Analisi Dei Segnali

Question 1

Cos’è un segnale ?

Answer 1

Grandezza che varia nel tempo e/o nello spazio e che porta un’informazione.
È generato da una sorgente a cui è accoppiato un trasduttore che converte la grandezza in esame in un segnale elettrico

Question 2

Come si trasmette un segnale?

Answer 2

Il segnale è prodotto da una sorgente, viene convertito in segnale elettrico da un trasduttore e successivamente trasmesso.
Un altro trasduttore riceverà il segnale elettrico riconvertendolo nella sua forma originale.

Question 3

Classificazione segnali

Answer 3

•In base al TEMPO (variabile indipendente)
-a tempo continuo —> variabile indipendente assume valori appartenenti a un intervallo dell’asse reale

-a tempo discreto—> variabile indipendente assume solo valori discreti. Negli intervalli tra in diversi valori discreti il segnale NON è definito

•in base all’AMPIEZZA (variabile dipendente)
-ad ampiezze continue —> la variabile dipendente assume valori nell’intervallo reale

-ad ampiezze discrete —> la variabile dipendente assume valori discreti

Question 4

Come sono nativamente i segnali?

Answer 4

Sono continui in tempo e ampiezza, vengono convertiti in discreti dal CONVERTITORE ANALOGICO/DIGITALE

Question 5

Grandezze che appartengono ai segnali a tempo continuo

Answer 5

Energia e potenza media

Question 6

Spazio campione

Answer 6

Insieme dei risultati possibili di un esperimento casuale.

Può essere finito,infinito numerabile o continuo

Question 7

A C omega

Answer 7

Sottoinsieme proprio di omega
Contiene elementi che non appartengono ad A

Question 8

A C_ omega (c sottolineato)

Answer 8

Sottoinsieme improprio di omega

Question 9

A=omega-A

Answer 9

Sottoinsieme complementare di A che contiene tutti gli elementi di omega che non appartengono ad A

Question 10

A U B

Answer 10

Unione di insiemi che contiene elementi che appartengono ad A, a B o a entrambi

Question 11

A u( al contrario) B

Answer 11

Intersezione di A e B
Contiene elementi che appartengono sia ad A che a B

Question 12

Omega1 x omega2

Answer 12

Prodotto cartesiano di omega1 e omega2
È costituito dalle coppie ordinate (a,b) tale che a€omega1 e b€omega2

Question 13

Teoria probabilità:
Sottoinsieme A dello spazio campione omega si dice?

Answer 13

Evento
Detto anche EVENTO COMPLESSO

Question 14

Teoria probabilità:
I singoli elementi dello spazio campione sono anch’essi eventi?

Answer 14

Si, vengono spesso detti EVENTI SEMPLICI

Question 15

Teoria probabilità
Evento A=o| (fi)
come si chiama?

Answer 15

Evento impossibile

Question 16

Teoria probabilità
Evento A=omega
come si chiama?

Answer 16

Evento certo

Question 17

Teoria probabilità
Evento A U B
Cosa significa?

Answer 17

Si verifica A oppure B oppure entrambi

Question 18

Teoria probabilità
Evento A u(al contrario) B
Cosa significa?

Answer 18

Si verificano contemporaneamente A e B

Question 19

Teoria probabilità
Evento A u(al contrario) B = o| (fi)
Come si chiama?
Cosa significa?

Answer 19

A e B Vengono detti MUTUAMENTE ESCLUSIVI
Non possono capitare contemporaneamente

Question 20

Cosa chiamiamo probabilità?

Answer 20

Un numero compreso tra 0 e 1 che associamo ad ogni evento semplice di omega

Question 21

Definizione classica di probabilità

Answer 21

Numero di esisti favorevoli diviso esiti totali dell’esperimento

Question 22

Cosa sono le frequenze statistiche?

Answer 22

P^{i}=ni/N

con a<=i<=b
ove [a,b]€numeri naturali
N=numero misure
ni=numero di volte in cui esce i

Abbiamo che:
0<= P^{i}<=1 Per ogni i

Inoltre la somma di tutti P^{i}=1

Question 23

Teorema della probabilità totale

Answer 23

P{B}=sommatoria da i=1 ad N P{B|Ai}P{Ai}

P{Ai}=probabilità a priori
P{B|Ai}=probabilità a posteriori

Ai=eventi che possono essere:
ESAUSTIVI
MUTUAMENTE ESAUSTIVI

Question 24

Corollario per girare il condizionamento

Answer 24

P{Ai|B}= (P{B|Ai}P{Ai})/(sommatoria da i=1 a N P{B|Ai}P{Ai})

Question 25

Formula di Bayes (probabilità)

Answer 25

P{A,B}=P{A|B}P{B}=P{B|A}P{A}

Question 26

Definizione di indipendenza statistica

Answer 26

P{A|B}=P{A} P{B|A}=P{B} Con A e B eventi statisticamente indipendenti

Question 27

Come capire se due eventi A e B sono statisticamente indipendenti ?

Answer 27

Stimare P{A} Stimare P{A|B} Se P{A|B}=P{A} —> indipendenti Se P{A|B}>P{A} —> B facilita insorgere di A Se P{A|B} B ostacola insorgere di A

Question 28

Cosa è la variabile casuale(o aleatoria)?

Answer 28

Esperimento casuale i cui possibili risultati sono numeri Spezio campione è su una RETTA ~la indico con il MAIUSCOLO

Question 29

Cosa è una variabile casuale discreta?

Answer 29

I valori possibili sono in numero finito o infinito numerabile ~i valori sono indicati in minuscolo

Question 30

Cosa è una variabile casuale continua?

Answer 30

I valori possibili sono numeri reali ~i valori sono indicati in minuscolo

Question 31

cosa è la distribuzione di massa?

Answer 31

pX(xi)=P{X=xi} •Omega={xi} —> spazio campione che rappresenta tutti i possibili valori assunti da X •pX(xi) —> probabilità che X assuma il valore xi Rappresentabile con un grafico: ascisse xi e ordinate pX(xi) Si ha che 0<=pX(xi)<=1 e _sommatoria da k=1 a N_ pX(xk)=1

Question 32

Frequenza statistica come probabilità:

Answer 32

P{i}=ni/N Per ogni i e N sufficientemente grande Se riporti le funzioni statistiche in un grafico in funzione di N al crescere di questo N le funzioni tendono a convergere

Question 33

Cosa è il valore atteso (o media statistica)? Indicato come muX

Answer 33

uX= E{X}=_sommatoria da i=1 a N_ xipX(xi) In generale la media statistica non coincide con nessuno dei valori assunti da X La media statistica è quella aritmetica coincidono solo se gli eventi sono EQUIPOLLENTI. Evitare “valor medio” quando parli di ux

Question 34

Definizione assiomatica della probabilità: Enuncia gli assiomi della probabilità

Answer 34

Assioma 1: La probabilità P{A} di un evento A è sempre maggiore o uguale a 0 P{A}>=0 Assioma 2: La probabilità di un evento certo è 1 P{omega=spazio campione}=1 Assioma 3: Se A e B sono due eventi mutamente esclusivi (A u al contrario B= fi) allora P{A U B}= P{A} + P{B} fi=insieme vuoto •La probabilità assume valori compresi tra 0 e 1 •La probabilità dell’Unione di due eventi ero sei alla somma delle probabilità se è solo se i due eventi sono mutuamente esclusivi

Question 35

Qual è la probabilità di un evento impossibile?

Answer 35

Corollario: la probabilità dell’evento impossibile è ZERO Infatti dato un generico evento A: A= A U fi e A u al contrario fi=fi per cui: P{A}=P{A U fi}=P{A}+P{fi} e conseguentemente: P{fi}=0

Question 36

Momento di ordine k

Answer 36

(uX)^(k)=E{X^k}=_sommatoria da i=1 a N_ (xi)^k pX(xi)

Question 37

Momento di ordine 2 = valore quadratico medio

Answer 37

(uX)^(2)=E{X^2}=_sommatoria da i=1 a N_ (xi)^2 pX(xi) Per definizione è un numero reale positivo È tanto più elevato quanto più i valori di X sono lontani dallo 0

Question 38

Varianza (sigma^(2)X)

Answer 38

Sigma^(2)X= E{(X-muX)^2}=E{X^2}-mu^(2)X Corrisponde al valore quadratico medio della variabile causale Y=Z-muX (La variabile Y ha valore atteso nullo) La varianza sigma^(2)X è un numero positivo La distribuzione di massa di Y è uguale a quella di X ma traslata verso sinistra di una quantità pari a muX

Question 39

Probabilità dell’intersezione P{A u al contrario B}

Answer 39

È la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente e si dice PROBABILITÀ CONGIUNTA scrittura breve P{A,B} (= P{A u al contrario B} ) Vale proprietà commutativa: P{A,B}=P{B,A} Se A intersecato B=fi(insieme vuoto) —> P{A,B}=0

Question 40

Eventi mutuamente esclusivi

Answer 40

Eventi che non possono mai capitare contemporaneamente La loro probabilità congiunta è nulla P(A,B) = P(A u al contrario B)=0

Question 41

Eventi statisticamente indipendenti

Answer 41

P{A,B}=P{A}P{B} Il verificarsi di un evento non condiziona il verificarsi dell’altro Tutti gli eventi semplici appartenenti allo spazio campione sono EQUIPROBABILI con P=(numero eventi favorevoli)/(numero eventi totali) L’intersezione di A con B deve essere diversa da fi(insieme vuoto)!!! Se fosse uguale a fi si avrebbe: P{A,B}=P{fi}=0 diverso da P{A}P{B} e gli eventi non sarebbero statisticamente indipendenti •due eventi statisticamente indipendenti NON POSSONO ESSERE MUTUAMENTE ESCLUSIVI

Question 42

Probabilità condizionata

Answer 42

P={A|B} (probabilità di A condizionata da B) P{A} e P{B} = probabilità marginali

Question 43

Deviazione standard sigmaX

Answer 43

È la radice quadrata positiva della varianza sigma^(2)X Misura quanto la distribuzione di massa è sparpagliata attorno al valore medio Se la deviazione standard ha valori bassi —> X assume valori prossimi al valore medio che quindi dà informazioni molto utili per determinare i valori che la variabile può assumere Se la deviazione standard ha valori alti —> X assume anche valori molto lontani dal valore medio che quindi non dà informazioni utili sui valori che la variabile può assumere

Question 44

Distribuzione cumulativa

Answer 44

FX(x)=P{ X <= x} Assume valori tra 0 e 1 È una funzione a gradini continua da destra L’altezza del gradino è pari alla probabilità che la variabile casuale assuma il valore corrispondente all’ascissa X=xk

Question 45

Distribuzione cumulativa: Calcolare la probabilità che X sia compresa tra xi(escluso) e xs(incluso)

Answer 45

P{xi < X <= xs}=P{X<=xs}-P{X<=xi}=FX(xs)-FX(xi)

Question 46

Variabili casuali continue X

Answer 46

Variabili casuali il cui spazio campione è l’asse reale. Hanno una probabilità infinitesima ( P{X=x}=0) di accadere perché hanno un infinito non numerabile di possibili risultati x. Perciò definisco la DISTRIBUZIONE CUMULATIVA: FX(x)=P{X<=x} Che ha valori compresi tra 0 e 1 ed è una funzione non decrescente (non è una funziona a gradini) Non posso definire una distribuzione di massa, ma posso calcolare la probabilità che il risultato cada in un certo intervallo

Question 47

Densità di probabilità (ddp)

Answer 47

fX(x)=lim per Delta—>0 di (P{x0 di (FX(x+delta)-Fx(x))/delta = = dFX(x) in dx È una funzione positiva o nulla Tende a zero per x—>+-inf Il suo integrale tra -+inf =1

Question 48

Distribuzione cumulativa nella variabili continue

Answer 48

FX(x)=P{X<=x} Che ha valori compresi tra 0 e 1 ed è una funzione non decrescente (non è una funziona a gradini) è la PRIMITIVA DELLA DENSITÀ DI PROBABILITÀ: FX(x)=int(tra -inf e x) di fX(u)du •Questo integrale fornisce la probabilità che la variabile casuale X sia compresa tra a e b Quindi: FX(b)-FX(a)=P{a P{X=a}=0 Corollario: int(tra -+inf) di fX(u)du=FX(inf)-FX(-inf)=1-0=1

Question 49

Densità di probabilità GAUSSIANE (o normali) X=N(mu,sigma)

Answer 49

fX(x)=[1/sqrt(2pi*sigma^2)]*e*[-(x-mu)^2]/[(2sigma)^2] Ove mu=valore atteso Sigma=deviazione standard La ddp gaussiana è completamente definita noti mu e sigma Se mu=0 —> ddp gaussiana è centrata nell’origine (simmetrica rispetto a x=0) La ddp gaussiana e basata sull’INTEGRALE DI GAUSS: Int(-+inf) di e^(-x^2) dx= sqrt(pi) O Int tra 0 e inf di e^(-x^2) dx= [sqrt(pi)]/2 L’area sottesa all’integrale di Gauss tra -+ inf vale 1

Question 50

Funzione errore di gauss

Answer 50

Sono integrali definiti: er f(x)=[1/sqrt(pi)]*int(-+x) di e^(-t^2) dt= [2/sqrt(pi)]* int(tra 0 e x) di e^(-t^2) dt •er f(0)=0 •Lim per x—>0 di er f(x)=1

Question 51

Funzione errore complementare dell’errore di Gauss

Answer 51

er fc(x)= 1- er f(x)= [2/sqrt(pi)]* int(tra 0 e x) di e^(-t^2) dt

Question 52

Densità di probabilità esponenziale unilatera

Answer 52

fX(x)= beta*e^(-beta*x) con beta>0

Question 53

Densità di probabilità esponenziale bilatera (o laplasciana)

Answer 53

fX(x)= (beta/2)*e^(-beta|x|) con beta>0

Question 54

Densità di probabilità uniforme U(a,b)

Answer 54

fX(x)= {0 per x<= a e per x>=b {1/(b-a) per x€[a,b]