Algebra di Boole Flashcards
Cenni storici: algebra di Boole
L’algebra di Boole prende il nome da George Boole, matematico inglese (1815– 1864), che pubblic` o nel 1847 il libro The Mathematical Analysis of Logic, nel quale vennero formulati i principi dell’algebra oggi conosciuta sotto il nome del suo inventore: algebra di Boole. Nel 1938 l’ingegnere e matematico statunitense Claude Shannon (1916–2001) ha dimostrato che l’algebra booleana può essere utilizzata per la progettazione di circuiti logici digitali, fornendo le basi teoriche dei sistemi di codificazione, elaborazione e trasmissione digitale dell’informazione.
variabile booleane
Una variabile booleana è una variabile binaria che può assumere esclusivamente due valori logici: vero (true) e falso (false). Nella progettazione di un computer il valore vero può essere rappresentato con il valore binario 1 e il valore falso si può rappresentare con il valore binario 0. Pertanto, qualunque informazione è rappresentata all’interno di un computer mediante una sequenza dei valori logici 0 e 1.
funzione booleana
Una funzione booleana è un’espressione che fornisce come risultato vero o falso (1 oppure 0) senza ambiguità
operatori booleani
Gli operatori booleani o logici fondamentali per costruire le espressioni booleane sono: NOT (negazione logica), AND (congiunzione logica o prodotto logico) e OR (disgiunzione logica).
tabella di verità
Una tabella di verità contiene tutti i possibili valori di verità che può assumere un’espressione composta, a seconda di tutte le possibili combinazioni dei valori di verità associati alle espressioni componenti. La tabella di verità costituisce lo strumento principale per lo svolgimento di calcoli nell’algebra di Boole.
NOT
La negazione logica (NOT) è un’operazione unaria (richiede un solo operando). : se x è un’espressione booleana, il valore dell’espressione NOT x, è vero se x ha il valore falso ed è falso se x ha il valore ve
AND
Il prodotto logico(AND) è una operazione binaria (richiede due operandi). se x e y sono espressioni booleane, il valore dell’espressione x AND y, è vero se e solo se x e y hanno entrambi il valore vero.
OR
La disgiunzione logica(OR) è una operazione binaria (richiede due operandi). : se x e y sono espressioni booleane, il valore dell’espressione x OR y, è vero se almeno una delle espressioni assume valore logico vero.
Proprietà e teoremi
- commutatività
- associatività
- distributività
- complementarietà degli inversi
- principio di dualità
- teorema dell’elemento neutro
- teorema d’identità
- teorema dell’idempotenza
- teorema del consenso
- teorema di De Morgan
- teorema della doppia negazione
- teoremi dell’assorbimento
analogia tra insiemi e algebra di boole
Esiste un’analogia tra gli operatori logici dell’algebra di Boole e gli operatori della teoria degli insiemi. Infatti, - l’operatore AND corrisponde all’operatore di intersezione∩tra due insiemi; - l’operatore OR corrisponde all’operatore di unione∪tra due insiemi; - l’operatore NOT corrisponde al complemento di un insieme; - l’operatore XOR corrisponde alla differenza simmetrica (elementi presenti solo in uno dei due insiemi).
circuiti
Un circuito` e un insieme di porte logiche che trasforma una serie di ingressi binari in una serie di uscite binarie e in cui i valori delle uscite dipendono esclusivamente dai valori degli ingressi.
porte logiche
Le porte logiche (logic gates) sono dispositivi elettronici capaci di eseguire operazioni logiche su variabili booleane e corrispondono agli operatori elementari dell’algebra di Boole. Ogni porta logica ha una o più variabili in ingresso ed una sola variabile di uscita. Le variabili di ingresso sono di tipo digitale per cui è possibile inserire in una tabella di verità tutte le possibili combinazioni che si possono verificare tra le variabili di ingresso. L’uscita assume il valore 0 oppure il valore 1 in corrispondenza di ciascuna combinazione delle variabili di ingresso in funzione della definizione considerata.
porte logiche e livelli di tensione
Nei computer odierni le porte logiche sono realizzate con piccoli circuiti elettronici, in cui le cifre 0 e 1 sono rappresentate come livelli di tensione elettrica (misurata in volt). Generalmente si associa il livello basso, rappresentato solitamente con la lettera L (low), alla cifra 0 e il livello alto, rappresentato solitamente con la lettera H (high), alla cifra 1.
porta NOT
La porta NOT ha un solo ingresso e una sola uscita. La porta logica NOT (Inverter) si comporta come un interruttore di corrente (spento o acceso).
porta AND
La porta AND ha due ingressi e una sola uscita.
