4- Estimation Par Intervalles De Confiance Flashcards
Échantillon représentatif
Obtenu par tirage au sort des individus dans la population source
Défini par le mode de constitution et non par les résultats obtenus
Constitution d’un échantillon représentatif
Pour être représentatif, l’échantillon doit être fait de telle façon que rien ne permette de penser que l’inclusion ou non d’une personne est liée aux variables étudiées
=> tirage au sort dans la population
Estimation d’un paramètre
Valeur qui approximative la «vraie» valeur
Cette estimation doit avoir des qualités :
- estimateur sans biais
- convergent
Estimation ponctuelle et par intervalle
Estimateur
Définition
Tn fonction des variables observée
Tn(X1, X2, …, X3)
Théorème central limite
Mn : estimation de la moyenne d’un variable aléatoire X, à partir d’un échantillon de taille n
Quelle que soit la loi d’une variable aléatoire X, la loi de Mn suit une loi normale quand n est grand
Théorème central limite
Pour une variable quantitative
X a pour moyenne μ et pour variance σ^2
La moyenne estimée de X à partir d’un échantillon de taille n est Mn = (Somme pour tout i (Xi))/n
Cette moyenne estimée Mn suit une loi normale
L’espérance de cette moyenne estimée est E(Mn)=μ
La variance de cette moyenne estimée est inférieure à la variance deX, pour n suffisamment grand :
Var(Mn)=σ^2/n
Théorème central limite
Pour une variable binaire
X a pour moyenne π et pour variance π(1-π)
La moyenne estimée de X à partir d’un échantillon de taille n est
Pn=(Somme pour tout i (Xi))/n
Cette moyenne estimée Pn suit une loi normale
L’espérance de cette moyenne estimée est E(Pn)=π
La variance de cette moyenne estimée est inférieure à la variance deX, pour n suffisamment grand :
Var(Pn)=(π(1-π))/n
Théorème central limite
Conditions d’application
…
Qualités d’un estimateur
Sans biais : valeurs obtenues dans un grand nombre d’échantillons de taille n sont en moyenne égales à la vraie valeur θ
E(Tn)=θ
Convergent : valeurs obtenues de plus en plus regroupées autour de la vraie valeur θ quand n augmente (sa variance tend vers 0)
E(Tn-θ)^2–>0 quand n-> +inf
