Aula 04 Flashcards
Distribuição de Probabilidade
Distribuição de probabilidade associa uma probabilidade a cada valor possível de uma variável
Ex. lançamento de dado
Face || Probabilidade
1 || 1/6
2 || 1/6
3 || 1/6
4 || 1/6
5 || 1/6
6 || 1/6
No entanto, no caso da altura de indivíduos em uma região com uma população muito grande é um caso de varíavel contínua, pois deriva de uma mensuração. Para a probabilidade de encontrar alguém com exatamente 1,70 é necessário calcular a probabilidade intervalar, pois para qualquer valor pontual, a probabilidade será 0 pois o total de casos possíveis tende ao infinito
Ex.
Probabilidade de alguém com altura entre 1,70 e 1,80
Altura || Nº Pessoas
1,60 - 1,70 || 100
1,70 - 1,80 || 100
P(h=1,70 - 1,80) = 100/200 = 50%
Essa probabilidade de ocorrência em variáveis contínuas pode ser representada por meio da função densidade de probabilidade f(x) (visto na aula 00). Em um gráfico de f(x) por x (altura), a área do retângulo equivale à probabilidade de sua ocorrência
base = 1,8-1,7 = 0,1
altura = 5
área = 0,1*5 = 0,5
As coleções de pares ordenados formados por (x,f(x)) nos dá a distribuição de probabilidade da variável contínua
Distribuição Uniforme
Aquela em que todos valores possíveis para a variável aaleatória ocorrem com a mesma probabilidade
Ex. lançamento de um dado
P(x=1;x=2;…;x=6) = 1/6
Também foi visto um caso de distribuição uniforme contínua, com ambos intervalos com a mesma chance de ocorrer, no caso o exemplo das alturas
Esperança matemática
Conceito intimamente relacionado com a média aritmética. Para um dado conjunto de valores (X) que vai de X1 a Xn, sua esperança é dada por
E(X) = X1*f1 + X2*f2 + … + Xn*fn
Sendo fi a frequência relativa de Xi. No lugar de frequência relativa, pense em probabilidade de ocorrência, tendo assim, a média
- frequência liga-se ao que já ocorreu
- probabilidade nos diz o que pode ocorrer
E(x) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = 21/6
A variância será
Var(x) = MQ-QM = E(x²) - E(x)²
E(x²) = 1²*1/6 + 2²*1/6 + 3²*1/6 + 4²*1/6 + 5²*1/6 + 6²*1/6 = 91/6
Var(x) = 91/6 - (21/6)² = 105/36
Distribuição Binomial e de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli se caracteriza pela existência de 2 eventos, mutuamente exclusivos: sucesso ou fracasso
Experimento pode ter 2 resultados
- um resultado que ocorre com probabilidade p
- e outro com probabilidade (1 - p)
- não há meio termo
Ex. lançamento de moeda. A probabilidade de que seja “cara” é p = 0,5 chances de sucesso e (1 - p = 0,5) chances de fracasso
Tem-se que
E(x) = p
Ou seja, a esperança do processo é igual à probabilidade de sucesso
Ex. lançamento de moeda
E(x) = X1*f1 + X2*f2 = 1*0,5 + 0*0,5 = 0,5
A variância será
Var(x) = p - p²
pois
Var(x) = E(x²) - E(x)², se x=1 para sucesso e x=0 para fracasso
Var(x) = E(x) - E(x)²
A distribuição de Bernoulli é um caso particular da distribuição binomial, pois se repetíssemos um experimento de Bernoulli n vezes, a probabilidade seria diferente
Ex. lançamento de moeda 2x, qual probabilidade de obter 2 caras?
Espaço amostral (omega) seria
(omega) = (cara,cara); (coroa,coroa); (coroa,cara); (cara,coroa);
As probabilidades são
P(2 caras) = 1/4
P(2 coroas) = 1/4
P(1 cara e 1 coroa) = 2/4
Pode-se perceber que
P(2 sucessos) = p*p
P(2 fracassos) = (1 -p)*(1 -p)
P(1 sucesso e 1 fracasso) = 2*p*(1 -p)
A probabilidade de qualquer resultado será
P( . ) = p^k * (1 - p)^(n-k)
Sendo k o número de sucessos, n o número de experimentos e n-k o número de fracassos, pois são experimentos independentes
ATENÇÃO Essa é uma pressuposição da distribuição binomial e de Bernoulli: experimentos devem ser independentes
Deve-se então multiplicar a probabilidade encontrada pela quantidade de combinações que há quantidade de sucessos desejada
P(1 cara e 1 coroa) = C2,1 * p * (1 - p) = 2*1/4 = 2/4
Ou seja, quer-se multiplicar a probabilidade de ocorrência de determinado tipo de sucesso pela quantidade de vezes que este ocorre de diferentes formas. No exemplo (cara, coroa) e (coroa, cara), o que corresponde a 1 sucesso. Assim, para este caso, multiplica-se a probabilidade de ocorrência pela quantidade de 1 sucesso em 2 experimentos. Assim
P(sucessos = k) = Cn,k * p^k * (1 - p)^(n-k)
Como a distribuição binomial corresponde à n experimentos Bernoulli, tem-se que
E(x) = n*p
Var(x) = n*(p - p²)
Ex. Esperança para caso de 2 lançamentos, atribuindo o valor 1 para 1 sucesso (cara e coroa) ou (coroa e cara) e 2 para 2 sucessos (cara e cara)
E(x) = 2*1/4 + 1*2/4 + 0*1/4 = 1 = n*p
E(x²) = 2²*1/4 + 1²*2/4 + 0²*1/4 = 1,5
Var(x) = E(x²) - E(x)² = 1,5 - 1 = 0,5 = n*(p - p²)
Distribuição de Poisson
É uma generalização da distribuição binomial quando n é muito grande e p é pequeno. Trata-se da análise de um evento que possa ter sucesso ou não, devido à probabilidade ser muito baixa e o número de experimentos ser grande, da seguinte forma
P(sucessos = k) = ( e^(-np) * (n*p)^k ) / k!
Sendo e um número real, aproximadamente 2,7
Muitas vezes substitui-se o operado n*p por “lambda”, assim
P(sucessos = k) = ( e^(-lambda) * (lambda)^k ) / k!
[NA PROVA] Em geral, use a distribuição binomial. Quando o exercício quiser saber a probabilidade de ocorrência ou de encontrar algo em uma área ou espaço de tempo, use distribuição de Poisson
- é como se dividisse o tempo em intervalos bem pequenos, tornando a probabilidade de ocorrência muito pequena
Assim, como p é muito pequeno, (1 - p) se aproxima de 1. Portanto, sabendo que n*p = lambda e que é uma generalização da distribuição binomial
E(x) = lambda
Var(x) = n * (p - p²) = n * p * (1 - p) = n*p
Var(x) = lambda
Distribuição Geométrica
Suponha que se realize um experimento de Bernoulli X vezes até obter sucesso. Nesse caso, X é uma variável com distribuição geométrica. Por exemplo, X pode indicar o número de vezes que precisa se lançar uma moeda até obter a primeira cara. Neste exemplo, a chance de se obter a primeira cara na k-ésima jogada é de
P(sucesso k-ésima jogada) = (1 - p)^(k-1) * p
Seria o equivalente a (no caso de obter cara na 3ª jogada)
Chance de obter 2 coroas seguidas e então 1 cara
(1/2 * 1/2) * 1/2 = 1/8
Na fórmula teríamos
P(Cara 3ª jogada) = (1-p)^(k-1) * p = (1/2)^(3-1) * 1/2 = 1/8
Para a distribuição geométrica tem-se que
E(x) = 1/p
Var(x) = (1 - p) / p²
Distribuição Hipergeométrica
Refere-se à probabilidade de que, ao retirarmos, sem reposição, n elementos de um conjunto de N, saiam k elementos com atributo sucesso. Sabendo que s elementos possuem o atributo sucesso e que N-s não possuem, a probabilidade de sucesso p é
p = s / N
Dessa forma, tendo que o todal de combinações de N elementos em grupos de n
C(N,n)
O total de possibilidades de obter k sucessos do total de s elementos
C(s,k)
E o total de possibilidades de n-k sucessos de um total de N-s elementos com característica de fracasso é
C(N-s,n-k)
A probabilidade p(k sucesso em n-k fracassos) de, ao retirar-se uma amostra de n elementos, sem reposição, k serem sucessos e n-k serem fracassos é de
p(k sucesso em n-k fracassos) = (C(s,k) * C(N-s,n-k)) / C(N,n)
Ela é semelhante à binomial, mas sem reposição, assim
E(x) = n * p
Var(x) = n * p * (1 - p) * ((N - n) / (N - 1))
Distribuições Tabela
Distribuição Uniforme
- Palavra chave: mesma probabilidade
- E(X) = X1*f1 + X2*f2 + … + Xn*fn
- Var(x) = E(x²) - E(x)²
Distribuição de Bernoulli
- Palavra chave: mutuamente exclusivos (p e 1-p)
- P(k) = p^k * (1 - p)^(n-k)
- E(x) = p
- Var(x) = p - p²
Distribuição Binomial
- Palavra chave: N vezes Bernoulli
- P(sucessos = k) = Cn,k * p^k * (1 - p)^(n-k)
- E(x) = n * p
- Var(x) = n * (p - p²)
Distribuição de Poisson
- Palavra chave: n muito grande e p pequeno
- lambda = n * p
- P(sucessos = k) = ( e^(-lambda) * (lambda)^k ) / k!
- E(x) = lambda
- Var(x) = lambda
Distribuição Geométrica
- Palavra chave: até se obter sucesso
- P(sucesso k-ésima jogada) = (1 - p)^(k-1) * p
- E(x) = 1 / p
- Var(x) = (1 - p) / p²
Distribuição Hipergeométrica
- Palavra chave: sem reposição
- P(k sucesso em n-k fracassos) = ( C(s,k) * C(N-s,n-k) ) / C(N,n)
- E(x) = n * p
- Var(x) = n * p * (1 - p) * ( (N - n) / (N - 1) )
