3. Probabilités, lois de distribution, estimation et incertitude

Question 1

ℙ[A] = N(A) / N(Ω)

Answer 1

Probabilité d’obtenir A = rapport entre nombre cas favorable A et nombre cas possible Ω (univers cas possible)

Question 2

Évènement indépendant

Answer 2

Réalisation de A affecte pas probabilité réalisation de B

Nom : indépendant, mutuellement exclusif

Question 3

A ∪ B

Answer 3

Union d’événements indépendants A et B
Implique réalisation de A ou B ou AB
Calcul ℙ[A ∪ B] = ℙ[A] + ℙ[B]

Question 4

A ∩ B

Answer 4

Intersection d’événements indépendants
Implique réalisation de A et B
Intersection nulle si A et B imcompatible
Calcul : ℙ[A ∩ B] = ℙ[A] × ℙ[B]

Question 5

Évènement dépendant

Answer 5

Réalisation A affecte probabilité realisation de B (intersection non nulle)
A et B lié réalisation commune aux 2 univers
Dû dépendance doit soustraire partie commune -> veut que 2 se réalise, juste 1
Calcul : ℙ[A ∪ B] = ℙ[A] + ℙ[B] − ℙ[A ∩ B]
1. Trouver ℙ[A]
2. Trouver ℙ[B]
3. Trouver ℙ[A ∩ B] (probabilité de l’intersection de A et B)
4. Appliquer ℙ[A ∪ B] = ℙ[A] + ℙ[B] − ℙ[A ∩ B]

Question 6

Probabilité conditionnelle

Answer 6

Probabilité dont calcul dépend information additionnelle
Calcul avec évènement dépendant : ℙ[A|B]=ℙ[A sachant B]
Soit probabilité de A étant donné on connait information événement B
Ex : somme 7 si premier dé 3
Calcul : ℙ[A|B] = ℙ[A∩B] / ℙ[B]

Question 7

Permutation sans répétition

Answer 7

Classement ordonné de k éléments distincts
Calcul : Pk = k × (k−1) × (k−2) × … × (1) = k! (k factoriel) -> donne nombre tota permutation
Vs arrangement : compte tous groupes taille k = n
RStudio : permn(), avecpackage : combinat

Question 8

Arrangement sans répétition

Answer 8

Nombre arrangements ordonnées distincts k possible à partir échantillon taille n
Calcul Aᵏn = n! / (n−k)!
Vs permutation : compte tous groupes taille k < n
Ex : k = paire de lettres (2) et n = 5 lettres, k = 4 personnes et n = 5 chaises

Question 9

Arrangement avec répétition

Answer 9

Nombre arrangements ordonnées distincts k possible à partir échantillon taille n
Calcul : Arangements avec répétition=nᵏ

Question 10

Combinaison

Answer 10

Classement non ordonné de k éléments, sans remise, choisis parmi n éléments
Calcul : Cᵏn = n! / k! x (n−k)! -> si n ≥ k
Vs permutation/arrangement : considère par ordre (permutation)
RStudio : combn ()

Question 11

Objectif principal statistique

Answer 11

Estimer dans certain intervalle de confiance propriété population à partir échantillon
Probabilité permet établie modèle théorique : modélise effet hasard population( H0)

Donc, probabilité permet estimer;

• Étendue variabilité naturelle
• Si processus dévie effet attendu dû hasard

Question 12

Processus valider/infirmer hypoth;se en statistique paramétrique

Answer 12

1. Modélise effet hasard sur population avec distribution de probabilité
2. Échantillonne population pour obtenir données
3. Estime paramètres population à partir données
4. Calcul intervalle de confiance pour paramètres estimés

Question 13

Loi de distribution

Answer 13

Beaucoup propriété biologique suivent distributions fréquence issus lois naturelles dont caractéristiques mathématiques définies

Plus connue : loi de distribution Normale
Autres : loi Log-Normale, binomiale, de Poisson, de Student, …

Question 14

Distriubtion Normale

Answer 14

Émerge si processus mesuré soumis effet aléatoire additif -> +/- totalement dû hasard
Additif : toujours même à chaque fois
Ex : dsitribution billes

Représente aussi ditribution de fréquence moyenne calculée sur nombreux échantillons indépendants même population

Question 15

Expérience Michelson/Morley

Answer 15

1881-1887
But : démontrer existence éther luminifère
Résultat : met en doute existence éther, mais pas capable expliquer vitesse constante lumière
Données conforme distribution Normale
Donc, variation mesure juste dû hasard

Question 16

Forme distribution Normale

Answer 16

Loi Normale comprte 2 paramètres

1. Moyenne μ
2. Écart-type σ

Fonction de densité variable X suit Normale avec μ ∈ ℝ et σ ∈ (0,∞) (X suit N(μ,σ))
-> N(X) = (1 / (√2π)σ) x e^(1 / 2 x ((X−μ) / σ)^2)

Dépend juste de μ, σ et X

Question 17

Symétrie - Normale -

Answer 17

N(X) toujour symétrique
Donc, moyenne = médiane = mode
Peut séparer distribution en 2 à la moyenne
Propotion valeurs gauches/droites égale
Peu importe μ et σ

Question 18

Probabilité - Normale -

Answer 18

Pour dustribution Normale 68.27% (2 x 34.13%) valeurs entre X = −σ et X = σ
Soit à ±σ de moyenne
Donc, probabilité avoir X à ±σ avec échanitllonnage hasard = 68.27%
Mathémathique : ℙ[−σ ≤ X ≤ σ] = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826

Si à ±2σ, ℙ[X ≤ −2σ] + ℙ[X ≥ 2σ] = 0.0455
Donc, 4.55% avoir échantillon à ±2σ

Question 19

Valeurs extrêmes

Answer 19

Valeurs à plus de 3σ de la moyenne

Question 20

Valeurs dans distribution Normale

Answer 20

Un peu plus 2/3 valeurs -> ±σ
Un peu plus 95% valeurs -> ±2σ
Presque 99.9% valeurs -> ±3σ

Question 21

Distribution Normale standardisée : Z

Answer 21

Autres noms : distribution Normale centrée réduite
Toute distribution X suit Normale de μ et σ peut être standardisée
Soit, être rapportée loi Normale standard où μ = 0 et σ = 1
Calcul : Z = (X − μ) / σ
X devient Z
Z exprimé en termes σ
Permet obtenir probabilités à partie table loi Normale

Question 22

Propriétés de Z

Answer 22

1. Notation
2. Complémentation des probabilités
3. Symétrie des probabilités

Question 23

Notation

Answer 23

ℙ[Z≤x] = Φ(x)
x souvent appelé valeur seuil
Valeurs de Φ(x) dans table loi Normale
Pour un Φ(x), lit probabilités en regardant 1ère colonne/1ère rangée
Ex : Φ(1) = 0.8413, valeur au croisement rangée 1,0 et colonne 0,00

Question 24

Complémentation des probabilités

Answer 24

Valeur maximale probabilité = 1
Donc, pour x quelconque
ℙ[Z ≥ x] = 1 − ℙ[Z ≤ x] = 1−Φ(x)

Question 25

Symétrie des probabilités

Answer 25

Distribution Normale est symétrique

ℙ[Z ≥ x] = ℙ[Z ≤ −x] = Φ(−x) = 1−Φ(x)

Question 26

Calcul probabilité avec loi Normale

Answer 26

1. Si variable suit Normale μ ≠ 0 et σ ≠ 1 -> standardise
2. Utilise propriété Z pour calculer probabilité
   RStudio : pnorm()

Question 27

Estimation

Answer 27

Valeurs estimée jamais égale valeur réelle

Dû inclfuence hasard sur échantillonnage

Question 28

Distribution d’échantillonnage

Answer 28

Distribution fréquence valeurs estimées à partir nombreux échantillons si échanitllonnage infini possible
Moyenne distrubution échantillonnage devrait être égale moyenne population

Plus échanitllon (n) = moyenne plus précise -> distribution moins étendue
Plus écart-type petit (σ) = moyenne plus précise -> distribution moins étendue

Important : σ 1 échantillon > σ plusieurs échantillons (distribution échantillonnage)

Question 29

Erreur standard

Answer 29

Écart-type de la distribution d’échantillonnage
Calcul : SE = S / √n
Où -> SE : erreur standard, S : écart-type, n : effectif

SE plus faible que S et proportionnelle racine de N
Donc, grand gain précision 3-20, mais diminue après

Question 30

Intervalle de confiance

Answer 30

Possède niveau de confiance α
Donc, si répète échantillonnage plusieurs fois avec même effectif, vrai moyenne dans intervalle de confiance x%
Ex : intervalle 95% -> pour 20 échantillons : 19 dans intervalle (95%), 1 hors (5%)

Augmentation taille effectif = diminution intervalle
Diminution écart-type = diminution intervalle

Question 31

Intervalle de confiance (écart-type connu)

Answer 31

Estime avec : 2SE

X¯ − Z(α/2) x σ/√n ≤ μ ≤ X¯ + Z(α/2) x σ/√n
Où, X¯ : moyenne
n : effectif (nombre observations)
σ : écart-type population
Z(α/2) : valeur seuil

Question 32

Z(α/2) : valeur seuil

Answer 32

Valeur Z définie intervalle de confiance
Soit intervalle où variation dû hasard
α : seuil de confiance
Calcul : α = 1 - intervalle de confiance

Question 33

Z = X¯ − μ / σ(X¯)

Answer 33

Standardisation de la moyenne d’une population
Où, X¯ : moyenne échantillons (distribution d’échantillons)
μ : moyenne population
σ(X¯) : écart-type population

Question 34

Valeur t de Student

Answer 34

Calcul : t = X¯ − μ / SE

Notation : t(dl,α/2)
Retrouve en fonction de dl et α/2 dans table de Student

Question 35

Distribution de Student

Answer 35

Permet estimer intervalle confiance lorsque écart-type population pas connu
Issu remplacement de σ(X¯) par SE
Propriété principale : plus n grand = plus incertitude interval petit
Ressemble beaucoup Normale, mais kurtosis plus fort

Vs Normale : degré de liberté (df ou dl)
Calcul : dl = n - 1
Soit, égale nombre observation moins nombre de paramètre à estimer

Puisque dl change selon effectif -> 1 distribution de Student/dl

Question 36

Intervalle de confiance (écart-type population inconnu)

Answer 36

Utilise t(dl,α/2) comme valeur seuil au lieu de Z(α/2)
Calcul : X¯ − t(dl,α/2) x S/√n ≤ μ ≤ X¯ + t(dl,α/2) x S/√n
Où : X¯ : moyenne échantillon
n : effectif (nombre observations)
S : écart-type échantillon
t(dl,α/2) : valeur seuil Student

Obtient intervalle de confiance plus grand

Question 37

Théroème contrale limite

Answer 37

Moyenne plusieurs échantillons suite toujours distribution Normale