Analisi 1 Capitolo 7 Flashcards
CERCHIO DI CENTRO (X0,Y0) E RAGGIO δ, INTORNO DI (X0,Y0)
Siano (x0,y0)∈R^2 e δ>0. L’insieme Bδ(x0,y0) = {(x,y) ∈R^2 : (x-x0)^2+ (y-y0)^2<δ^2} si chiama cerchio di centro (x0,y0) e raggio δ. Un insieme che contenta un cerchio di centro (x0,y0) si chiama intorno di (x0,y0)
PUNTO INTERNO, ESTERNO E DI FRONTIERA DELL’INSIEME E
Siano E⊆R^2 e (x0,y0) un punto di R^2. Il punto (x0,y0) si dice interno all’insieme E se esiste un intorno di (x0,y0) contenuto in E. Se (x0,y0) è interno all’insieme R^2\E, si dice esterno all’insieme E. I punti che non sono né interni né esterni all’insieme (x0,y0) si dicono frontiera per E. L’interno di E si denota con E° e la frontiera con δE.
INSIEME E LIMITATO
Sia E⊆R^2. L’insieme E si dice limitato se esiste un cerchio che lo contiene.
RETTANGOLO (o intervallo) PLURIRETTANGOLO (o pluriintervallo)
L’insieme Δ = [a,b] × [c,d] si chiama rettangolo o intervallo in R^2. L’unione finita di rettangoli, a due a due privi di punti interni a comune, si chiama plurirettangolo o pluriintervallo in R^2
MISURA O AREA DEL RETTANGOLO
Sia Δ = [a,b] × [c,d] un rettangolo in R^2. Il numero m(Δ) = (b-a)(d-c) si chiama misura o area del rettangolo
MISURA DEL PLURIRETTANGOLO
Sia Π un plurirettangolo in R^2. Chiamiamo misura m(Π) del plurirettangolo la somma delle misure dei rettangoli che lo compongono
INSIEME E*basso LIMITATO SUPERIORMENTE, maggiorante
Sia E un insieme piano limitato con interno non vuoto (E⊆R^2 limitato e E°≠0). Sia ΠE la famiglia dei plurirettangoli contenuti in E (Π⊆E) e sia Ebasso l’insieme numerico delle loro misure m(Π). L’insieme E* basso è limitato superiormente. La misura di un qualsiasi rettangolo contenente E è maggiorante di E* basso
INSIEME E* alto LIMITATO INFERIORMENTE, INSIEME E MISURABILE SECONDO PEANO-JORDAN
Sia ΠE la famiglia dei plurirettangoli contenenti E e sia E* alto l’insieme numerico individuato dalle loro misure. L’insieme E è ovviamente limitato inferiormente. L’insieme E si dice misurabile secondo Peano-Jordan se risulta SupE(basso)=InfE(alto). In tal caso il comune valore di questi estremi si chiama misura secondo Peano-Jordan dell’insieme E e si denota con m(E)
INSIEME E MISURABILE SECONDO PEANO-JORDAN, MA CON INTERNO VUOTO
Sia E un insieme piano limitato con interno vuoto. In tal caso possiamo considerare soltanto la famiglia ΠE e l’insieme numerico E* alto*. L’insieme E si dice misurabile Peano-Jordano se risulta infE=0 e si dice che l’insieme ha misura nulla secondo Peano-Jordan
INSIEME E PIANO NON LIMITATO MISURABILE SECONDO PEANO-JORDAN
Sia E un insieme piano non limitato. L’insieme si dice misurabile secondo Peano-Jordan se è misurabile la sua intersezione con ogni insieme piano, limitato e misurabile secondo PJ. In tal caso poniamo: m(E)=sup{m(E∪T) : T limitato e misurabile secondo Peano-Jordan}. T è un sottoinsieme.
DECOMPOSIZIONE DI UN INTERVALLO
Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato. Diciamo che l’insieme Δ ≡ Δ{x0,…,xn} è una decomposizione di [a,b] se x0=a, xn=b, x0 < x1 < … < xn.
DECOMPOSIZIONE FINE
Siano Δ1,Δ 2 due decomposizioni di [a,b]. Diciamo che Δ1 è più fine di Δ2 se Δ1⊇Δ2 contiene
FUNZIONE INTEGRABILE SECONDO RIEMANN
Diciamo che la funzione f è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] se l’integrale superiore è uguale all’integrale inferiore. Il valore comune di questi due estremi si chiama integrale secondo Riemann della funzione f in [a,b] e si denota con. Per le denotazioni pag 243.
FUNZIONE GENERALMENTE CONTINUA IN [a,b] E LOCALMENTE GENERALMENTE IN R
Sia [a,b] un intervallo chiuso e vi siano x1,…,xn elementi di [a,b]. Una funzione f definita e continua in [a,b] \ {x1,…,xn} si dice generalmente continua in [a,b]. Una funzione generalmente continua in ogni intervallo chiuso e limitato si dice localmente generalmente continua in R.
INTEGRALE DEFINITO DELLA FUNZIONE
Sia f: [a,b] in R una funzione integrabile secondo Rieman e siano alfa e beta due elementi di [a,b]
