2. Cálculo Integral e Análise Vetorial

Question 1

Quais são as condições das transformações para as coordenadas polares?

Answer 1

x = r.cosθ
y = r.sinθ

r ≥ 0 e θ entre [0, 2π]

Que faz corresponder o ponto (x,y) = (r.cosθ, r.sinθ)

Question 2

A mudança de coordenadas afeta a Jacobiana das funções em causa?

Answer 2

Não. O jacobiano não se anula.

Question 3

Quais são as condições das transformações para as coordenadas cilíndricas?

Answer 3

x = r.cosθ
y = r.sinθ
z = z

r ≥ 0 e θ entre [0, 2π]

com r = √(x^2 + y^2)

O que corresponde ao ponto (x,y,z) = (r.cosθ, r.sinθ, z)

Question 4

Quais são as condições das transformações apara as coordenadas esféricas?

Answer 4

x =  ⍴.cosθ.sinφ
y = ⍴.sinθ.sinφ
z = ⍴.cosφ

com ⍴ = √(x^2 + y^2 + z^2)

⍴ ≥ 0; θ entre [0, 2π] e φ entre [0, π]

θ é a amplitude do ângulo orientado desde o semieixo positivo xx à semirreta que parte da origem e passa pela projeção de um ponto P no plano xOy.

φ é a amplitude do ângulo entre o semieixo positivo dos zz e a semirreta que parte da origem e passa pelo ponto P.

Question 5

O vector ∂r∂u(u0,v0)×∂r∂v(u0,v0), caso não se anule, é perpendicular a uma curva contida em S no ponto P0.

Answer 5

Sim.

Question 6

As derivadas de r em (u0,v0), ∂r∂u(u0,v0) e ∂r∂v(u0,v0), caso não se anulem, não são declives de rectas perpendiculares a curvas contidas em S.

Answer 6

Sim.

Question 7

Como é dada a parametrização de uma circunferência de centro no ponto (c1,c2) e raio r?

Answer 7

x = c1 + r.cost
y = c2 + r.sint

com t entre [0, 2π]

Question 8

Qual é a projeção da seguinte curva no plano xOy?

𝛄(t) = (cost, sint, t)

Answer 8

É uma curva com a seguinte equação:

𝛄(t) = (cost, sint)

Question 9

Se a curva é dada por uma equação cartesiana da forma y = f(x), t ∈ [a,b], ou seja, é o gráfico de uma função f de uma variável real, fazendo x = t, y = f(t), obtém-se uma parametrização γ(t) = (t,f(t)), t ∈ [a,b].

Answer 9

Sim

Question 10

Uma reta vertical, defnida por x = x0, pode ser parametrizada por γ(t) = (x0, t), t ∈ R, e uma reta horizontal, definida por y = y0, pode ser parametrizada por γ(t) = (t, y0), t ∈ R.

Answer 10

Sim

Question 11

Parametrização de uma elipse?

Answer 11

((x-x0)^2)/a^2 + ((y-y0)^2)/b^2 = 1

é dada por:

γ(t)=(x0 +a.cost, y0 +b.sint) onde t∈[0,2π],

Question 12

Coordenadas cilindricas são as coordenadas polares no espaço?

Answer 12

Yup.

Question 13

Divergente?

Answer 13

div (F) = ∇ . F

É a derivada em x,y e z de cada uma das componentes do vetor.

Respetivamente ou seja, x em f1, y em f2 e z em f3.

Question 14

Rotacional?

Answer 14

rot (F) = ∇ x F

Question 15

Campos Conservativos?

Answer 15

Este nome vem do facto de haver um certo tipo de energia que é conservada por estes campos vetoriais. Uma consequência importante é que para mover um corpo de um ponto para outro por acção de um destes campos não importa o caminho que se percorre desde o ponto inicial até ao ponto final. Por esta razão, também se chamam independentes do caminho.

Question 16

Se F for conservativo o que podemos dizer sobre o seu rotacional?

Answer 16

Que é zero.

Question 17

Se F for um campo vetoria de classe C2 então F é conservativo se e só se?

Answer 17

O rotacional for igual a zero.

Question 18

Se F é um campo vetorial de Classe C1 definido num paralelipipedo aberto U num espaço tridimensional, então F é um campo rotacional se e só se?

Answer 18

div(F) = 0 em U

Question 19

No plano o rotacional é semper um escalar?

Answer 19

Sim.

Question 20

cos(2t) = cos2(t) - sen2(t)

Answer 20

Sim.

Question 21

Como se pode comparar os integrais definidos com os integrais de linha?

Answer 21

Os integrais de linha são integrais definidos, mas o domínio de integração passa a ser de uma curva parametrizada.

Question 22

O que torna uma curva parametrizada, uma curva parametrizada simples?

Answer 22

Uma curva parametrizada diz-se simples se for injectiva ou apenas coincidir em dois pontos: a origem e a extremidade.

Ou seja, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio.

Question 23

Quais são as características de uma curva regular?

Answer 23

Uma curva diz-se regular se todos os seus pontos são regulares e diz-se suave se é de classe C∞.

Question 24

O que torna um ponto de uma curva regular?

Answer 24

Um ponto γ(t0) de uma curva é um ponto regular se γ′(t0) existe e é não nulo; senão diz-se ponto singular de γ.

Ou seja, a derivada da curva γ tem de ser não nula num dado ponto.

Question 25

O valor de um integral de linha de uma função escalar é independente da parametrização usada para a curva?

Answer 25

Sim, porque resulta da definição da derivada composta.

Question 26

Como se verifica se um dado campo vetorial F é ou não conservativo?

Answer 26

Um campo vetorial F diz-se conservativo se existir uma função escalar f cujo gradiente é F, ou seja, ∇f = F. Neste caso, a função f diz-se um potencial associado ao campo vetorial F.

Question 27

É a curva de nível da função f associada ao nível c. Recorde também o teorema da função implícita.

Answer 27

Pode sair assim qualquer coisa a relacionar os dois.