8 - Normované a unitární prostory (základní vlastnosti a příklady, normované prostory konečné dimenze, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady)

Question 1

Lineární (vektrový) prostor, lineární závislost, dimenze a báze

Answer 1

V jistém smyslu můžeme vektorový prostor chápat jako zobecnění množiny reálných, potažmo komplexních, čísel. Podobně jako v těchto množinách je i ve vektorovém prostoru definována operace sčítání a násobení s jistými přirozenými omezeními jako asociativita apod. Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor (angl. vector). Na vektorovém prostoru je důležité, že má lineární matematickou strukturu, tzn. dva vektory lze sečíst, přičemž tento součet je opět prvkem vektorového prostoru, a totéž platí i pro násobek vektoru.

KOMUTATIVNÍ ABELOVSKÁ GRUPA
• L - neprázdná množina prvků (nazývaných body nebo vektory)
• operace + (sčítání prvků) - komutativní/abelovská grupa (komutativní, asociativní, neutrální prvek (θ - nulový vektor), inverzní prvek)
• operace * (násobení vektoru skalárem) - α - skalár - číslo z nějakého číselného tělesa T
○ ke každému skaláru α a vektoru x, kde x∈L je jednoznačně přiřazen vektor αx∈L
○ α(βx) = (αβ)x (asociativní)
○ 1x = x (identita)
○ Distributivní nad +
§ (α + β)x = αx + βx
α(x + y) = αx + αy

Lineární závislost - součet prvků z nichž alespoň jeden není 0 = 0 (αx+βy+…+λw=θ tj. prvky jsou lienárně závislé pokud se mohou navzájem vyrušit.) - aneb (1,1) a (2,2) -> lineárně závislé vektory leží v jedné přímce :)

Dimenze
Maximální počet lin. nezávislých prvků, které lze v prostoru nalézt. (dá se říci že n-tice udávají dimenzi n)
jiná definice - maximalni pocet vektoru ktere nelze vyjadrit jako kombinaci jinych vektoru

Báze prostoru
Libovolný systém n lin. nezávislých prvků v n-dimenzionálním prostoru. (prostor čtveřic je 4-dimenzionální a báze jsou (0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (1,0,0,0) - neexistují skaláry kterými můžeme vynásobit a získáme (0,0,0,0)

ortogonalni = kolmé, např. (0, x), (4,4), (-2, 2)
ortonormalni = kolmé + normalizované - jen 0 a 1, -1 (0, 1), (1, 1), (1,-1)

Normovaný prvek (normovaný vektor)
Prvek pro který platí ‖x‖=1
Každý vektor lze normovat jeho vynásobením 1/‖x‖

Question 2

Normovaný lineární prostor

Answer 2

Normovaný lineární prostor nebo normovaný vektorový prostor je v matematice takový lineární prostor, ve kterém je každému vektoru x přiřazeno reálné číslo - norma - vyjadřující délku vektoru x, t. j. na daném lineárním prostoru je definováno zobrazení x→‖x‖. Pro normu vektoru x, označovanou ‖x‖, musí platit následující 3 vlastnosti:

Question 3

vlastnosti normovaného lineárního prostoru, norma v klasickém vektorovém prostoru

Answer 3

1. (∀x:‖x‖≥0)∧(‖x‖=0⟺x=0 ⃗ )
   
   2. ‖αx‖=|α|‖x‖ (homogenita)
      
      3. ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ (trojúhelníková nerovnost)

Norma je v klasickém vektorovém prostoru = délka vektoru
• ‖x_1,x_2,…,x_n ‖=√(x_1^2+x_2^2+…+x_n^2 )
Každý normovaný prostor je metrický (ϱ(x,y)=‖x−y‖)

Question 4

Unitární prostor a skalární součin

Answer 4

Takový prostor kde je definován skalární součin ( zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, definováno jako V x V -> R nebo Skalární součin se definuje mezi dvěma vektory a zachycuje vztah mezi velikostí vektorů a jejich úhlem.)

V případě, že je na lineárním prostoru definována norma shodná s normou definovanou pomocí skalárního součinu, nazývá se daný lineární prostor prostorem unitárním

• Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je
	○ a⋅b=|a||b|  cos⁡α=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3=1⋅4+2⋅5+3⋅6=32

Úplný - Banachův
Úplný unitární prostor = Hilbertův (Nezapomenout, že na úplném metrickém prostoru konverguje Cauchyovská posloupnost. )

Reálný unitární prostor bývá také označován jako prostor se skalárním součinem.
Prostory se skalárním součinem, které mají konečnou dimenzi, bývají označovány jako euklidovské prostory.

Question 5

Eukleidovský prostor

Answer 5

Unitární prostor (definovaný skalární součin) s konečnou dimenzí

Eukleidovský prostor je, historicky vzato, prostor splňující Eukleidovy axiomy. Laicky řečeno jedná se o běžný prostor, v kterém jsme zvyklí vytvářet si svoje geometrické představy. Pojem eukleidovského prostoru tak přešel z geometrie do fyziky i do algebry.

V lineární algebře se obvykle definuje jako konečněrozměrný unitární prostor nad množinou reálných čísel.

Eukleidovský prostor dimenze n se obvykle značí E_n.
Eukleidovský prostor je unitární prostor, a proto je na něm definován skalární součin.
Zavedeme-li v n-rozměrném eukleidovském prostoru kartézskou soustavu souřadnic, pak vzdálenost d mezi dvěma body X a Y o souřadnicích (x_1,x_2,…,x_n ),(y_1,y_2,…,y_n) je určena vztahem odmocina(suma (xi-yi)^2)

Question 6

Úplné unitární prostory, Fourierovy řady

Answer 6

Zobecnění vyjádření prvku unitárního prostoru v prostorech s nekonečnou dimenzí
Fourierovy koeficienty
• φ_1,φ_2,… je ortonormální systém v unitárním proostru nekonečné dimenze.
• Každý prvek f lze vyjádřit jako řadu Fourierových koeficientů c tak, že platí
f=∑_(k=1)^∞▒〖c_k φ_k 〗, kde c_k=(x,φ_k)

n-tý fourierův polynom
• Je n-tý částečný součet fourierovy řady
• ∑_(k=1)^n▒〖c_k φ_k 〗

Fourierova řada
• Řada fourierových polynomů (posloupnost částečných součtů)

Polopatě:
ve vektorovych prostorech ktere maji nejakou bazi je kazdy vektor mozné vyjadrit jako fourierovu radu, kde jsou nejake prvky te baze vynasoboene koeficientama (fourierovy koeficienty)

např. bazi (1,0,0) a (0,1,0) a (0,0,1) a vektor (3,4,5)
-> jako fourierovu rada => 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 5*(0,0,1)

to je suma Ck*Ek …k-teho koeficientu a k-teho prvku baze