Cap. 1 – Espaços vectoriais lineares Flashcards
O que é um Espaço Vetorial Linear?
Vm
É um conjunto de objetos (vetores) onde:
- Uma regra de soma |v⟩ + |w⟩ tal que o resultado é membro de Vm (ou seja, é um outro vetor membro do espaço)
- Uma regra de multiplicação por escalares a, b, c, … tal que a|v⟩ ∈ Vm.
Dimensão de um Espaço Vetorial?
Define o maior número possível de vetores linearmente independentes, num dado espaço vetorial.
Base?
É um conjunto de m vetores linearmente independentes, num espaço de dimensão m.
Qualquer outro vetor pode ser escrito através destes vetores.
Não têm de ser ortogonais.
Produto Interno?
O produto interno ⟨v|e⟩ entre dois vetores |v⟩ e |w⟩ ́e uma regra que combina os dois vetores para produz um escalar, e que satisfaz as seguintes propriedades (considerando o corpo R ou C).
Base Ortonormada?
Uma base ortonormal é uma base de vetores ortogonais entre si e de norma unitária:
Complexo Conjugado?
Números complexos com a mesma parte real, mas com parte imaginária simétrica.
Vetor Normalizado?
Vetor com norma 1, paralelo ao vetor original.
Como se calcula a componente de um vetor que foi criado a partir de uma base normalizada?
Pelo produto interno desse vetor com um vetor da base ortonormada.
Notação de Dirac?
Para um espaço vectorial, podemos imaginar um espaço dual, em que os vetores são as transpostas conjugadas dos vetores no outro espaço. O Dirac introduziu a seguinte notação para duas espaços vectoriais duais:
Espaço de Kets
Espaço de Bras
Para cada vetor no espaço dos Kets existe o seu vetor dual no espaço dos Bras, cujo representação matricial é o
adjunto (transposta conjugada) do ket |v⟩.
Operador Linear?
Um operador linear Ω é uma regra de transformação de |v⟩ em outro vector |w⟩ representada por Ω|v⟩ = |w⟩,
O que se conclui se se for conhecida a ação de um operador linear nos vetores da base?
A ação do operador em qualquer vector é também conhecida (resulto das propriedades lineares).
A ordem importa nos operadores?
Sim, geralmente sim.
Comutador?
Se o comutador for zero?
[A,B] = AB - BA
Então A e B comutam. Ou seja, podemos trocar a ordem deles.
A representação matricial de operadores?
É feita com matrizes mxm (quadradas) e depende das dimensões do espaço vetorial.
Processo Gram-Schmidt?
Processo usado em vetores linearmente independentes, que os ortonormaliza. Ou seja, serve para escrever-mos k vetores ortonormais.
Ou seja, aqui estamos a ir buscar o resultante de uma projeção, aquele vetor perpendicular a |u⟩, se a projeção for:
Pu|v⟩ = [|u⟩⟨u|/|u|^2]|v⟩
Operador Projeção?
Qual é a parte que o operador
Pu = (|u⟩⟨u|)/|u|^2
Trata-se da projeção ortogonal do vetor u no vetor v, apesar de aqui só estar representado o operador projeção.
Dado um outro vetor v, o resultante de Pu|v⟩, será o vetor da projeção de v em u, ou seja, um vetor paralelo a u.
O operador projeção, neste caso encontra a parte paralela de |v⟩(a própria projeção) em |u⟩.
Tendo um espaço vetorial de 3 dimensões, por exemplo, 3 vetores de 3 dimensões, linearmente independentes é o mesmo que ter o quê?
Uma base para 3 dimensões.
Como se obtém o dual de uma expressão?
- Invertemos a ordem dos fatores
2. Substituimos.
Operador Hermítico?
É igual ao adjunto.
Ω = Ω†, o que implica que Ωij = Ωji∗
Operador Anti-Hermítico?
É igual ao adjunto negativo.
Ω = −Ω† Ωij = -Ωji*
Operador Unitário?
É mutável de posição. O seu adjunto desfaz o que U faz, por isso é que é unitário.
UU† = U†U = 1, o que implica que U† = U^−1
O que formam as colunas e/ou linhas de uma matriz unitária U?
Formam uma base ortonormal, ou seja, são compostas de vetores linearmente independentes, ortogonais e normalizados.
Delta de Kroencker?
Uma matriz que representa vetores ortonormais, isto é quando o produto interno dá zero os vetores são perpendiculares.
Valor Próprio de um Operador?
É um valor que verifica a seguinte igualdade:
Ω|v⟩ = λ|v⟩,
onde λ representa o valor próprio.
Vetor Próprio de um Operador?
É um vetor que verifica a seguinte igualdade:
Ω|v⟩ = λ|v⟩,
onde |v⟩ representa o vetor próprio.
Uma matriz é inversível quando?
Quando o seu determinante é diferente de zero.
Que condição é necessária para que existam valores próprios de um operador?
det(Ω- λ1) = 0
Vetores próprios correspondentes a valores próprios distintos são linearmente independentes?
Sim
Vetores próprios de valores próprios diferentes (de um operados hermítico) são sempre o quê?
Ortogonais.
Base Prórpria de um operador?
E se o operador for hermítico?
Base formada pelos vetores próprios de um operador, que são ortogonais.
Se o operador for hermítico podemos formar uma base ortonormal.
Como é a representação matricial da base própria de um operador hermítico?
É uma matriz diagonal, onde na diagonal estão os valores próprios.
Os vetores próprios de um operador unitário de vetores próprios diferentes são o quê?
Ortogonais.
Um operador hermítico de dimensão m tem sempre quantos vetores próprios linearmente independentes?
Um operador hermítico de dimensão m, tem sempre m vetores próprios todos linearmente independentes.
Os valores próprios de um operador são sempre o quê?
Reais.
Os vetores próprios de valores próprios de um operador hermítico diferentes são sempre o quê?
Ortogonais.
Um operador unitário preserva sempre o quê?
Os produtos internos.
Seja Ω um operador hermítico e U um operador unitário, quando é que a matriz U†Ω U é diagonal?
Quando U é formado pelos vetores próprios de Ω.
O que formam os vetores próprios de um operador hermítico?
Formam uma base ortonormal.
Como é que um operador hermítico pode ser diagonalizado?
Por uma mudança de base unitária e o operador U é construído pelos vetores próprios do operador hermítico.
Degenerado?
Se existirem pelo menos 2 vetores linearmente independentes que são vetores próprios de um operador.
Ω com o mesmo valor próprio λ, este valor próprio diz-se degenerado.
Se tiver m valores próprios diferentes.
Quando o vetor próprio correspondente a um valor próprio λ é único (a menos de uma constante
multiplicativa), o valor próprio diz-se?
Não degenerado.
Ordem (grau) da degenerescência?
li (ou multiplicidade geométrica) é o número de vetores próprios
independentes com valor próprio λi
Um operador HermÍtico de dimensão m tem sempre quantos vertores linearmente independentes?
M
Base Própria Comum?
[Ω,Λ] = 0 ⇒ existe pelo menos uma base de vetores próprios que diagonaliza simultaneamente Ω e Λ.
É sempre possível expressar uma forma quadrática em termos de uma matriz simétrica?
Sim.
Uma matriz simétrica é também uma matriz hermítica?
O que implica isso?
Sim, e posso criar uma base própria.
Delta de Dirac?
Representa o produto interno entre vetores da base.
Expandir um vetor numa base?
Encontrar valores reais que satisfaçam a seguinte equação:
|v⟩ = α|v1⟩ + β|v2⟩, com α e β ∈ R
Um operador é unitário quando?
Dado por exemplo o operador U, este é unitário quando
U†U = 1, ou seja a matriz identidade.
Dadas uma matriz A, hermítica, ou seja, é igual à sua matriz adjunta, e uma matriz B.
SE as matrizes comutam, que conclusões se podem tirar?
Que existe uma base própria comum de A e B.
As colunas ou as linhas de uma matriz unitária U formam o quê?
As colunas (ou as linhas) de uma matriz unitária U formam uma base ortonormal do espaço em que U actua.
