1. Определители и их свойства

Question 1

Матрица. Краткая запись

Answer 1

Матрица - это прямоугольная таблица чисел или элементов. У матрицы есть строки и столбцы.

Если размер матрицы известен, то часто пишут A = (aij).

Question 2

Равные матрицы

Answer 2

Равные матрицы - это матрицы, имеющие одинаковый размер и равные элементы в одинаковых позициях.

Question 3

Определитель матрицы A

Answer 3

Определитель матрицы - это одна из основных характеристик квадратной матрицы. Обозначается |A|.

Question 4

Определитель матрицы первого порядка

Answer 4

Определитель матрицы первого порядка равен её единственному элементу.

Question 5

Формула определителя матрицы второго порядка

Answer 5

Формула:
|A| = a11a22 - a12a21

Question 6

Определитель матрицы 3-го порядка

Answer 6

Определитель матрицы 3-го порядка считается при помощи метода треугольников:
|A|=a11a22a33 + a31a12a23 + a13a21a32 - a13a22a31 - a33a21a12 - a11a32a23

Question 7

Свойства определителей

Answer 7

1. Если опр. содержит нулевую строку/столбец, её опр. равен нулю.
2. Если поменять местами две строки/столбца м., опр. поменяет знак (а по модулю останется тем же).
3. Общий множитель любой строки/столбца м. можно вынести за знак определителя.
4. Если к строке опр. прибавить другую строку/столбец, умноженную на число, опр. не изменится.
5. Если две строки/столбца опр. пропорциональны, определитель равен нулю.
6. При транспортировании (когда строки становятся столбцами) опр. не меняется.
7. Опр. трейгольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Question 8

Дополнительный минор элемента

Answer 8

Дополнительный минор элемента aij (обозначается Mij) - это определитель матрицы порядка n-1, которая получается из матрицы n-го порядка вычёркиванием эелементов i-й строки и j-го столбца.

Question 9

Алегбраическое дополнение. Связь между алгебраическим дополнением и элементом.

Answer 9

Алгебраическое дополнение Аij эл-а aij в определителе |A| - это число, равное
Aij = ((-1)^(i+j))×Mij.

Алгебраическое дополнение Aij эл-а aij зависит только от его позиции в матрице А. При замене эл-а aij на любое другое число, алгебраическое дополнение не изменится.

Question 10

Определитель матрицы n-го порядка (с алг. доп-м и без)

Answer 10

Определитель квадратной матрицы равен сумме попарных произведений элементов произвольного столбца на их алгебраические дополнения.
Без:
Определитель матрицы n-го порядка - это число, равное
D = Σ( ((-1)^(i+j)) × aij × Mij )
(снизу Σ стоит i=1, сверху - n).

С:
Определитель матрицы n-го порядка - это число, равное
D = Σ aij × Aij
(снизу Σ стоит i=1, сверху - n).