8. Relations entre variables numériques: corrélation

Question 1

2 type d’hypothèses étudiées en statistique inférentielle

Answer 1

1. Pour savoir si DIFFÉRENCE entre groupes de données
   Ajustement χ^2 : proportions d’échantillons
   t-test : moyennes 2 écanchtillons
   Shapiro-Wilk : distribution échanitllon vs distribution normale
   Rangs signés Wilcoxon : moyennes si violation conditions t-test
   ANOVA : moyennes >2 échanitllons
2. Pour savoir si RELATION entre 2 variable ou +
   Test indépendance χ^2
   Test Pearson
   Test Spearman

Question 2

Série statistiques doubles

Answer 2

Déf : analyse simultané 2 variable mesuré sur même unité échantillonnage

Au moins une variable aléatoire;
- 1 aléatoire/1 contrôlée
Ex : production chrlorophyle/éclairement
- 2 aléatoires
Ex : récolte maïs/nombre jour ensoleillé

Question 3

Variance

Answer 3

Représente moyenne des carrés des écarts par rapport moyenne groupe
Formule : S^2 = ∑ ((yi − Y¯)^2) / (n − 1)
Retir 1 degré de liberté pour corriger biais dû estimation (Y¯)

Question 4

Covariance

Answer 4

Permet quantifier force/direction (+ ou -) de association entre 2 variables numériques
Formule : ℂov (X,Y) = (1 / n−1) * ∑ (xi − X¯)*(yi − Y¯)

Vs variance : pas carré écart pour une variable
Peut être négative ou positive
- Élevé/positive -> déviation X et Y varie ensemble
- Élevé/négative -> déviation X et Y varie façon opposé
- Nulle -> X et Y varie façon indépendante

Remarques

• Cov commutative : ℂov(X,Y) = ℂov(Y,X)
• X¯ et Y¯ ont même n

Question 5

Corrélation Pearson

Answer 5

Unité covariance pas intuitive
Permettent pas bien visualier relation
-> Utilise coefficient corrélation Pearson (rxy)

Coefficient corrélation Pearson : standardisation covarience avec écarts-types échantillon
Formule : rxy = ℂov(X,Y) / (Sx * Sy) = ∑(xi − X¯)(yi − Y¯) / √(∑(xi − X¯)^2) √(∑(yi − Y¯)^2
Si X = Y -> ℂov (X,Y) = Sx * Sy
Obtien rxy = 1

Varie entre −1 ≤ rxy ≤ 1

• rxy = -1 -> varie proportions exactement opposées (corréalation parfaite négative)
• rxy = 0 -> aucune corrélation (indépendante)
• rxy = 1 -> varie exactement mêmes proportions (corréalation parfaite positive)

Question 6

Remarques : corrélation Pearson

Answer 6

Utilise parfois ρ (rho) pour resprésenter

Coefficient corrélation = mesure dépendance linéaire

rxy/ρ mesure si X et Y varie ensemble, pas combien X et Y varie
Régression linéaire permet calculer combien

Question 7

Procédure calcul coefficient corrélation Pearson (rxy/ρ)

Answer 7

1. Analyse primaire données
   Permet visualiser relation entre 2 variables -> donne idée linéarité relation
   Avec : plot () -> fait scatter plot
2. Calcul coefficient corrélation
   Manuellement ou avec cor ()/cor.test ()
3. Test d’hypothèse
   H0 : pas lien/relation (ρ=0)
   H1 : lien/relation (bilatéral, ρ≠0) ou varient ensemble/opposé (unilatéral, ρ>0/ρ<0)
   Fixe α
   Statistique de test t -> formule : t = rxy/SEr où SEr = √ (( 1 − rxy^2) / ( n − 2 ))
   Trouve t crit selon dl = n-2 et α
4. Conlusion
   Avec t crit/t cal ou p-value

Question 8

Conclusion test corrélation Pearson

Answer 8

Avec t crit/t cal : rejet H0 si ou | tcal | > tcrit

Avec p-value : rejet H0 si p-value < α

Intervalle de confiance doit pas inclure 0 pour conlure corrélation
Donne idées conclusion (permet présumer)

Question 9

Conditions applications Pearson

Answer 9

1. Échantillonnage indépendant/aléatoire
2. Mesures X et Y suivent distribution Normale bivariée
   Donc, X/Y individuellement distribuée normalement et relation linéaire entre

Très sensible présence valeurs extrêmes/aberrantes (outliers)
Doit tester normalité avec Shapiro-Wilk

Question 10

Violations conditions applications

Answer 10

1. Ignore violations
   Peut parfois rejeter valeurs extrêmes si issues erreurs ou non importantes
   Peut conserver si désire aussi
2. Transforme données (log, racine carré, arcsin)
   Peut appliquer juste une des 2 distributions -> ex : si juste une par Normale
3. Utilise statistique/test non-paramétrique : coefficient corrélation Spearman

Question 11

Sensibilité valeurs extrêmes : Pearson

Answer 11

Mesures corrélation faites avec coefficient Pearson très sensibles valeurs extrêmes
2 valeurs extrêmes suffisantes réduire grandement coefficient

Rapidement impossible rejeter H0 : corrélation pas différente de 0 (ρ = 0)
Soit p-value > α, intervalle confiance inclu 0 et rxy bas

Doit utiliser coefficent corrélation Spearman

Question 12

Coefficient corrélation Spearman

Answer 12

Travail sur rangs
Beaucoup moins sensible valeurs extrèmes
Valeurs rxyS demeurent stables malgré outliers

Même formule que Pearson mais sur rangs
Formule : rs = ∑(Ri − R¯)(Si − S¯) / √(∑(Ri − R¯)^2) √(∑(Si − S¯)^2

Même interprétation que Pearson : −1≤ ρs ≤ 1

Question 13

Procédures : test hypothès r de Spearman

Answer 13

1. Pose H0/H1
   H0 : pas relation/corrélation (ρs = 0)
   H1 : lien/relation (bilatéral, ρs ≠ 0) ou varie ensemble/opposé (unilatéral, ρs > 0/ρs < 0)
2. Fixe α
3. Statistiques des test -> 2 possibles
   Nombre total obersation n < 100 : compare rscal à rscrit (table de Spearman)
   Nombre total obersation n > 100 : calcul t avec rs
4. Conclusion
   Compare rscal/rscrit ou tcal/tcrit

Question 14

Conditions appilcations Spearman

Answer 14

1. Échantilonnage indépendant/aléatoire

2. Mesures X/Y ont relation linéaire

Question 15

Matrice de corrélation

Answer 15

Recense valeurs coefficient corrélation entre multiples variables mesurées lors même échantillonnage
Pour n variable (n*(n -1 ))/2 coefficients

Diagonale matrice toujours 1 -> corrélation vairable avec elle-même
Symétrique -> rempli juste partie supérieure ou inférieure

Utile analyse régression multiples lors colinéarité entre diverses variables explicatives est problématique

Question 16

Corrélation ≠ causalité

Answer 16

Corrélation possède aucon pouvoir explicatif/prédictif sur relation
Renseigne par sur causalité

Pourquoi difficle par voir causalité où corrélation

1. Mauvaise compréhension notion corrélation/causalité
2. Évolué pour reconnaitre patron/créer associations

Question 17

Causalité

Answer 17

Pour démontrer relation cause à effet doit pouvoir;

1. Manipuler cause (expériences)
2. Mesurer effets
3. Contrôler autres variables
4. Tester probabilités résultats dû hasard

Si corrélation entre X/Y ->3 possibilités;
1. X cause Y
2. Y cause X
3. X et Y causer 3e facteru (Z)
     Cas corrélation partielle

Question 18

Corrélation partielle

Answer 18

Cas où 2 variable semble fortement liées mais lien repose intervention 3e variable (Z)

Analyse corrélation corrige problème
Permet mesure lien en annulant Z
Parle « variable de contrôle »

Formule : rAB,C = (rAB − rAC × rBC) / (√(1 − rAC^2) * √(1 − rBC^2))
Permet connaitre valeur corrélation entre A/B sans effet C
Doit calculer r entre différentes variables
Avec Pearson OU Spearman

Utilise fontion pcor.test () ou ppcor ()