Глава 12. Поверхности второго порядка Flashcards
Поверхность вращения
Поверхность вращения - это поверхность, образованная окружностями с центрами на некоторой прямой L, которые расположены в плоскостях, перпендикулярных L.
Уравнение поверхности, образованной вращением
Уравнение поверхности, образованной вращением, имеет такой вид (по сути, это уравнение, достаточное для однозначного определения множества точек, которое и является поверхностью):
φ(±√(x²+y²), z)=0.
Преобразование сжатия к координатной плоскости Oxz
Преобразование сжатия к координатной плоскости Oxz - это такое преобразование, при котором точка M(x; y; z) смещается в точку M’(x; y/k; z), причем параметр k называют коэффициентом сжатия.
Эллипсоид вращения. Каноническое уравнение эллипсоида вращения
Эллипсоид вращения - это поверхность второго порядка, которая получается при вращении эллипса вокруг одной из его осей симметрии. Эллипсоидом вращения является эллипсоид общего вида, если у него равны две полуоси.
Каноническое уравнение эллипсоида - это уравнение, задающее эллипсоид и имеющее вид
x²/a² + y²/a² + z²/b² = 1.
Эллипсоид общего вида. Каноническое уравнение эллипсоида общего вида
Эллипсоид общего вида - это эллипсоид, который получается преобразованием сжатия эллипсоида вращения к плоскости, в которой находится вращаемый эллипс.
Каноническое уравнение эллипсоида - это уравнение, задающее эллипсоид и имеющее вид
x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1.
Полуоси эллипсоида
Полуоси эллипсоида - это три константы из канонического уравнения эллипсоида, на которые делятся соответственно x, y, z и которые равны половине расстояния от центра эллипсоида до его противоположенных вершин.
Трехосный эллипсоид
Трехосный эллипсоид - это эллипсоид, три полуоси которого попарно различны.
Гиперболоид вращения (определение+виды). Уравнения гиперболоидов вращения
Гиперболоид вращения - это поверхность второго порядка, получающаяся путем вращения гиперболы вокруг одной из её осей симметрии.
Двуполостный гиперболоид вращения - это гиперболоид вращения, состоящий из двух “полостей”, которые получаются, если вращать гиперболу относительной её действительной оси симметрии.
Однополостный гиперболоид вращения - это гиперболоид вращения, состоящий из одной “полости”, и получающийся путем вращения вокруг мнимой оси вращаемой гиперболы.
Уравнения гиперболоидов вращения:
1) двуполостный (“-“ стоит, так как вращение вокруг мнимой оси гиперболы можно заменить вращением сопряжённой ей вокруг действительной оси):
x²/a² + y²/a² - z²/b² = - 1.
2) однополостный
x²/a² + y²/a² - z²/b² = 1.
Однополостный (двуполостный) гиперболоид общего вида. Канонические уравнения гиперболоидов общего вида
Однополостный (двуполостный) гиперболоид общего вида - это однополостный (двуполостный) гиперболоид вращения, получаемый преобразованием сжатия к координатной плоскости (обычно к Oxz), в которой находилась вращаемая гипербола. Причем коэффициент, с которым сжимается гиперболоид, называется коэффициентом сжатия.
Канонические уравнения гиперболоидов общего вида:
1) двуполостный
x²/a² + y²/b² - z²/c² = - 1.
2) однополостный
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1.
Параболоид вращения (определение+уравнение)
Параболоид вращения - это поверхность второго порядка, получаемая вращением параболы вокруг её оси симметрии. Параболоид вращения задается уравнением
2pz = x² + y².
Эллиптический параболоид
Эллиптический параболоид - это поверхность второго порядка, получаемая преобразованием сжатия некоего параболоида вращения к плоскости, в которой находилась вращаемая парабола. Каноническое уравнение эллиптического параболоида
x²/a² + y²/b² = 2z.
Прямой круговой конус
Прямой круговой конус - это поверхность второго порядка, образуемая прямой, пересекающейся с осью вращения.
Каноническое уравнение прямого кругового конуса имеет вид
x²/a² + y²/a² - z²/c² = 0.
Вершина конуса
Вершина конуса - это точка пересечения вращаемой прямой, остающаяся неподвижной в пространстве.
Эллиптический конус
Эллиптический конус - это конус, получаемый преобразованием сжатия некоего прямого кругового конуса к координатной плоскости (обычно к Oxz), в которой лежала вращаемая прямая. Причем коэффициент, с которым происходит сжатие, называется коэффициентом сжатия.
Каноническое уравнение эллиптического конуса имеет вид
x²/a² + y²/b² - z²/c² = 0.
Круговой цилиндр
Круговой цилиндр - это поверхность, образуемая вращением прямой вокруг оси вращения, параллельной данной.
Цилиндрическая поверхность
Цилиндрическая поверхность - это поверхность, которая образуется при движении прямой параллельно самой себе в пространстве.
Направляющая цилиндрической поверхности
Направляющая цилиндрической поверхности - это кривая, которую описывают все точки перемещаемой параллельно себе прямой.
Образующие цилиндрической поверхности
Образующие цилиндрической поверхности - это параллельные прямые, являющиеся промежуточными положениями перемещающейся параллельно себе прямой и образующей цилиндрическую поверхность.
Цилиндр второго порядка
Цилиндр второго порядка - это цилиндрическая поверхность, направляющая которой в плоскости, перпендикулярной образующим, представляет собой кривую второго порядка.
Эллиптический цилиндр второго порядка (определение + уравнение)
Эллиптический цилиндр второго порядка - это цилиндр, имеющий в качестве образующей эллипс. Каноническое уравнение
x²/a² + y²/b² = 1.
Гиперболический цилиндр второго порядка (определение + уравнение)
Гиперболический цилиндр второго порядка - это цилиндр, имеющий в качестве образующий гиперболу. Каноническое уравнение
x²/a² - y²/b² = 1.
Параболический цилиндр второго порядка (определение + уравнение)
Параболический цилиндр второго порядка - это цилиндр, задаваемый уравнением y² = 2px.
Метод сечений
Метод сечений - это метод, заключающийся в анализе пересечений поверхности с плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Например, с плоскостями вида z=c, где параметр c пробегает все действительные значения. Для каждого значения c существует свое пересечение, являющееся кривой второго порядка, благодаря чему можно составить представление о форме поверхности.
Гиперболический параболоид
Гиперболический параболоид - это поверхность второго порядка, задаваемая уравнением
x²/a² - y²/b² = 2z.
Полное уравнение поверхности второго порядка
Полное уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0,
где хотя бы один из коэффициентов от A до F не нулевой. В нашем курсе мы рассматриваем только уравнения, задаваемые без слагаемых, содержащих произведение разных координат.
