1. Funções vetoriais de várias variáveis

Question 1

O que é uma função escalar?

Answer 1

Uma função que define topologias, por exemplo. Retornam apenas um valor, ou seja:

Df = Rn - R

f(x,y) = 1/x^2 + y^2

Question 2

O que é uma função vetorial?

Answer 2

Funções que além de receberem vários números reais também produzem como resultado vários números reais que são apresentados, geralmente, na forma de vetor.

Df = Rn - Rm

Question 3

Ponto de Acumulação?

Answer 3

É a puta de um ponto que nos limites do domínio está contido +x ou -x para lá do ponto que escolher-mos.

Isto é se tiveres este domínio: ]-2,4]

O 4 é fechado mas do seu lado esquerdo (4-) há pontos de acumulação.

Question 4

No cálculo do limite numa função vetorial, se um deles não existe compromete a existência de limite?

Answer 4

Sim

Question 5

Uma função vetorial é continua num ponto do seu domínio se e só se?

Answer 5

Se e só se todas as suas funções coordenadas são contínuas nesse ponto.

Question 6

O que se pode concluir sabendo que uma função escalar, de duas variáveis, é diferenciável num ponto no interior do seu domínio?

Answer 6

Então existem as derivadas parciais, logo existe o vetor gradiente.

Question 7

Que condições são necessárias para uma função ser diferenciável num ponto P, pertencente ao domínio da função?

Answer 7

• Existirem derivadas parciais no ponto P.

- E o limite (h,k) = 0

Question 8

O que se conclui sobre uma função de várias variáveis diferenciável num ponto P?

Answer 8

É contínua nesse ponto e admite derivada segundo qualquer vetor não nulo:

Duf(p) = ∇f(p) · u.

Question 9

Funções de Classe 1?

Condição suficiente de Diferenciabilidade?

Answer 9

Um função é de classe Ck num conjunto D, escreve-se Ck(D) se todas as derivadas parciais até à ordem k são contínuas nesse conjunto. Uma função contínua é de classe C0(D) e uma função de classe C∞(D) diz-se infinitamente diferenciável.

Seja f : D ⊆ Rn → R uma função definida num conjunto aberto D. Se f tem derivadas parciais contínuas em todos os pontos de D (i.e, se f é de classe C1 em D) então f é diferenciável em D.

De acordo com o teorema anterior, são exemplos de funções diferenciáveis, entre outras, as funções constantes, as funções polinomiais, as funções trigonométricas, as funções logaritmo e exponencial e todas as composições destas funções, quando definidas num conjunto aberto.

Ou seja, uma função de classe 1, tem as suas primeiras derivadas parciais todas contínuas num conjunto D.

Question 10

O que se pode concluir se as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de multiplas variáveis (escalar) são contínuas?

E se x,y e z variam em pequenas quantidades? Ou seja em infinitesimais?

Answer 10

O diferencial total dá uma boa aproximação da variação de f.

Question 11

O que é o diferencial total de uma função?

Answer 11

O diferencial total de f mede a variação da função quando nos movermos do ponto (x0,y0) para
um ponto próximo (x0 +∆x, y0 +∆y). Sendo dx=x−x0 e dy=y−y0 os diferenciais (quer dizer, variações infinitesimais) de x e de y, o diferencial total de f é

df = fxdx + fydy.

Question 12

Se as derivadas parciais forem continuas, será que só assim se conclui que se pode usar o diferencial para se fazer uma aproximacao da variacao de f?

Answer 12

Não sei

Question 13

Como se testa a diferenciabilidade de uma função vetorial?

Answer 13

Com a matriz Jacobiana.

Se a função vetorial é diferenciável em P (um ponto interior ao domínio), então as funções coordenadas da função vetorial são todas diferenciáveis em P.

Question 14

A matriz Jacobiana serve para que tipo de funções de multiplas variáveis?

Answer 14

Vetoriais.

Question 15

ε(v)?

Answer 15

Uma função que converge para zero quando a norma de v também converge para zero.

Question 16

Como se calculam os limites direcionais em funções escalares?

E o limite trajectorial?

Answer 16

Calculando o limite com y=mx (direcional)

Calculando o limite com y=x^2 (trajectorial)

Question 17

Condições necessárias para a não existência de limite em funções escalares definidas por ramos?

Answer 17

Para isso, basta mostrar que existe um conjunto de pontos do domínio da função, usualmente uma curva (a que também chamamos trajeto ou caminho), ao longo do qual o limite não existe, ou dois caminhos ao longo dos quais os limites calculados, tenham valores diferentes.

Ou seja, se ao calcular o limite direcional (reta) concluir-mos que não existe limite nesse caminho.

Se por acaso esse limite existir, temos de encontrar um outro caminho e se esse também existir eles têm de ser diferentes para não haver limite.

Question 18

Quanto é o limite do produto de uma função limitada por uma função cujo limite dê zero?

Answer 18

É zero.

Question 19

Quando devemos usar a regra da cadeia?

E a notação matricial?

Answer 19

Usamos a regra da cadeia para calcular poucas derivadas, usamos a notação matricial para calcular todas.

Question 20

Quando é que uma função vetorial é contínua num ponto?

Answer 20

É contínua num ponto se e só se as suas funções coordenadas, as funções escalares, são contínuas nesse ponto.

O mesmo se passa com o cálculo de limites, pois basta calcular o limite de cada uma das funções coordenadas. Vejamos alguns exemplos.

Question 21

Dizemos que f é contínua no ponto (a,b)∈Df se para quaisquer sucessões (xn), (yn) de pontos de Df tivermos que (xn, yn)→(a,b) implica que f(xn, yn)→f(a,b)?

Verdadeiro ou Falso?

Answer 21

Verdadeiro.

Question 22

Regra de L’Hospital?

Answer 22

Usado em limites zero sobre zero.

f(x)/g(x) = f’(x)/g’(x)

Question 23

Significado físico de um derivada parcial?

Answer 23

Para uma função real de duas variáveis f, uma derivada parcial pode ser interpretada como o declive de uma reta tangente a uma linha que se obtém intersetando o gráfico da função com um plano paralelo a um plano coordenado.

Assim, por exemplo, a derivada parcial em relação a x

∂f∂x(a,b)

Dá-nos o declive da reta tangente à linha de interseção do gráfico de f com o plano de equação y=b no ponto (a,b,f(a,b)).

Question 24

Sendo uma função escalar diferenciável, o que podemos concluir à cerca dos caminhos que podemos tomar no calculo de limites?

Answer 24

Sendo a função diferenciável, podemos aproximar-nos não só em linha reta mas por qualquer caminho, que não vamos encontrar os tais “pontos angulosos”.

Ser diferenciável em (a,b) significa em rigor que admite plano tangente no ponto (a,b,f(a,b)).

Question 25

Uma função escalar ser diferenciável é equivalente a que noção espacial?

Answer 25

Um plano tangente nesse ponto.

Question 26

Demonstrar que uma função escalar é diferenciável?

Answer 26

Para mostrar que a função f é diferenciável no ponto (x0,y0) basta mostrar que as derivadas parciais no ponto existem e que o limite (não pus aqui porque é uma formula complexa) é igual a zero.

Question 27

Como mostramos que uma função não é diferenciável?

Answer 27

Para mostrar que não é diferenciável basta mostrar que uma derivada parcial não existe, que uma derivada direcional não existe ou que este limite não tem valor zero.

Question 28

A diferenciabilidade implica continuidade, mas continuidade não implica diferenciabilidade?

Answer 28

Verdade.

Question 29

No cálculo da continuidade de uma função escalar, quais são as condições necessárias para que a função seja contínua?

Answer 29

Que o limite nesse ponto exista e que seja igual ao valor no domínio da função nesse ponto.

Para provar que não é contínua, basta que os limites, por diferentes caminhos deem valores diferentes ou que sejam iguais entre si, mas não iguais ao valor da função nesse ponto.

Question 30

Além de caminhos como y=mx e y=x^2, que mais pode ser usado como caminho para comprovar que o limite não existe?

(No cálculo de limites de funções escalares)

Answer 30

Caminhos como x = 0 e x = y

Question 31

Na determinação da diferenciabilidade de funções vetoriais se uma de das funções coordenadas não existir uma ou as duas derivadas parciais que se concluí sobre a diferenciabilidade dessa função?

Answer 31

Não é diferenciável nesse ponto.

Question 32

Que condição é necessária para se fazer uma apróximação linear?

Answer 32

A função vetorial tem de ser diferenciável.

Question 33

Fórumla da Apróximação Linear?

Answer 33

f(p + v) = f(p) + Jf(p)v,

tal que v é o que é preciso somar a p para se obter o ponto a que se quer chegar.

Question 34

Jacobiana?

Answer 34

Primeira linha as derivadas da primeira coordenada em x em y e em z.

Question 35

A função f é diferenciável em todos os pontos deste conjunto porque ambas as funções coordenadas são diferenciáveis em D, uma vez que as suas derivadas parciais de primeira ordem são funções contínuas em D.

Que Teorema é este?

Answer 35

Teorema da Condição Necessária de Diferenciabilidade:

Desde que a uma função definida num conjunto aberto D tiver derivadas parciais contínuas em todos os pontos de D (i.e, se f é de classe C1 em D) então f é diferenciável em D.

Ou seja, uma função de classe 1, tem as suas primeiras derivadas parciais todas contínuas num conjunto D.

Question 36

Funções Implicitas? Um exemplo simples?

Answer 36

De uma função definida em x,y tal que:

x^2 + y^2 = 1, a qual define uma circumferência de raio 1.

Podemos, num ponto (a,b), restringir o domínio da função de tal modo que a função restrita seja do tipo:

y = f(x)

Question 37

Curva de Nível?

Answer 37

É o output de uma função de duas variáveis num certo k. É o contorno da função, que assume uma forma qualquer nesse valor de k.

Question 38

Teorema das Funções Implícitas?

Quais são as quatro condições?

O que implicam essas quatro condições?

Answer 38

1ª: Função de Classe L, com L ≥ 1.

2ª: Ponto (x0,y0) pertencente ao int(D) que pertence
à curva de nível k.

3ª: F(x0,y0) = k.

4ª: Se a derivada parcial de F em função de y no ponto (x0,y0) for diferente de zero.

Se estas quatro condições forem cumpridas, então:

• Existe uma função de Classe L, tal que F(x,f(x)) = k.
• f(x0) = y0.
• A derivada de f(x) em x0 é igual á divisão das derivadas parciais de F(x,y) no ponto (x0,y0).

Question 39

Neste tipo de perguntas que teorema usamos?

Mostre que existe uma função real de variável real (y = f(x)) de classe 1 definida num intervalo contendo a origem que verifica uma equação F(x,y)?

Answer 39

O teorema das funções implícitas.

Question 40

Função de Classe k?

Answer 40

Um função é de classe Ck num conjunto D, escreve-se Ck(D) se todas as derivadas parciais até à ordem k são contínuas nesse conjunto.

Uma função contínua é de classe C0(D) e uma função de classe C∞(D) diz-se infinitamente diferenciável.

Question 41

O teorema da função implícita tem as mesmas condições para mais que uma variável implícita?

Answer 41

Sim respeita e mantém as mesmas condições, apenas depende da variável que queremos isolar.

Question 42

A derivada no ponto (x0,y0,z0) no teorema da função implícita de multiplas variáveis é sempre em função da variável que queremos escrever de maneira implícita?

Answer 42

Sim, por exemplo, de uma função que depende de x,y e z, queremos saber se conseguimos escrever-la em função de z.

Então a derivada parcial de F(x,y,z) no ponto (x0,y0,z0) vai ser em função de z.

Question 43

O número de colunas é igual ao número de variáveis na matriz Jacobiana de uma função escalar?

Answer 43

Sim

Question 44

Como se calcula o gradiente de uma função escalar de multiplas variáveis?

O que retorna o gradiente?

Answer 44

O gradiente de uma função escalar é dado pelas derivadas parciais em função das incógnitas que a função tiver.

Retorna um vetor.

Question 45

O que implica usar a fórmula da derivada composta? Em termos do que se exige que as funções escalares sejam?

Answer 45

Que sejam diferenciáveis.

Question 46

Seja h2, a função coordenada 2 de h. O gradiente de h2 em a, ∇h2(a), é a entrada (2,2) da matriz Jh(a)?

Answer 46

Não, o vetor gradiente é toda a linha, ou seja, as entradas (1,2) e (2,2).