Capitolo 2) Partial Equilibrium Valuation

Question 1

Su quali assunzioni si basa l’APT?

Answer 1

1. Esiste un linear factor model che da un modello per i ritorni delle stocks soddisfacente
2. Gli arbitraggisti identificano opportunità di arbitraggio e le sfruttano finche non scompaiono. Questo porta i prezzi ad un livello efficiente

Question 2

Formula matriciale del linear factor model

Answer 2

Question 3

Formula lineare del linear factor model

Answer 3

Question 4

Ipotesi derivanti dal linear factor model

Answer 4

La seconda vale perché il momento secondo è uguale alla varianza in caso di valore atteso pari a 0.

Question 5

Formula vettore degli expected returns del linear factor model

Answer 5

Question 6

Formule matrice varianza/covarianza dei titoli e matrice varianza/covarianza dei fattori

Answer 6

Question 7

Cosa succede a matrice varianza/covarianza dei titoli e matrice varianza/covarianza dei fattori in caso di fattori incorrelati?

Answer 7

La matrice di varcov dei fattori diventa una matrice diagonale e di conseguenza la matrice di varcov dei titoli può essere scritta come scalare.

Question 8

Parlare di modelli con fattori a media zero, è restrittivo? Perché?

Answer 8

No, perché ogni fattore con E(F) diverso da 0, può essere ricondotto ad un nuovo fattore F tilde con zero media.

Question 9

Condizioni di un portafoglio di arbitraggio

Answer 9

1. Zero Iniztial Investment: la somma dei valori investiti negli n titoli deve essere zero
2. No Systematic Risk: la media ponderata per i pesi dei beta del portafoglio deve essere 0
3. Arbitrage Opportunity: Un portafoglio è detto di arbitraggio (asintotico) se il suo guadagno atteso rimane strettamente positivo al tendere all’infintio del numero dei titoli
4. Zero Expected Gain: in un mercato senza opportunità di arbitraggio, un portafoglio che non ha rischio e non richiede investimento iniziale, avrà un valore atteso di guadagno pari a 0.

Question 10

Perché l’APT è un equilibrio parziale e non generale? Che vantaggi e svantaggi ha?

Answer 10

Perché la condizione di assenza di arbitraggio è più debole rispetto all’esistenza di un equilibrio di mercato.
Il vantaggio è che richiede meno ipotesi sulla struttura di mercato e per essere testata statisticamente.
Lo svantaggio è che una teoria basata sull’arbitraggio è meno informativa

Question 11

Maggiori debolezze dell’APT

Answer 11

Question 12

Formula e significato APT framework

Answer 12

Il ritorno atteso di un asset i, in caso di assenza di opportunità di arbitraggio asintotiche, è descritto da un fattore costante, da dei fattori di rischio moltiplicati per l’esposizione ad essi e da un componente non sistematico, che però può convergere a 0 se il numero di titoli nel mercato tende a infinito perché nessuno ti paga il componente specifico se potresti diversificarlo

Question 13

Interpretazione economica dei coefficienti lambda (fattori di rischio)

Answer 13

Sono il rendimento in eccesso (sul risk free) di un portafoglio con un’esposizione unitaria (pari a 1) a quel fattore di rischio lambda e zero esposizione agli altri fattori di rischio.

Question 14

Qual è il vantaggio di prendere i fattori come rendimenti in eccesso di traded portfolios?

Answer 14

Il vantaggio è che prendendo i fattori così creati, sono implicate le equazioni (2.5) e (2.6) e esse facilitano i test empirici del factor model.

Question 15

Siccome le esposizioni di rischio dei portafogli A e B sono note e date dalle equazioni in foto, il risk premium atteso come può essere stimato?

Answer 15

Come media semplice

Question 16

Vantaggio di usare i Traded portfolio

Answer 16

Usare i traded portfolios (che sono qualcosa di osservabile) mi facilita testare la veridicità dell’APT. Usando il Traded portfolio, che è un portafoglio osservabile sul mercato esposto in maniera unitaria al fattore di riferimento e non esposto a nessun altro, non devo andarmi io a creare un portafoglio con questo effetto, siccome osservo lui che già esiste sul mercato e ha la caratteristica che mi interessa. Ricordiamo inoltre che il traded portfolio è un rendimento in eccesso al risk free. Dopo aver preso un traded portfolio per tutti i fattori necessari, posso eseguire dei test e ad esempio testo per vedere se c’è α. Se α non è statisticamente significativa, allora ho osservato tramite i traded portfolio (quindi senza dovermi creare dei portafogli long short apposta) che l’APT funziona siccome nient’altro che i fattori scelti spiegano i rendimenti di qualcosa.

Question 17

Passaggi per creare i long-short portfolios

Answer 17

1. Trovo K fattori
2. Per ogni fattore ranko le sue securities in base alla loro esposizione a quel fattore e sono raggruppati in g (quantili, terziai, etc)
3. Il numero di portafogli creatosi è g1 * g2 * … (numero di combinazioni possibili tra tutti i g di tutti i fattori)
4. Per ogni fattore è possibile creare un single factor mimicking portfolio dai gTot portafogli creati. La caratteristica di questi mimicking portfolios è che saranno correlati al massimo con un fattore e molto diversificati rispetto agli altri.
5. Per ogni fattore, il suo mimicking portfolio è costituito in modo da essere una long short combination di due portafogli
6. Questi due portafogli (uno long e uno short) sono creati così. Il long sarà un portafoglio costruito con pesi uguali da tutti i portafogli che prendono il quantile più alto del fattore di interesse. Per quello short invece valo lo stesso ma prendendo i building blocks portfolios corrispondenti al quantile più basso rispetto al fattore di interesse