Analisi 1 Capitolo 6

Question 1

SERIE NUMERICA

Answer 1

Sia {an} una successione a termini reali. Consideriamo la successione {sn} - detta successione delle somme parziali - definita ponendo sn≡ a1+a2+…+an = ∑ aj (di j che va da 1 a n) ∀n∈N.
La coppia ordinata ({an}, {sn}) si chiama serie numerica di termine generale an e successione delle somme parziali {sn}. La serie di denota con il simbolo +∞
∑an
n=1

Question 2

SERIE CONVERGENTE, DIVERGENTE A +∞ OPPURE -∞, OSCILLANTE O REGOLARE

Answer 2

Sia ∑an (per n che va da 1 a + inf) una serie numerica. Diciamo che essa è convergente, divergente a +∞, divergente a -∞ oppure oscillante se lo è rispettivamente la successione {sn}. La serie si dice regolare se converge o diverge. In tal caso chiamiamo somma della serie il limite della successione {sn} e scriviamo: ∑an (per n che va da 1 a + inf) = lim sn.

Question 3

SERIE RESTO DI ORDINE K

Answer 3

Siano ∑an (per n che va da 1 a + inf) una serie numerica e k ∈ N. Diciamo serie resto di ordine k la serie ottenuta cancellando i primi k elementi ovvero la serie ∑an (per n che va da k+1 a + inf).

Question 4

SERIE ASSOLUTAMENTE CONVERGENTE

Answer 4

Sia ∑an (per n che va da 1 a + inf) una serie numerica. La serie si dice assolutamente convergente se è convergente la serie ∑|an|(per n che va da 1 a + inf).

Question 5

SERIE A TERMINI DI SEGNO ALTERNO

Answer 5

Sia an una serie a termini positivi (an>0) ∀n ∈ N. Le serie che si presentano sotto la forma seguente ∑ (per n che va da 1 a +inf) (-1)^n an si chiamano serie a termini di segno alterno.

Question 6

PROPRIETà ASSOCIATIVA pag 226

Answer 6

Sia ∑an una successione numerica regolare e {kn} una successione strettamente crescente di numeri naturali. A partire dalla serie data possiamo definire la successione {bn} ponendo b1=∑aj (per j che va da 1 a k1) e bn=∑aj (per j che va da kn-1 + 1) e la serie ∑bn (per n che va da 1 a +inf). Diciamo che la serie ∑an gode della proprietà associativa se la serie ∑bn è regolare e ha la stessa somma della serie ∑an per ogni scelta della successione {kn}.

Question 7

RIORDINAMENTO DI UNA SERIE

Answer 7

Sia ∑an (per n che va da 1 a +inf). Diciamo che la serie ∑bn (per n che va da 1 a +inf) è un riordinamento di ∑an se esiste una corrispondenza biunivoca j: N→N tale che bn=ajn ∀n∈N .

Question 8

PROPRIETà COMMUTATIVA

Answer 8

Sia ∑an (per n che va da 1 a + inf) una serie numerica convergente. Diciamo che la serie ∑an gode della proprietà commutativa se ∑ajn = ∑an (entrambe per n che va da 1 a +inf) per ogni riordinamento jn.

Question 9

SERIE PRODOTTO SECONDO CAUCHY O PRODOTTO DI CONVOLUZIONE

Answer 9

Siano ∑an e ∑bn due serie numeriche. Chiamiamo serie prodotto secondo Cauchy - o prodotto di convoluzione- la serie ∑cn ≡ ∑(∑akbn-k per k che va da 0 a n). Tutte le serie per n che va da 0 a +inf.