sont des vecteurs

Answer 28

a + b = [a₁+b₁ a₂+b₂ a₃+b₃]

Où a et b sont des vecteurs

Question 29

Opérations dans R³

k a = …

Où a est un vecteur

Answer 29

k a = [ka₁ ka₂ ka₃]

Où a est un vecteur

Question 30

Comment construire un vecteur unitaire parallèle à un autre vecteur dans R³ ?

Supposons parallèle à ā où ā est un vecteur

Answer 30

ū = (1/||ā||) ā

Où ū et ā sont des vecteurs

Question 31

Comment construire un vecteur de longueur k parallèle à un autre vecteur dans R³ ?

Supposons parallèle à ā où ā est un vecteur

Answer 31

ū = (±k /||ā||) ā

Où ū et ā sont des vecteurs

Question 32

Produit scalaire dans R³

Answer 32

||ā|| ||b||cos θ = a₁+b₁ a₂+b₂ a₃+b₃

Où a et b (à gauche du = seulement) sont des vecteurs

Question 33

Qu’est-ce qu’une base orthonormée?

Answer 33

Une base dont tous les vecteurs sont de norme 1 et sont perpendiculaires

Question 34

Géométriquement, qu’est-ce qui est nécessaire pour former une base de R³?

Answer 34

3 vecteurs non coplanaires

Question 35

Quelle est la formule du produit vectoriel (seulement dans R³) ?

||c|| = …

Où c est un vecteur

Answer 35

||c||=||ā|| ||ū||sin θ

Où c, ā et ū sont des vecteurs