Aula 02

Question 1

Análise combinatória

Answer 1

O princípio fundamental da contagem afirma que, quando uma tarefa puder ser dividida em n etapas, e cada etapa puder ser realizada de mi formas diferentes, o número de formas que se pode concluir a tarefa é

m1*m2*m3*…*mn

Sendo i variando de 1 a n

Ex. Quer se formar casais de gatos dado 4 fêmeas e 4 machos, quantos casais são possíveis

Primeira etapa pode-se escolher 4 fêmeas possíveis, na segunda etapa pode-se escolher 4 machos possíveis

m1*m2 = 4*4 = 16 formas

Question 2

Arranjo

Answer 2

Na análise combinatória anterior foi simples, pois usou-se 2 conjuntos distintos, já no arranjo, será feito combinações dentro de um mesmo grupo, de forma que a ordem de escolha seja importante e não haja reposição dos elementos escolhidos

• em relação a ordem da escolha, significa que a escolha de um elemento A e depois elemento B, é diferente da escolha de um elemento B e depois A
• (X,Y) != (Y,X) para todo X e Y

A(n,p) = n! / (n-p)!

Sendo n elementos em combinações de p unidades

Ex. Conjunto de 5 gastos, quer se escolher 2 deles, um para vacinar e outro para banho, quantas formas diferentes podem ser feitas

Na primeira escolha tem-se 5 possibilidades para vacina, e para o banho, teremos 4 possibilidades de escolha. Dessa forma teremos

5!/ (5-2)! = 5!/3! = 5*4 = 20 possibilidades

Question 3

Combinação

Answer 3

Se tivermos o mesmo problema anterior (arranjo), mas no qual a ordem não importa e não haja reposição, temos um problema de combinação

• (X,Y) = (Y,X) para todo X e Y

Ex. Suponha conjunto de 5 gatos e precisa de 2 destes, ambos para vacina, quantas formas diferentes podem ser realizadas?

As possibilidades são 5 gatos na primeira escolha e 4 gatos para segunda escolha, tendo 20 possibilidades. Deve-se então, excluir os casos repetidos, no caso

p!

Sendo p a quantidade de unidades que cada possibilidade contêm, dessa forma

C(n,p) = n! / ((n-p)!*p!)

Assim, temos no exemplo

5! / 3!*2! = 5*4/2 = 10 combinações

Question 4

Permutação

Answer 4

Pode-se visualizar a permutação como um caso específico de arranjo, no qual

n = p

O número de elementos a ser combinado é igual a quantidade de observações em cada conjunto, dessa forma, só existe 1 conjunto e quantas são as possibilidades de reordenação em seu interior

A(n,p) = n!/(n-p)! = n!/0!

P(n) = n!

Ex. Anagrama da palavra CHA

3! = 3*2*1 = 6 palavras

No entanto, há casos de elementos repetidos, dessa forma, leva-se em conta os elementos repetidos

P(n) = n!/(número de vezes que elemento repetido aparece)!

Ex. Anagrama de DADO

Tem-se 2 Ds, dessa forma

4!/2! = 4*3 = 12