Лекция 1. Статистический и ТД подходы. Квантовое и классическое уравнение и теорема Лиувилля. Flashcards
В чём идея статистического подхода?
Системы с большим количеством частиц ( > 10^20) можно описать конечным числом макропараметров (масса, объем, давление).
Состояния, описываемые макропа-ми, называются МАКРОСКОПИЧЕСКИМИ.
Макросостояния совместимы с огромным числом механически заданных микросостояний. МИКРОСОСТОЯНИЯ - состояния макросистемы, допустимые при данных значениях макропараметров.
Идея ТД подхода?
Поиск соотношений между найденными СРЕДНИМИ физическими величинами, т.е. подход является феноменологическим и основывается на ОПЫТЕ.
Что такое СТАТИСТИЧЕСКИЙ ВЕС? Запиши формулу.
Это число равновероятных микросостояний, каждое из которых реализует данное макросостояние.
ИЛИ
Число допустимых микросостояний макроскопической системы.
Формула: это всевозможные перестановки молекул (частиц) во всём объёме фазового пространства, делённые на перестановки внутри i-й ячейки.
Как задаются микросостояния? Изобрази микросостояния. Как по-другому называется область, содержащая непрерывное распределение микросостояний?
Микросостояние - это точка или ОБЛАСТЬ вблизи точки (p,q) фазового пространства.
По-другому эта область называется элементом объёма фазового пространства вблизи точки (p,q).
Напиши выражения, задающие вероятность распределения системы по микросостояниям. Какой функцией определяется эта вероятность?
Функцией статистического распределения вероятностей микросостояний po(p,q,t).
Она нормирована на 1 через интеграл по элементу объёма фазового пространства.
Эти соотношения задают ВЕРОЯТНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ системы в элементе объёма фазового пространства.
Что такое статистическое среднее? Напиши формулу.
Это наблюдаемая в эксперименте физическая величина, которая получена путём усреднения значения этой величины в допустимых микросостояниях.
Что необходимо знать для усреднения?
Распределение вероятностей микросостояний, т.е. функцию po(p,q,t).
Какой постулат используют для нахождения po(p,q,t)?
Микроканоническое распределение. Постулируется, что все микросостояния замкнутой макросистемы равновероятны.
Сформулируй нулевое начало термодинамики.
Любая замкнутая система рано или поздно придёт к состоянию равновесия.
РАВНОВЕСИЕ - состояние, в котором средние значения физических величин постоянны.
Разделим систему на подсистемы и заглянем в каждую - если каждая в равновесии и между ними нет никаких потоков частиц/энергии, то это есть ПОЛНОЕ равновесие.
Если, разделив систему, мы увидим потоки частиц между подсистемами, хотя внутри самих себя они содержат равновесие, то равновесие называется ЛОКАЛЬНЫМ.
Что такое флуктуации и какова их связь с равновесием?
В равновесных состояниях, конечно, возможны ФЛУКТУАЦИИ- это кратковременные выходы из состояния равновесия, т.е., на языке усреднённых микросостояний, отклонение средних величин от их средних значений.
Какова связь нулевого начала с количеством макропараметров? И при чём тут релаксация?
Для описания равновесных систем требуется минимальное число макропараметров. При релаксации системы число макропараметров уменьшается - происходит СОКРАЩЕНИЕ ОПИСАНИЯ.
Сформулируй утверждение теоремы Лиувилля. Запиши все необходимые соотношения и иллюстрацию.
- Состояния консервативных систем в классической механике определяются совокупностью (p,q).
- (p,q) образует фазовое пространство. Со временем точка в нём - т.е. состояние - начинает описывать фазовую ТРАЕКТОРИЮ.
- Траекторию описывают ГАМИЛЬТОНИАН системы и уравнения Гамильтона-Якоби. Для замкнутой системы H = E.
- Фазовый объём области одной и той же совокупности точек с течением времени остаётся постоянным, хотя форма области может меняться.
Это значит, что равны интегралы по этим двум областям.
Следствие теоремы Лиувилля.
Чтобы объёмы сохранялись, количество фазовых точек меняться не должно. Но это значит, что тогда должны быть РАВНЫ ВЕРОЯТНОСТИ попадания точек (микросостояний) в эти области.
Альтернативная формулировка теоремы Лиувилля.
Из равенства вероятностей следует, что ПЛОТНОСТЬ вероятности попадания точки в область фазового пространства вдоль фазовой траектории НЕ МЕНЯЕТСЯ.
dp/dt = 0. Далее необходимо расписать полную производную, подставить уравнения Г-Я и свернуть сумму в скобку Пуассона.
В равновесных состояниях плотность вероятности является ИНТЕГРАЛОМ ДВИЖЕНИЯ. Для неравновесных она равна СКОБКЕ ПУАССОНА.
Как задаются микросостояния с квантовой т.з.?
Микросостояния задаются векторами |PSI> в пространстве состояний системы или же соответствующими им ВОЛНОВЫМИ ФУНКЦИЯМИ.
