2. Cálculo Integral e Análise Vetorial Flashcards
Quais são as condições das transformações para as coordenadas polares?
x = r.cosθ y = r.sinθ
r ≥ 0 e θ entre [0, 2π]
Que faz corresponder o ponto (x,y) = (r.cosθ, r.sinθ)
A mudança de coordenadas afeta a Jacobiana das funções em causa?
Não. O jacobiano não se anula.
Quais são as condições das transformações para as coordenadas cilíndricas?
x = r.cosθ y = r.sinθ z = z
r ≥ 0 e θ entre [0, 2π]
com r = √(x^2 + y^2)
O que corresponde ao ponto (x,y,z) = (r.cosθ, r.sinθ, z)
Quais são as condições das transformações apara as coordenadas esféricas?
x = ⍴.cosθ.sinφ y = ⍴.sinθ.sinφ z = ⍴.cosφ
com ⍴ = √(x^2 + y^2 + z^2)
⍴ ≥ 0; θ entre [0, 2π] e φ entre [0, π]
θ é a amplitude do ângulo orientado desde o semieixo positivo xx à semirreta que parte da origem e passa pela projeção de um ponto P no plano xOy.
φ é a amplitude do ângulo entre o semieixo positivo dos zz e a semirreta que parte da origem e passa pelo ponto P.
O vector ∂r∂u(u0,v0)×∂r∂v(u0,v0), caso não se anule, é perpendicular a uma curva contida em S no ponto P0.
Sim.
As derivadas de r em (u0,v0), ∂r∂u(u0,v0) e ∂r∂v(u0,v0), caso não se anulem, não são declives de rectas perpendiculares a curvas contidas em S.
Sim.
Como é dada a parametrização de uma circunferência de centro no ponto (c1,c2) e raio r?
x = c1 + r.cost y = c2 + r.sint
com t entre [0, 2π]
Qual é a projeção da seguinte curva no plano xOy?
𝛄(t) = (cost, sint, t)
É uma curva com a seguinte equação:
𝛄(t) = (cost, sint)
Se a curva é dada por uma equação cartesiana da forma y = f(x), t ∈ [a,b], ou seja, é o gráfico de uma função f de uma variável real, fazendo x = t, y = f(t), obtém-se uma parametrização γ(t) = (t,f(t)), t ∈ [a,b].
Sim
Uma reta vertical, defnida por x = x0, pode ser parametrizada por γ(t) = (x0, t), t ∈ R, e uma reta horizontal, definida por y = y0, pode ser parametrizada por γ(t) = (t, y0), t ∈ R.
Sim
Parametrização de uma elipse?
((x-x0)^2)/a^2 + ((y-y0)^2)/b^2 = 1
é dada por:
γ(t)=(x0 +a.cost, y0 +b.sint) onde t∈[0,2π],
Coordenadas cilindricas são as coordenadas polares no espaço?
Yup.
Divergente?
div (F) = ∇ . F
É a derivada em x,y e z de cada uma das componentes do vetor.
Respetivamente ou seja, x em f1, y em f2 e z em f3.
Rotacional?
rot (F) = ∇ x F
Campos Conservativos?
Este nome vem do facto de haver um certo tipo de energia que é conservada por estes campos vetoriais. Uma consequência importante é que para mover um corpo de um ponto para outro por acção de um destes campos não importa o caminho que se percorre desde o ponto inicial até ao ponto final. Por esta razão, também se chamam independentes do caminho.
Se F for conservativo o que podemos dizer sobre o seu rotacional?
Que é zero.
Se F for um campo vetoria de classe C2 então F é conservativo se e só se?
O rotacional for igual a zero.
Se F é um campo vetorial de Classe C1 definido num paralelipipedo aberto U num espaço tridimensional, então F é um campo rotacional se e só se?
div(F) = 0 em U
No plano o rotacional é semper um escalar?
Sim.
cos(2t) = cos2(t) - sen2(t)
Sim.
Como se pode comparar os integrais definidos com os integrais de linha?
Os integrais de linha são integrais definidos, mas o domínio de integração passa a ser de uma curva parametrizada.
O que torna uma curva parametrizada, uma curva parametrizada simples?
Uma curva parametrizada diz-se simples se for injectiva ou apenas coincidir em dois pontos: a origem e a extremidade.
Ou seja, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio.
Quais são as características de uma curva regular?
Uma curva diz-se regular se todos os seus pontos são regulares e diz-se suave se é de classe C∞.
O que torna um ponto de uma curva regular?
Um ponto γ(t0) de uma curva é um ponto regular se γ′(t0) existe e é não nulo; senão diz-se ponto singular de γ.
Ou seja, a derivada da curva γ tem de ser não nula num dado ponto.
O valor de um integral de linha de uma função escalar é independente da parametrização usada para a curva?
Sim, porque resulta da definição da derivada composta.
Como se verifica se um dado campo vetorial F é ou não conservativo?
Um campo vetorial F diz-se conservativo se existir uma função escalar f cujo gradiente é F, ou seja, ∇f = F. Neste caso, a função f diz-se um potencial associado ao campo vetorial F.
É a curva de nível da função f associada ao nível c. Recorde também o teorema da função implícita.
Pode sair assim qualquer coisa a relacionar os dois.
