Cap. 1 – Espaços vectoriais lineares

Question 1

O que é um Espaço Vetorial Linear?

Answer 1

Vm

É um conjunto de objetos (vetores) onde:

• Uma regra de soma |v⟩ + |w⟩ tal que o resultado é membro de Vm (ou seja, é um outro vetor membro do espaço)
• Uma regra de multiplicação por escalares a, b, c, … tal que a|v⟩ ∈ Vm.

Question 2

Dimensão de um Espaço Vetorial?

Answer 2

Define o maior número possível de vetores linearmente independentes, num dado espaço vetorial.

Question 3

Base?

Answer 3

É um conjunto de m vetores linearmente independentes, num espaço de dimensão m.

Qualquer outro vetor pode ser escrito através destes vetores.

Não têm de ser ortogonais.

Question 4

Produto Interno?

Answer 4

O produto interno ⟨v|e⟩ entre dois vetores |v⟩ e |w⟩ ́e uma regra que combina os dois vetores para produz um escalar, e que satisfaz as seguintes propriedades (considerando o corpo R ou C).

Question 5

Base Ortonormada?

Answer 5

Uma base ortonormal é uma base de vetores ortogonais entre si e de norma unitária:

Question 6

Complexo Conjugado?

Answer 6

Números complexos com a mesma parte real, mas com parte imaginária simétrica.

Question 7

Vetor Normalizado?

Answer 7

Vetor com norma 1, paralelo ao vetor original.

Question 8

Como se calcula a componente de um vetor que foi criado a partir de uma base normalizada?

Answer 8

Pelo produto interno desse vetor com um vetor da base ortonormada.

Question 9

Notação de Dirac?

Answer 9

Para um espaço vectorial, podemos imaginar um espaço dual, em que os vetores são as transpostas conjugadas dos vetores no outro espaço. O Dirac introduziu a seguinte notação para duas espaços vectoriais duais:

Espaço de Kets

Espaço de Bras

Para cada vetor no espaço dos Kets existe o seu vetor dual no espaço dos Bras, cujo representação matricial é o
adjunto (transposta conjugada) do ket |v⟩.

Question 10

Operador Linear?

Answer 10

Um operador linear Ω é uma regra de transformação de |v⟩ em outro vector |w⟩ representada por Ω|v⟩ = |w⟩,

Question 11

O que se conclui se se for conhecida a ação de um operador linear nos vetores da base?

Answer 11

A ação do operador em qualquer vector é também conhecida (resulto das propriedades lineares).

Question 12

A ordem importa nos operadores?

Answer 12

Sim, geralmente sim.

Question 13

Comutador?

Se o comutador for zero?

Answer 13

[A,B] = AB - BA

Então A e B comutam. Ou seja, podemos trocar a ordem deles.

Question 14

A representação matricial de operadores?

Answer 14

É feita com matrizes mxm (quadradas) e depende das dimensões do espaço vetorial.

Question 15

Processo Gram-Schmidt?

Answer 15

Processo usado em vetores linearmente independentes, que os ortonormaliza. Ou seja, serve para escrever-mos k vetores ortonormais.

Ou seja, aqui estamos a ir buscar o resultante de uma projeção, aquele vetor perpendicular a |u⟩, se a projeção for:

Pu|v⟩ = [|u⟩⟨u|/|u|^2]|v⟩

Question 16

Operador Projeção?

Qual é a parte que o operador

Answer 16

Pu = (|u⟩⟨u|)/|u|^2

Trata-se da projeção ortogonal do vetor u no vetor v, apesar de aqui só estar representado o operador projeção.

Dado um outro vetor v, o resultante de Pu|v⟩, será o vetor da projeção de v em u, ou seja, um vetor paralelo a u.

O operador projeção, neste caso encontra a parte paralela de |v⟩(a própria projeção) em |u⟩.

Question 17

Tendo um espaço vetorial de 3 dimensões, por exemplo, 3 vetores de 3 dimensões, linearmente independentes é o mesmo que ter o quê?

Answer 17

Uma base para 3 dimensões.

Question 18

Como se obtém o dual de uma expressão?

Answer 18

1. Invertemos a ordem dos fatores

2. Substituimos.

Question 19

Operador Hermítico?

Answer 19

É igual ao adjunto.

Ω = Ω†, o que implica que Ωij = Ωji∗

Question 20

Operador Anti-Hermítico?

Answer 20

É igual ao adjunto negativo.

Ω = −Ω†
Ωij = -Ωji*

Question 21

Operador Unitário?

Answer 21

É mutável de posição. O seu adjunto desfaz o que U faz, por isso é que é unitário.

UU† = U†U = 1, o que implica que U† = U^−1

Question 22

O que formam as colunas e/ou linhas de uma matriz unitária U?

Answer 22

Formam uma base ortonormal, ou seja, são compostas de vetores linearmente independentes, ortogonais e normalizados.

Question 23

Delta de Kroencker?

Answer 23

Uma matriz que representa vetores ortonormais, isto é quando o produto interno dá zero os vetores são perpendiculares.

Question 24

Valor Próprio de um Operador?

Answer 24

É um valor que verifica a seguinte igualdade:

Ω|v⟩ = λ|v⟩,

onde λ representa o valor próprio.

Question 25

Vetor Próprio de um Operador?

Answer 25

É um vetor que verifica a seguinte igualdade:

Ω|v⟩ = λ|v⟩,

onde |v⟩ representa o vetor próprio.

Question 26

Uma matriz é inversível quando?

Answer 26

Quando o seu determinante é diferente de zero.

Question 27

Que condição é necessária para que existam valores próprios de um operador?

Answer 27

det(Ω- λ1) = 0

Question 28

Vetores próprios correspondentes a valores próprios distintos são linearmente independentes?

Answer 28

Sim

Question 29

Vetores próprios de valores próprios diferentes (de um operados hermítico) são sempre o quê?

Answer 29

Ortogonais.

Question 30

Base Prórpria de um operador?

E se o operador for hermítico?

Answer 30

Base formada pelos vetores próprios de um operador, que são ortogonais.

Se o operador for hermítico podemos formar uma base ortonormal.

Question 31

Como é a representação matricial da base própria de um operador hermítico?

Answer 31

É uma matriz diagonal, onde na diagonal estão os valores próprios.

Question 32

Os vetores próprios de um operador unitário de vetores próprios diferentes são o quê?

Answer 32

Ortogonais.

Question 33

Um operador hermítico de dimensão m tem sempre quantos vetores próprios linearmente independentes?

Answer 33

Um operador hermítico de dimensão m, tem sempre m vetores próprios todos linearmente independentes.

Question 34

Os valores próprios de um operador são sempre o quê?

Answer 34

Reais.

Question 35

Os vetores próprios de valores próprios de um operador hermítico diferentes são sempre o quê?

Answer 35

Ortogonais.

Question 36

Um operador unitário preserva sempre o quê?

Answer 36

Os produtos internos.

Question 37

Seja Ω um operador hermítico e U um operador unitário, quando é que a matriz U†Ω U é diagonal?

Answer 37

Quando U é formado pelos vetores próprios de Ω.

Question 38

O que formam os vetores próprios de um operador hermítico?

Answer 38

Formam uma base ortonormal.

Question 39

Como é que um operador hermítico pode ser diagonalizado?

Answer 39

Por uma mudança de base unitária e o operador U é construído pelos vetores próprios do operador hermítico.

Question 40

Degenerado?

Answer 40

Se existirem pelo menos 2 vetores linearmente independentes que são vetores próprios de um operador.

Ω com o mesmo valor próprio λ, este valor próprio diz-se degenerado.

Se tiver m valores próprios diferentes.

Question 41

Quando o vetor próprio correspondente a um valor próprio λ é único (a menos de uma constante
multiplicativa), o valor próprio diz-se?

Answer 41

Não degenerado.

Question 42

Ordem (grau) da degenerescência?

Answer 42

li (ou multiplicidade geométrica) é o número de vetores próprios
independentes com valor próprio λi

Question 43

Um operador HermÍtico de dimensão m tem sempre quantos vertores linearmente independentes?

Answer 43

M

Question 44

Base Própria Comum?

Answer 44

[Ω,Λ] = 0 ⇒ existe pelo menos uma base de vetores próprios que diagonaliza simultaneamente Ω e Λ.

Question 45

É sempre possível expressar uma forma quadrática em termos de uma matriz simétrica?

Answer 45

Sim.

Question 46

Uma matriz simétrica é também uma matriz hermítica?

O que implica isso?

Answer 46

Sim, e posso criar uma base própria.

Question 47

Delta de Dirac?

Answer 47

Representa o produto interno entre vetores da base.

Question 48

Expandir um vetor numa base?

Answer 48

Encontrar valores reais que satisfaçam a seguinte equação:

|v⟩ = α|v1⟩ + β|v2⟩, com α e β ∈ R

Question 49

Um operador é unitário quando?

Answer 49

Dado por exemplo o operador U, este é unitário quando

U†U = 1, ou seja a matriz identidade.

Question 50

Dadas uma matriz A, hermítica, ou seja, é igual à sua matriz adjunta, e uma matriz B.

SE as matrizes comutam, que conclusões se podem tirar?

Answer 50

Que existe uma base própria comum de A e B.

Question 51

As colunas ou as linhas de uma matriz unitária U formam o quê?

Answer 51

As colunas (ou as linhas) de uma matriz unitária U formam uma base ortonormal do espaço em que U actua.