Aula 03 Flashcards
Probabilidade
Ex. suponha lançamento de moeda não viciada, qual a probabilidade de ocorrer cara?
Há 2 possibilidades: cara ou coroa, no entanto queremos o resultado de cara. A probabilidade é dada por
P(cara) = possibilidade de cara/possibilidades de cara ou coroa = 1/2
Antes do lançamento da moeda, a probabilidade de dar cara é 1/2, no entanto, pode ser que não ocorra. Supondo a realização de 3 lançamentos seguidos
1º - coroa, 2º - coroa, 3º - cara
Poderia se pensar que a possibilidade é
P(cara) = possibilidade cara/possibilidade cara ou coroa = 1/3
No entanto, isto está errado. A probabilidade de ocorrência de um evento deve se encontrar qual a frequência de sua ocorrência com relação a todas outras ocorrências possíveis quando o número de experimentos tendo ao infinito. Nesse caso, tería-se
P(cara)n->inf = possibilidade cara/possibilidade cara ou coroa = 1/2
Sendo n o número de vezes que se realiza o experimento
De forma teórica, temos que os resultados possíveis
phi = (cara); (coroa)
Se fosse lançado duas vezes, teríamos
phi = (cara,coroa); (coroa,cara); (coroa,coroa); (cara,cara)
Este conjunto de todas as realizações possíveis se chama espaço amostral. Com base neste espaço amostral, pode-se atribuir uma probabilidade para determinado evento, dado por um subconjunto de theta
A probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara em 2 lançamentos, pelo espaço amostral, ocorre em 3 dos 4 lançamentos possíves. No nosso caso, cada parênteses tem 1/4 (25%) de chance de ocorrer, mas a pergunta abrange 3 daqueles lançamentos. Dessa forma, a probabilidade de ocorrência é dada por
P(1 cara ao menos) = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
Assim, para determinado evento A qualquer, sua probabilidade de ocorrência é de
P(A) = (quantidade de vezes que ocorre A) / (quantidade de elementos no espaço amostral)
Diagrama de Venn e propriedades I
Dado qualquer evento A
0 ≤ P(A) ≤ 1
Probabilidade se aproxima muito do conceito de frequência relativa, considerando que experimento poderia ser realizado várias vezes e que resultado sempre seria o mesmo. Chamado de “Abordagem Frequentista da Probabilidade”
Pode ser observado pelo diagrama de Venn o evento A como um círculo dentro de um espaço amostral no formato de uma caixa U. Tal círculo não ocupará nem mais e nem menos do que a caixa U, estando A entre 0 e 1
Evento certo é aquele que coincide com o espaço amostral
- ex. no caso de uma moeda, um evento certo seria aquele que ocorre, ao menos, uma cara ou uma coroa
Evento impossível é aquele composto por elementos não constantes no espaço amostral
- ex. lançamento em que não ocorre nem cara nem coroa
Dada probabilidade de um evento A qualquer, a probabilidade de seu complementar (A^c) é dada por
P(A^c) = 1 - P(A)
- complementar da probabilidade de ocorrência de um evento é a probabilidade de sua não ocorrência
Ex. 2 grupos de concurseiros em uma amostra de bacharéis em Engenharia, Direito e Economia, sendo que algumas passaram e outras não
Curso || Passou || Não Passou || Total
Engenharia || 20 || 10 || 30
Direito || 40 || 70 || 110
Economia || 30 || 60 || 90
Total || 90 || 140 || 230
- Qual probabilidade de pessoa escolhida ao acaso, ser estudante de Economia?
P(econ) = 90/230 ~= 0,392
- Qual probabilidade de pessoa formada em Economia e ter passado em concurso?
Neste caso, é uma intersecção de 2 subconjuntos (economista e passou)
A intersec B = econ. que passaram / total da amostra = 30/230 ~= 0,13
- Qual probabilidade de pessoa ser economistas ou pessoas que passaram?
No diagrama de Venn, isso se representaria por uma união 2 subconjuntos, subtraído de 1x a intersecção dos 2 conjuntos
P(econ ou passou) = 90/230 + 90/230 - 30/230 = 150/230 ~= 0,652
Genericamente para 2 eventos A e B, tería-se
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A intersec B)
No entanto, deve-se ter cuidado com caso especial de eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos
Ex. lançamento de dado, tendo espaço amostral {1;2;3;4;5;6}
Somente uma destas realizações é possível (somente uma das faces)
- Qual a probabilidade do lançamento gerar 4 ou 5?
P(4 U 5) = P(4) + P(5) - P(4 intersec 5)
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6
Assim
P(4 U 5) = 1/6 + 1/6 - P(4 intersec 5)
A probabilidade de cair um dado com número 4 e 5 é zero, pois quando um ocorre, o outro não pode ocorrer
Dessa forma
P(4 U 5) = 1/6 + 1/6 - 0 = 1/3
Diagrama de Venn e propriedades II
Propriedades
Dado 3 conjuntos quaisquer A, B e C, tem-se as seguintes propriedades (entenda ^c como complemento)
- (A intersec B)^c = A^c U B^c
- (A U B)^c = A^c intersec B^c
-
A intersec Ø = Ø
- intersecção de A com conjunto vazio não pode conter elementos
-
A intersec phi = A
- sendo phi (Φ) representando espaço amostral, a intersecção de A com o espaço amostral é o próprio A
- A U Ø = A
- A U phi = phi
Sabendo-se que P(A) + P(A^c) = 1 tem-se
- A U A^c = phi
- A intersec A^c = Ø
- A intersec (B U C) = (A intersec B) U (A intersec C)
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de um evento qualquer A dado uma relação com outro evento B qualquer
P(A|B)
Imaginando no diagrama de Venn, dado que ocorreu o evento B (e exista intersecção com A), a parte de A que representa a porção que pode ocorrer, é a intersecção entre A e B. Sabendo que a probabilidade é calculada com base na divisão da quantidade de elementos favoráveis pelo espaço amostral, o espaço amostral nesse caso será B. Dessa forma
P(A|B) = P(A intersec B) / P(B)
Assim, P(A) é a probabilidade a priori de A, sendo modificado a partir de novas informações de B, obtendo-se a probabilidade a posteriori, P(A|B)
Ex.
Curso || Passou || Não Passou || Total
Engenharia || 20 || 10 || 30
Direito || 40 || 70 || 110
Economia || 30 || 60 || 90
Total || 90 || 140 || 230
- Qual probabilidade de pessoa escolhida ao acaso ser economista, dado que o mesmo passou em concurso público?
P(econ|passou) = ?
P(econ intersec passou) = econ que passaram/total da amostra = 30/230 ~= 0,13
P(passou) = 90/230 ~= 0,392
P(econ|passou) = 0,13/0,392 = 0,334
A probabilidade de encontrar um economista que passou é menor do que encontrar economista dado que se trata dos que passaram
Independência estatística
2 eventos são ditos independentes se
P(A|B) = P(A)
Ex. lançamento de moeda, feitos 2 lançamentos, qual probabilidade de “cara” dado que o primeiro ocorreu “coroa”?
P(cara 2º|coroa no 1º) = P(cara) = 0,5
Pois o primeiro lançamento não afeta o segundo lançamento
Dessa forma, tem-se
P(A|B) = P(A) = P(A intersec B) / P(B)
P(A) * P(B) = P(A intersec B)
[ME] Mutualmente exclusivo não é o mesmo que independente
Teorema de Bayes
Dado que
P(A|B) = P(A intersec B) / P(B)
P(B|A) = P(A intersec B) / P(A)
Substituindo uma na outra tem-se
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)
No entanto, não se conhece o denominador (premissa)
Ex. suponha probabilidade de um time de futebol ganhar se um determinado jogador jogar ou não. E se desejar saber a probabilidade do jogador ter jogado, dado que o time ganhou?
Pelo teorema de Bayes tem-se
P(B) = probabilidade do time ganha
P(A) = probabilidade do jogador jogar
P(A^c) = probabilidade do jogador não jogar
P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / (P(B|A) * P(A) + P(B|A^c) * P(A^c))
Pode se ver que o numerador é P(A intersec B) e o denominador é a probabilidade do time ganhar, dado o jogador jogando ou não
[ME] ou seja
P(B) = probabilidade de B ocorrer dado que A aconteça + probabilidade de B ocorrer dado que A não aconteça
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A^c) * P(A^c)
ATENÇÃO para que 3 eventos sejam independentes, é preciso que sejam independentes conjuntamente e entre si, assim, as condições necessárias e suficientes para que isso ocorra são
P (A intersec B) = P(A) * P(B)
P (A intersec C) = P(A) * P(C)
P (B intersec C) = P(B) * P(C)
P (A intersec B intersec C) = P(A) * P(B) * P(C)
