7) From Expected Utility to Mean Variance

Question 1

Nuova formulazione dell’expected utility con approccio media-varianza. Inoltre, cosa assumiamo?

Answer 1

Assumiamo la gaussianità dei ritorni e definiamo la funzione di utilità in termini di ritorni invece che di ricchezza finale.

Question 2

Formula alternativa expected utility ricavata da Taylor e osservazioni

Answer 2

Question 3

Cos’è quindi il mean-variance model?

Answer 3

è una versione semplificata dell’Expected Utility model che sarebbe troppo difficile da calcolare e dipende solo da media e varianza. Infatti un’approssimazione più veritiera dell’EU model sarebbe la taylor expansion, ma essa non dipende solo da media e varianza

Question 4

Formula standard deviation in caso di correlazione p = 1

Due asset rischiosi

Answer 4

Il passaggio da varianza a stdev è la radice di quadrato di un binomio

Question 5

Equazione frontiera efficente p = 1

Due asset rischiosi

Answer 5

Risolvo per a nella standard deviation e inserisco nella formula dell’expected return. Ottengo una retta

Question 6

Formula standard deviation in caso di p = -1

Answer 6

C’è anche un punto in cui è uguale a 0 e per questo possiamo avere un portafolgio totalmente privo di rischio

Question 7

Cosa succede al rischio del portafolgio se -1<p<1?

Answer 7

Il rischio del portafolgio non è più una funzione lineare di a (pesi)

Question 8

Quando è possibile creare un portafoglio con rischio strettamente minore del rischio dei due titoli di partenza?

Answer 8

è possibile se e solo se (vedi foto)

Question 9

Qual è il senso dietro all’ottimizzazione lagrangiana? A cosa è simile?

Answer 9

Scegli dei pesi per cui il rapporto return e contribuzione al rischio di ciascuno deve essere lo stesso. Se così non fosse, potremmo aumentare l’efficienza vendendo parte della stock con il peggiore rapporto e comprando un po’ di quella con il miglior rapporto, per tornare in equilibrio.

Questo ha la stessa logica di quando nel modello expected utility, trovavamo l’equilibrio quando la contribuzione marginale di pgni asset all’utilità attesa doveva essere uguale e se non fosse stato così, avremmo potuto aumentare l’utilità attesa spostando ricchezza dagli asset con la minore contribuzione marginale a quelli con una maggior contribuzione marginale.

Ciò perche il mean variance è una sempificazione dell’expected utility model