Algèbre linéaire Flashcards
F est un sous-espace vectoriel de E si
- F est une partie non-vide de E
- F appartient à E
- Pour tout (x, y) de F, pour tout (lambda) de R, (lambda)x + y appartient à F
R^n, dimension et base canonique
dim = n
(1 0) (0 1) …
Rn[X], dimension et base canonique
dim = n+1
1, X, X^n
Mn,1(R), dimension et base canonique
dim = n
1 0 0) (0 1 0) … (en colonne
Mn,p(R), dimension et base canonique
dim = np
(1 0 0 0) (0 1 0 0) … en matrice Mn,p
Pour qu’une famille soit libre
- Libre et génératrice
- Libre ou génératrice + nombre de vecteurs égale à la dimension de la base
Changement de base (formule)
X’ = P-1 * X
Montrer une application linéaire
-Pour tout (x, y) de E^2, et (lambda) de R, on a :
f(lambda*x + y) = (lambda)f(x) + f(y)
Endomorphisme
Application linéaire de E vers E
Isomorphisme
Application linéaire bijective
Automorphisme
Endomorphisme bijectif
Noyau
[ x appartient à E / f(x) = 0 ]
Kerf est un sev de E
f est injective
Si et ssi Kerf = 0
Image de f
[ y appartient à F / quelque soit x appartenant à E, y = f(x) ]
Imf est un sev de F
Imf = Vect (f(e1),f(e2)…,f(eN))
f est surjective
- Imf = F
- rgf = dimF
Théorème du rang
rgf + dim (kerf) = dim (E)
PROP 27
Soient E et F deux espaces vect de même dimension n et f une application linéaire de E dans F
Si f est injective (kerf = 0) f est surjective (th du rang) f est bijective (inj + surj = bij) Kerf = 0 (injective) rgf = n
Soit E un espace vect de dimension finie et f un endomorphisme de E
f est injective (Kerf = 0)
f est surjective (th du rang)
f est bijective
f est un automorphisme (endo bijectif)
E et F deux espaces vect
B = base de E
B’ = base de F
Quelle est la matrice f notée M(B,B’)(f) ?
M(B,B’)(f)
PROP 28 E et F deux esp vect B base de E B' base de F Soit M la matrice relative à B et B' Pour tout vect x de coordonnées X dans B Et pour tout vect y de coordonnées Y dans B'
y = f(x) Y = MX
PROP 29 E et F deux esp vect B base de E B' base de F Soit M la matrice relative à B et B'
f est inj f est surj f est bij M est inversible rg (M) = n famille génératrice, libre et base rg (f) = n
