Algèbre linéaire

Question 1

F est un sous-espace vectoriel de E si

Answer 1

• F est une partie non-vide de E
• F appartient à E
• Pour tout (x, y) de F, pour tout (lambda) de R, (lambda)x + y appartient à F

Question 2

R^n, dimension et base canonique

Answer 2

dim = n

(1 0) (0 1) …

Question 3

Rn[X], dimension et base canonique

Answer 3

dim = n+1

1, X, X^n

Question 4

Mn,1(R), dimension et base canonique

Answer 4

dim = n

1 0 0) (0 1 0) … (en colonne

Question 5

Mn,p(R), dimension et base canonique

Answer 5

dim = np

(1 0 0 0) (0 1 0 0) … en matrice Mn,p

Question 6

Pour qu’une famille soit libre

Answer 6

• Libre et génératrice

- Libre ou génératrice + nombre de vecteurs égale à la dimension de la base

Question 7

Changement de base (formule)

Answer 7

X’ = P-1 * X

Question 8

Montrer une application linéaire

Answer 8

-Pour tout (x, y) de E^2, et (lambda) de R, on a :

f(lambda*x + y) = (lambda)f(x) + f(y)

Question 9

Endomorphisme

Answer 9

Application linéaire de E vers E

Question 10

Isomorphisme

Answer 10

Application linéaire bijective

Question 11

Automorphisme

Answer 11

Endomorphisme bijectif

Question 12

Noyau

Answer 12

[ x appartient à E / f(x) = 0 ]

Kerf est un sev de E

Question 13

f est injective

Answer 13

Si et ssi Kerf = 0

Question 14

Image de f

Answer 14

[ y appartient à F / quelque soit x appartenant à E, y = f(x) ]
Imf est un sev de F
Imf = Vect (f(e1),f(e2)…,f(eN))

Question 15

f est surjective

Answer 15

• Imf = F

- rgf = dimF

Question 16

Théorème du rang

Answer 16

rgf + dim (kerf) = dim (E)

Question 17

PROP 27

Soient E et F deux espaces vect de même dimension n et f une application linéaire de E dans F

Answer 17

Si f est injective (kerf = 0)
f est surjective (th du rang)
f est bijective (inj + surj = bij)
Kerf = 0 (injective)
rgf = n

Question 18

Soit E un espace vect de dimension finie et f un endomorphisme de E

Answer 18

f est injective (Kerf = 0)
f est surjective (th du rang)
f est bijective
f est un automorphisme (endo bijectif)

Question 19

E et F deux espaces vect
B = base de E
B’ = base de F
Quelle est la matrice f notée M(B,B’)(f) ?

Answer 19

M(B,B’)(f)

Question 20

PROP 28
E et F deux esp vect
B base de E
B' base de F
Soit M la matrice relative à B et B'
Pour tout vect x de coordonnées X dans B
Et pour tout vect y de coordonnées Y dans B'

Answer 20

y = f(x)
Y = MX

Question 21

PROP 29
E et F deux esp vect
B base de E
B' base de F
Soit M la matrice relative à B et B'

Answer 21

f est inj
f est surj
f est bij
M est inversible
rg (M) = n
famille génératrice, libre et base
rg (f) = n