Analisi 1 capitoli 3-4

Question 1

INTORNO DI X0

Answer 1

Sia x0 ∈ R. Un insieme U ⊆ R si chiama INTORNO DI X0 se esiste δ > 0 tale che ]x0-δ , x0+δ[ ⊆ U

Question 2

PUNTO INTERNO DI X

Answer 2

Siano X⊆R e x0∈X. Diciamo che x0 è punto interno di X se esiste un intorno di x0 contenunto in X. L’insieme dei punti interni di X si chiama interno di X e si denota con X°

Question 3

INSIEME APERTO E CHIUSO

Answer 3

Un insieme X⊆R si dice aperto se ogni suo punto è interno, ovvero X=X°. Un insieme X⊆R si dice chiuso se R\X è aperto. Un insieme è chiuso se il complementare è aperto.

Question 4

PUNTO DI ACCUMULAZIONE DESTRO

Answer 4

Siano X⊆R e x0∈R. Il punto x0 si dice punto di accumulazione per X dalla destra se ∀ε>0 ∃ xε∈X : xε ∈ ]x0,x0+ε[. L’insieme dei punti di acc. destri si chiama DERIVATO DESTRO di X e si denota con DX+

Question 5

PUNTO DI ACCUMULAZIONE SINISTRO

Answer 5

Siano X⊆R e x0∈R. Il punto x0 si dice punto di accumulazione per X dalla sinistra se ∀ε>0 ∃ xε∈X : xε ∈ ]x0-ε, x0[. L’insieme dei punti di acc. per X dalla sinistra si chiama DERIVATO SINISTRO di X e si denota con DX-

Question 6

PUNTO DI ACCUMULAZIONE generico

Answer 6

Sia X sottinsieme di R e X0 appartenente a R
Il punto x0 è punto di accumulazione per X se ∀ε>0 ∃ xε∈X : xε ≠ x0, xε ∈ ]x0-ε, x0+ε[.
L’insieme dei punti di accumulazione di X si chiama DERIVATO di X e si denota con DX. DX = DX+ ∪ DX-

Question 7

PUNTO ISOLATO

Answer 7

Un punto isolato di un insieme E è un punto x0∈E per il quale esiste almeno un intorno completo del punto stesso tale da non contenere alcun punto dell’insieme E oltre a x0.

Question 8

CHIUSURA

Answer 8

Sia X⊆R. L’insieme X∪DX si chiama chiusura di X e si denota con x soprasegnato

Question 9

PUNTO DI FRONTIERA

Answer 9

Siano X⊆R e x0∈R. Diciamo che x0 è di frontiera per X se non è interno a X e non è interno a R\X. Quindi ∀ε>0 si ha che ]x0-ε, x0+ε[ ∩ X≠0 e che ]x0-ε, x0+ε[ ∩ (R\X)≠0.

Question 10

X DENSO IN Y

Answer 10

Siano X,Y⊆R. Diciamo che X è denso in Y se X⊆Y⊆Xsoprasegnato

Question 11

FUNZIONE REALE DI VARIABILE REALE

Answer 11

Siano X,Y due insiemi non vuoti e f : X→Y. Se gli insiemi X e Y sono contenuti in R la funzione si dice reale di variabile reale

Question 12

FUNZIONE COME COMBINAZIONE LINEARE, PRODOTTO E RAPPORTO

Answer 12

Siano X,Y⊆R e f,g:X→Y due funzioni reali. Diciamo funzione combinazione lineare di f e g di coefficienti reali α e β la funzione αf + βg:X→Y definita mediante la legge (αf + βg)(x) =αf(x) + βg(x) ∀x∈X.
Diciamo funzione prodotto la funzione f*g:X→Y definita mediante la legge (f *g)(x) =f(x)g(x) ∀x∈X.
Se g(x)≠0 per ogni x∈X diciamo funzione quoziente o rapporto di f su g la funzione f/g:X→Y definita mediante la legge f/g(x) = f(x)/g(x) ∀x∈X.

Question 13

FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

Answer 13

Siano X⊆R e f:X→R una funzione reale. La funzione |f|:X→R definita mediante la legge|f|(x) = |f(x)|∀x∈X si chiama funzione valore assoluto di f. Le funzioni f+,f- : X→R definite ponendo f+(x)=|f(x)|+ f(x)/2, f-(x)=|f(x)|- f(x)/2 si chiamano rispettivamente parte positiva e parte negativa

Question 14

FUNZIONE LIMITATA SUPERIORMENTE O INFERIORMENTE

Answer 14

Siano X⊆R e f:X→R una funzione reale. Diciamo che la funzione f è limitata superiormente (inferiormente) se l’insieme immagine f(X) è limitato superiormente (inferiormente). Diciamo che f è limitata se lo è f(x). Se l’insieme f(X) ha massimo assoluto o minimo diciamo che f ha massimo o minimo assoluto

Question 15

PUNTO DI MASSIMO O MINIMO

Answer 15

Siano X⊆R e f:X→R una funzione reale e x0∈ X. Il punto x0 è un punto di massimo (minimo) relativo per f se esiste δ > 0 tale che f(x)≤f(x0) (massimo) [f(x)≥ f(x0)] (minimo) ∀x∈]x0-δ , x0+δ[∩ X.

Question 16

FUNZIONE CONVERGENTE A L CON X→X0

Answer 16

Siano X⊆R e f:X→R, x0∈DX e l∈R.
Diciamo che la funzione è convergente a l al tendere di x a x0 se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, |x-x0|<δ, x≠x0⇒ |f(x)-elle|<ε. Quindi si scrive
lim f(x)=elle
x→x0

Question 17

FUNZIONE DIVERGENTE A +∞ CON X→X0

Answer 17

Siano X⊆R e f:X→R, x0∈DX. Diciamo che la funzione f diverge a +∞ al tendere di x a x0 se ∀k>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, |x-x0|<δ, x≠x0⇒ f(x)>k. In tal caso scriviamo
lim f(x)=+∞
x→x0

Question 18

FUNZIONE DIVERGENTE A -∞ CON X→X0

Answer 18

Siano X⊆R e f:X→R, x0∈DX. Diciamo che f diverge a -∞ al tendere di x a x0 se ∀k>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, |x-x0|<δ, x≠x0⇒ f(x)<-k. In tal caso scriviamo
lim f(x)=-∞
x→x0

Question 19

FUNZIONE CONVERGENTE A L CON X→+∞

Answer 19

Siano f: (a,+∞[→R e l∈R. Diciamo che f è convergente a l al tendere di x a +∞ se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈ (a,+∞[, x>δ⇒|f(x)-elle|<ε. Quindi scriviamo
lim f(x)=elle
x→+∞

Question 20

FUNZIONE DIVERGENTE A +∞ CON X→+∞

Answer 20

Siano f: (a,+∞[→R. Diciamo che f è divergente a +∞ al tendere di x a +∞ se ∀k>0 ∃δ>0 : ∀x∈ (a,+∞[, x>δ⇒f(x)>k. Quindi scriviamo
lim f(x)=+∞
x→+∞

Question 21

FUNZIONE DIVERGENTE A -∞ CON X→+∞

Answer 21

Siano f: (a,+∞[→R. Diciamo che f è divergente a -∞ al tendere di x a +∞ se ∀k>0 ∃δ>0 : ∀x∈(a,+∞[, x>δ⇒f(x)<-k. Quindi scriviamo
lim f(x)=-∞
x→+∞

Question 22

FUNZIONE INFINITAMENTE GRANDE O INFINITO CON X→+∞

Answer 22

Siano f: (a,+∞[→R. Diciamo che f è infinitamente grande oppure che è un infinito al tendere di x a +∞ se lim |f(x)|=+∞
x→+∞
Allora scriviamo: lim f(x)=∞
x→+∞

Question 23

FUNZIONE CONVERGENTE A L CON X→-∞

Answer 23

Siano f: ]-∞,b)→R e l∈R. Diciamo che f è convergente a l al tendere di x a -∞ se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈]-∞,b), x>-δ⇒|f(x)-elle|<ε. Quindi scriviamo
lim f(x)=elle
x→-∞

Question 24

FUNZIONE DIVERGENTE A +∞ CON X→-∞

Answer 24

Siano f: ]-∞,b)→R. Diciamo che la funzione f è divergente a +∞ al tendere di x a -∞ se ∀k>0 ∃δ>0 : ∀x∈]-∞,b), x<-δ⇒f(x)>k. In tal caso scriviamo
lim f(x)=+∞
x→-∞

Question 25

FUNZIONE DIVERGENTE A -∞ CON X→-∞

Answer 25

Sia f: ]-∞,b)→R. Diciamo che la funzione f è divergente a -∞ al tendere di x a -∞ se ∀k>0 ∃δ>0 : ∀x∈]-∞,b), x<-δ⇒f(x)<-k. In tal caso scriviamo
lim f(x)=-∞
x→-∞

Question 26

FUNZIONE INFINITAMENTE GRANDE O INFINITO CON X→-∞

Answer 26

Sia f: ]-∞,b)→R. Diciamo che f è infinitamente grande oppure che è un infinito al tendere di x a -∞ se lim |f(x)|=+∞
x→-∞
Allora scriviamo: lim f(x)=∞
x→-∞

Question 27

LIMITE LATERALE DESTRO

Answer 27

Siano X⊆R e f:X→R, x0∈DX+ e l∈R.
Diciamo che la funzione è convergente a l al tendere di x a x0 dalla destra se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, x0<x<x0+δ ⇒|f(x)-elle|<ε. Quindi si scrive
lim f(x)=elle
x→x0+

Question 28

LIMITE LATERALE SINISTRO

Answer 28

Siano X⊆R e f:X→R, x0∈DX- e l∈R.
Diciamo che la funzione è convergente a l al tendere di x a x0 dalla sinistra se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, x0-δ<x<x0 ⇒|f(x)-elle|<ε. Quindi si scrive
lim f(x)=elle
x→x0-

Question 29

INFINITESIMO CON X→X0

Answer 29

Siano X⊆R e f:X→R, x0∈DX. Diciamo che la funzione f è un infinitesimo per x→x0 se lim f(x)=0
x→X0

Question 30

INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE, SUPERIORE, INFERIORE

Answer 30

Siano X⊆R, x0∈DX e f,g : X→R, due infinitesimi per x→x0. Supponiamo che esista una funzione σ: X→R tale che f(x)=σ(x)g(x) in un intorno del punto x0 tranne eventualmente x0.
1. Se lim x→x0 σ(x)= l∈R \ {0} diciamo che gli infinitesimi sono dello stesso ordine e se l=1 f e g sono funzioni asintotiche f ~ g
2. Se lim x→x0 σ(x)=0 f è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g
3. Se lim x→x0|σ(x)|= +∞ diciamo che f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g

Question 31

INFINITI DELLO STESSO ORDINE, SUPERIORE, INFERIORE se esiste limite

Answer 31

Siano X⊆R, x0∈DX e f,g : X→R due infiniti per x→x0. Supponiamo che esista una funzione σ: X→R tale che f(x)=σ(x)g(x) in un intorno del punto x0 tranne eventualmente x0.
1. Se ∃lim x→x0 σ(x)= l∈R \ {0} diciamo che gli infiniti sono dello stesso ordine e se l=1 f e g sono funzioni asintotiche f ~ g
2. Se ∃lim x→x0 σ(x)=0 f è infinito di ordine inferiore rispetto a g
3. Se ∃lim x→x0|σ(x)|= +∞ diciamo che f è un infinito di ordine superiore rispetto a g

Question 32

ASINTOTO VERTICALE DESTRO

Answer 32

Siano X⊆R, x0∈DX+ e f : X→R. La retta di equazione x = x0 si dice asintoto verticale destro per f se la funzione è divergente al tendere di x a x0 dalla destra

Question 33

ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO

Answer 33

Siano f: (a,+∞[→R e l∈R. La retta di equazione y=l si dice asintoto orizzontale destro per f se
lim f(x) = elle
x→+∞

Question 34

ASINTOTO OBLIQUO DESTRO

Answer 34

Siano f: (a,+∞[→R e m,q∈R. La retta di equazione y=mx+q si dice asintoto obliquo destro per f se
lim f(x)/x = m e lim x→+∞ f(x)-mx = q
x→+∞

Question 35

SUCCESSIONE REALE DI TERMINE GENERALE an

Answer 35

Sia X un sottoinsieme infinito di N. Una funzione f:X→R si chiama successione reale di termine generale an = f(n) e si indica con {an}

Question 36

SUCCESSIONE CONVERGENTE O DIVERGENTE E INFINITAMENTE GRANDE

Answer 36

Siano {an} una successione reale e l∈R. Diciamo che la successione {an} converge a l se ∀ε>0 ∃ν∈N : ∀n>ν⇒|an-elle|< ε e scriviamo lim an = l.
Diciamo che la successione {an} diverge a +∞ se ∀k>0 ∃ν∈N : ∀n>ν⇒an>k e scriviamo lim an=+∞
Diciamo che la successione {an} diverge a -∞ se ∀k>0 ∃ν∈N : ∀n>ν⇒an<-k e scriviamo lim an= -∞
Diciamo che la successione {an} è infinitamente grande se lim|an|=+∞

Question 37

SUCCESSIONE ESTRATTA E SUCCESSIONE ESTRATTA PROPRIA

Answer 37

Sia {an} una successione reale e {kn} una successione di interi strettamente crescente. La successione {akn} si chiama estratta da {an} mediante la legge {kn}. Nel caso in cui la successione estratta non coincida con {an} l’estratta si dice propria.

Question 38

VALORE LIMITE E CLASSE LIMITE

Answer 38

Siano {an} una successione reale e l∈Rsoprasegnato. Diciamo che l è un valore limite della successione {an} se esiste una successione estratta {akn} tale che lim akn=l. Chiamiamo classe limite della successione {an} l’insieme dei valori limite. La classe limite si scrive come L({an})

Question 39

MASSIMO LIMITE E MINIMO LIMITE

Answer 39

Sia {an} una successione reale. Poniamo maxlim an= max(sopra R segnato)L({an}) come massimo limite della successione {an}
Poniamo come minlim an= min(sopra R segnato) L({an}) come minimo limite della successione {an}

Question 40

FUNZIONE CONTINUA IN X0

Answer 40

Siano X⊆R, x0∈X e f : X→R. Diciamo che la funzione è continua in x0 se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, |x-x0|<δ⇒ |f(x)-f(x0)|<ε. La funzione è continua in X se lo è in ogni punto di X.

Question 41

FUNZIONE CONTINUA IN X0 DA DESTRA

Answer 41

Siano X⊆R, x0∈X e f : X→R. Diciamo che la funzione è continua in x0 dalla destra se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, x0 ≤x< x0+δ⇒|f(x)-f(x0)|<ε.

Question 42

FUNZIONE CONTINUA IN X0 DALLA SINISTRA

Answer 42

Siano X⊆R, x0∈X e f : X→R. Diciamo che la funzione è continua in x0 dalla sinistra se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀x∈X, x0 -δ<x≤x0⇒|f(x)-f(x0)|<ε.

Question 43

FUNZIONE UNIFORMEMENTE CONTINUA

Answer 43

Siano X⊆R e f : X→R. Diciamo che la funzione f è uniformemente continua in X se ∀ε>0 ∃δ>0 : ∀xprimo, xsecondo∈X,|xprim-xsec|<δ⇒ |f(xprim)-f(xsec)|<ε.

Question 44

FUNZIONE HOELDERIANA DI ESPONENTE ALFA E LIPSCHITZIANA

Answer 44

Sia 0 < α ≤ 1. Una funzione f : (a,b) → R si dice hoelderiana di esponente α nel punto x0∈(a,b) se esiste c ≥ 0 tale che |f(x)-f(x0)|≤ c|x-x0|^α ∀x∈ (a,b)
Se α=1 la funzione si dice Lipschitziana in x0

Question 45

FUNZIONE UNIFORMEMENTE HOELDERIANA LIPSCHITZIANA

Answer 45

Sia 0 < α ≤ 1. Una funzione f : (a,b) → R si dice uniformemente hoelderiana di esponente α in (a,b) se esiste c ≥ 0 tale che |f(x)-f(y)|≤ c|x-x0|^α ∀x,y∈ (a,b)
Se α=1 la funzione si dice Lipschitziana in x0