Applicazioni Lineari

Question 1

Cos’è un’Applicazione Lineare o Omomorfismo?

Answer 1

E’ una funzione tra spazi vettoriali dello stesso campo, che conserva le operazioni di somma tra vettori e di prodotto per uno scalare.

Question 2

Come verificare che una funzione è Applicazione Lineare?

Answer 2

Deve verificare 2 condizioni:

1. ADDITIVITA’, ovvero la somma di due vettori
2. OMOGENEITA’, ovvero il prodotto per uno scalare

Question 3

Qual è la differenza tra Dominio e Codominio?

Answer 3

Il Dominio è lo spazio vettoriale di partenza, mentre il Condominio è lo spazio vettoriale di arrivo.

Dominio : la funzione associa ad un vettore di V un solo vettore di W.

Codominio : opposto

Question 4

Cos’è l’Immagine di un’Applicazione Lineare?

Answer 4

E’ l’insieme dei vettori di w che vengono trasformati in v. E’ anche un sottospazio di V. Inoltre contiene i vettori che costituiscono una base di V.

Si indica :

Im f

f(v)

Question 5

Cos’è la ControImmagine?

Answer 5

E’ l’insieme dei vettori v che vengono trasformati in w. E’ l’inverso dell’immagine.

Question 6

Cos’è la Matrice Associata e qual è la sua forma matriciale?

Answer 6

E’ la Matrice i cui vettori colonna sono dati dalle immagini dell’applicazione lineare.

Forma Matriciale : Y = A * X

Y è una matrice colonna le cui coordinare sono un vettore di W in base B’

X è una matrice colonna le cui coordinate sono un vettore di V in base B

A è la matrice associata.

Question 7

Cos’è il Nucleo? Come si trova?

Answer 7

E’ un particolare sottospazio di V che contiene vettori del dominio che hanno come Immagine il vettore nullo del Codominio.

Per trovarlo basta eguagliare a zero il sistema di equazioni di f.

Question 8

Come si trova la dimensione del Nucleo?

Answer 8

dim Kerf = dim V - dim Imf

Question 9

Come trovare la dimensione dell’Immagine?

Answer 9

dim Imf = Rg A

Question 10

Quando un’applicazione lineare si dice Iniettiva?

Answer 10

Quando dim V = Rg A

Question 11

Quando un’applicazione lineare si dice Suriettiva?

Answer 11

Quando dim W = dim Imf

Question 12

Cos’è una funzione Biunivoca?

Answer 12

E’ una funzione che associa ad ogni elemento di V un solo elemento di W e viceversa.

Question 13

Cos’è un Isomorfismo?

Answer 13

E’ un Omomorfismo Biettivo, cioè associa un valore di V ad un solo valore di W.

Dominio e Codominio hanno la stessa dimensione.

L’inversa di F sarà ancora un isomorfismo

Question 14

Cos’è un Endomorfismo?

Answer 14

E’ un’omomorfismo che va da V a V. Quindi dominio e condominio coincidono

Question 15

Cos’è un Automorfismo?

Answer 15

E’ un Endomorfismo Biettivo o Biunivoco.

In poche parole un qualsiasi endomorfismo suriettivo e iniettivo, è un Automorfismo.

Question 16

Cos’è un Endomorfismo Diagonalizzabile?

Answer 16

E’ un endomorfismo per il quale è possibile determinare una base le cui colonne formano una matrice diagonale.

Question 17

Cos’è sono Autospazio, Autovettore e Autovalore?

Answer 17

Un vettore non nullo è detto Autovettore di un endomorfismo solo se l’immagine f(v) è un multiplo di v, ovvero se esiste uno scalare λ che moltiplicato per v mi dà l’immagine.

Questo spazio sarà detto Autospazio di V, e sarà anche un sottospazio.

λ prende il nome di Autovalore associato a v.

v prende il nome di Autovettore relativo a λ

Question 18

Quando un endomorfismo è iniettivo?

Answer 18

E’ iniettivo solo se è anche suriettivo.

Question 19

Cos’è il polinomio caratteristico di una matrice? Come si calcola?

Answer 19

E’ un polinomio definito per le matrici quadrate, utile per il calcolo degli Autovalori?

Si calcola con il determinante della matrice.

La trasposta avrà lo stesso polinomio.