Ch. 5 et 8 Flashcards
Différence entre le sens et la direction d’un vecteur
sens : signe
direction : angle
Définition de vecteurs égaux (équipollents)
Même module, même direction, même sens
Définition d’un vecteur unitaire
De longueur 1
Définition de vecteurs opposés
Même module, même direction, sens opposé
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
u + v = …
Où u et v sont des vecteurs
u + v = v + u
Commutatifs
Où u et v sont des vecteurs
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
u + (v + w) = …
Où u, v et w sont des vecteurs
u + (v + w) = (u + v) + w
Associatifs
Où u, v et w sont des vecteurs
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
u + (-u) = …
Où u et 0 sont des vecteurs
u + (-u) = 0
(0 est un vecteur, pas un scalaire)
Où u et 0 sont des vecteurs
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
u + 0 = … = …
Où u et 0 sont des vecteurs
u + 0 = 0 + u = u
(0 est un vecteur)
Où u et 0 sont des vecteurs
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
1u = …
Où u est un vecteur et 1 un scalaire
1u = u
Où u est un vecteur et 1 un scalaire
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
(c k) ū = …
Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires
(c k) ū = c (k ū)
Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
(c + k) ū = …
Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires
(c +k) ū = c ū + k ū
Où u est un vecteur et c et k sont des scalaires
Propriétés des opérations sur les vecteurs :
k (u + v) = …
Où u et v sont des vecteurs et k est un scalaire
k (u + v) = (k u + k v)
Où u et v sont des vecteurs et k est un scalaire
Définition vectorielle de vecteurs parallèles
Où u et v sont des vecteurs et k un scalaire
u = k v
Où u et v sont des vecteurs et k un scalaire
Définition vectorielle du produit scalaire
Où a et b sont des vecteurs
a * b =||a||||b||cosθ
Où a et b sont des vecteurs et θ est l’angle entre a et b
Propriétés du produit scalaire
a * b = …
Où a et b sont des vecteurs
a * b = b * a
Où a et b sont des vecteurs
Propriétés du produit scalaire
a * (b + c) = …
Où a, b et c sont des vecteurs
a * (b + c) = a * b + a * c
Où a, b et c sont des vecteurs
Propriétés du produit scalaire
k ( a * b) = … = …
Où a et b sont des vecteurs et k est un scalaire
k ( a * b) = (ka) * b = a * (kb)
Où a et b sont des vecteurs et k est un scalaire
Propriétés du produit scalaire
a * 0 = …
Où a est un vecteur et le zéro est le vecteur nul
a * 0 = 0 (scalaire)
Où a est un vecteur et le zéro à gauche est le vecteur nul
Propriétés du produit scalaire
a * a = …
Où a est un vecteur
a * a = ||a||²
Où a est un vecteur
Propriétés du produit scalaire
a et b sont orthogonaux si…
Où a et b sont des vecteurs
a * b = 0 (scalaire)
Où a et b sont des vecteurs et 0 est un scalaire
Qu’est-ce qu’une combinaison linéaire ?
La somme des multiples des vecteurs d’un ensemble.
ex.: u est une combinaison linéaire de l’ensemble de vecteurs (a, b) car u = k₁a + k₂b
Où u, a et b sont des vecteurs et k₁ et k₂ sont des scalaires
Quels sont les critères pour engendrer R² ?
Tout vecteur de R² doit pouvoir s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de l’ensemble donné.
Donc, il faut minimalement deux vecteurs non-parallèles.
Qu’est-ce que la dépendance linéaire ?
Un des vecteurs d’un ensemble s’écrit comme une combinaison linéaire des autres ; à l’opposé, les vecteurs d’un ensemble sont linéairement indépendants (libres) s’ils ne peuvent pas s’écrire en fonction des autres.
Dans R², un ensemble de vecteurs est automatiquement dépendant si il 3+ vecteurs dans l’ensemble.
Le vecteur nul est-il linéairement dépendants ou indépendant des autres vecteurs?
Linéairement dépendant ; on peut toujours écrire 0v = 0
Où v est un vecteur, 0 (gauche) un scalaire et 0 (droite) un vecteur
Pour être une base de R², quelles sont les deux caractéristiques que doit posséder un ensemble de vecteurs?
- l’ensemble doit pouvoir engendrer R² (2 vecteurs non-parallèles)
- l’ensemble doit être linéairement indépendant
Quelle est la base canonique de R² ?
(i, j)
Où i et j sont des vecteurs
Comment sont orientés les axes dans R³ ?
z vers le haut, y sur la gauche-droite, x vers soi
Opérations dans R³
a + b = …
Où a et b sont des vecteurs
a + b = [a₁+b₁ a₂+b₂ a₃+b₃]
Où a et b sont des vecteurs
Opérations dans R³
k a = …
Où a est un vecteur
k a = [ka₁ ka₂ ka₃]
Où a est un vecteur
Comment construire un vecteur unitaire parallèle à un autre vecteur dans R³ ?
Supposons parallèle à ā où ā est un vecteur
ū = (1/||ā||) ā
Où ū et ā sont des vecteurs
Comment construire un vecteur de longueur k parallèle à un autre vecteur dans R³ ?
Supposons parallèle à ā où ā est un vecteur
ū = (±k /||ā||) ā
Où ū et ā sont des vecteurs
Produit scalaire dans R³
||ā|| ||b||cos θ = a₁+b₁ a₂+b₂ a₃+b₃
Où a et b (à gauche du = seulement) sont des vecteurs
Qu’est-ce qu’une base orthonormée?
Une base dont tous les vecteurs sont de norme 1 et sont perpendiculaires
Géométriquement, qu’est-ce qui est nécessaire pour former une base de R³?
3 vecteurs non coplanaires
Quelle est la formule du produit vectoriel (seulement dans R³) ?
||c|| = …
Où c est un vecteur
||c||=||ā|| ||ū||sin θ
Où c, ā et ū sont des vecteurs
