Лекция 9 (Стёпа).

Question 1

Какова общая формула для свободной энергии F фононов?

Answer 1

F = -т*ln(Z) + Fo, где Z = П(k,sig)[1 - exp(-hw/т)]^(-1)

В данном случае общая стат. сумма - произведение стат. сумм фононов во всех состояниях.

Question 2

Опиши этапы вычисления F для фононов. Какова итоговая зависимость от т? Зачем вычислять F?

Answer 2

Определение -> переход от суммы к интегрированию с плотностью D(w) -> обезразмеривание (hw/т = x) и введение температуры Дебая -> интегрирование.

Итог: в одном слагаемом зависимость вида
тln(1-exp{-theta/т}), а в другом - тD(theta/т)

Вычислив F, можно определить энтропию фононного газа.

Question 3

Какова энтропия для предельных случаев функции Дебая (в выражении для F)?

Answer 3

Энтропия (S) есть производная свободной энергии по температуре с обратным знаком.

1) т&raquo_space; theta, D(y) = 1: S ~ ln(т)
2) т &laquo_space;theta, D(y) = pi^4/(5y^3): S ~ т^3

Question 4

Назови основные положения рассмотрения вырожденного идеального Ферми-газа.

Answer 4

Рассматривается газ из элементарных ферми-частиц (протоны, электроны); считаем, что все внутренние степени свободы сводятся к спину. Слово “вырожденный” означает рассмотрение при низких температурах. Т.к. эти частицы обладают массой, необходимо также учитывать в распределении химический потенциал u, чего не делалось для фотонного и фононного газов:

n(e) = 1/(exp{e-u/т} + 1)

Question 5

Какова основная идея поиска хим. потенциала?

Answer 5

Рассмотрение газа будет проводиться при низких температурах, т.к. по определению хим. потенциал есть энергия Ферми при нулевой температуре:

u(т=0) = Ef

Нужно найти такие соотношения, которые задействуют это определение.

Question 6

Как определится полное число частиц в системе?

Answer 6

N = Σ{p,i} n(ε) = g * Σ{n} 1/(exp{e-u/т} + 1) =
= g | D(w)*dε / (exp{e-u/т} + 1),

где | - знак интеграла

Question 7

Вычисление Ef для фермионов (т = 0). Каков характер зависимости Ef от концентрации?

Answer 7

Рассмотрим полностью вырожденный электронный газ (т=0):
-> распределение частиц в системе определится ступенькой (0 если ε > Ef, 1 если наоборот) -> вычисляем N по предыдущей карточке (верхний предел интегрирования - Ef) -> D(w) записывается для трёхмерного случая.

Ef ~ (N/V)^2/3

Question 8

Вычисление Eo (cр. энергии) для фермионов (т = 0). Каков характер зависимости Eo от концентрации?

Answer 8

Eo = g | εD(w)dε, D(w) для трёхмерного случая
!В получившейся конструкции нужно увидеть N, выраженную через Ef!

Eo = (3/5)N*Ef

Question 9

Вычисление Po (cр. давления) фермионного газа (т = 0). Каков характер зависимости Eo от концентрации?

Answer 9

Po = (2/3)Eo/V = (2/5)N*Ef/V ~ (N/V)^(5/3)

Question 10

Случай конечных температур (т != 0). Что нужно сделать и зачем для нахождения хим. потенциала при таких условиях?

Answer 10

Т.к. N = g | D(w)*dε / (exp{e-u/т} + 1) для этого случая, нужно уметь вычислять интегралы подобного вида (пределы от 0 до 8)

Question 11

Вычисление навороченного интеграла.

Answer 11

1) Вместо D(w) ставим произвольную степенную функцию F(ε);
2) Замена: e-u/т = х (внимательно с нижним пределом!);
3) Разбивка на два интеграла и замена в первом х на -х;
4) Преобразовать exp в знаменателе и получить три интеграла;
5) Считая т-ры достаточно низкими, заключаем, что верхний предел u/т достаточно большой, поэтому объединяем второй и третий интегралы;
6) Вводим функцию G(x) = F(u + тx) - F(u - тx) и раскладываем в ряд Маклорена по х до второй производной;
7) Интеграл, в котором в числителе х, равен pi^2/12
, а у которого x^3, равен 7pi^4/120.

Question 12

Случай конечных температур (т != 0). Итерационное вычисление хим. потенциала при т < Ef.

Answer 12

Стартуем с N = g | D(w)*dε / (exp{e-u/т} + 1)

Подставив D(w), получим степенную функцию, интеграл приобретёт вид навороченного, разложим его. N в левой части перепишем через Ef и перенесём всё вправо так, чтобы слева была единица.

Выносим u^3/2 из здоровой скобки, выражаем относительно этого множителя.

1 Итерация: т=0, u0 = Ef
2 Итерация: вместо u подставляем везде Ef, раскладываем степенную функцию

С точностью до кв. слагаемых:
u = Ef(1 - (pi^2/12)(т/Ef)^2 + …)

Question 13

Случай конечных температур (т != 0). Вычисление ср. энергии.

Answer 13

Eo = g | εD(w)dε / (exp{e-u/т} + 1), раскладываем через новороченный интеграл, за скобкой должен быть множитель u^(5/2) / Ef^3/2

Далее подставляем найденное выражение для u (внутрь скобки вместо u ставим Ef)

Question 14

Случай конечных температур (т != 0). Теплоёмкости.

Answer 14

Сp = Cv = dE/dт = pi^(2)Nт/2Ef