Глава 11. Кривые второго порядка Flashcards
Уравнение, описывающее кривые второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат
Уравнение, описывающее кривые второго порядка на плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
в котором коэффициенты A, B, C одновременно не обращаются в нуль.
Эллипс
Эллипс - это множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ есть заданная величина.
Фокусы эллипса
Фокусы эллипса - это фиксированные точки внутри эллипса, расстояние до которых из любой точки эллипса есть некая постоянная величина.
Фокальное расстояние эллипса
Фокальное расстояние эллипса - это расстояние между фокусами эллипса, обозначаемое через 2c.
Фокальные радиусы эллипса
Фокальные радиусы эллипса - это отрезки, соединяющие произвольную точку на эллипсе с его фокусами.
Оси эллипса
Оси эллипса - это две прямые, являющиеся также осями симметрии эллипса, одна из которых проходит через его фокусы, а другая - серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему фокусы эллипса.
Центр эллипса
Центр эллипса - это точка, являющаяся также центром симметрии эллипса, находящаяся на пересечении осей эллипса.
Вершины эллипса
Вершины эллипса - это точки пересечения эллипса с его осями симметрии.
Большая полуось эллипса
Большая полуось эллипса - это отрезок, соединяющий центр эллипса с одной из его вершин и содержащий один из фокусов эллипса.
Малая полуось эллипса
Малая полуось эллипса - это отрезок, соединяющий центр эллипса с одной из его вершин и не содержащий фокуса эллипса.
Каноническая система координат для эллипса
Каноническая система координат для эллипса - это система координат, начало которой совпадает с центром эллипса.
Канонические переменные в уравнении эллипса
Канонические переменные в уравнении эллипса - это переменные, соответствующие канонической системе координат.
Каноническое уравнение эллипса
Каноническое уравнение эллипса:
⠀x²⠀⠀y²
⠀— + — = 1.
⠀a²⠀⠀b²
Способ построения эллипса через окружность
Способ построения эллипса через окружность: если окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат сжать с коэффициентов a\b>1 вдоль оси ординат, то получится эллипс, описывающийся уравнением x² + (ya/b)² = a².
Эксцентриситет эллипса ε
Эксцентриситет эллипса ε - это отношение фокального расстояния эллипса к его большой оси:
ε=c/a, если a>b,
ε=c/b, если a<b.
Значения эксцентриситета для эллипса
Значения эксцентриситета для эллипса - 0<ε<1, при c ≠ 0, ε=0, при c = 0.
Уравнения эллипса через фокальный радиус
Уравнения эллипса через фокальный радиус (каждое из уравнений является самостоятельным уравнением эллипса):
{ |F₁M| = a - εx
{
{ |F₂M| = a + εx
Директриса эллипса
Директриса эллипса - это прямая перпендикулярная оси симметрии эллипса, содержащей фокусы, и отстоящие от центра эллипса на расстояние a/ε=a²/c.
Фокальный параметр эллипса
Фокальный параметр эллипса - это расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса:
p = a/ε - c = a²/c - c = (a² - c²)/c = b²/c.
Важное геометрическое свойство эллипса, связанное с фокальными радиусами и касательной к эллипсу
Важное геометрическое свойство эллипса, связанное с фокальными радиусами и касательной к эллипсу, заключается в том, что фокальные радиусы, проведенные к точке касания, составляют с касательной к эллипсу равные углы. При нормаль к касательной и биссектриса острого угла, образованного фокальными радиусами, параллельны.
Оптическое свойство эллипса
Оптическое свойство эллипса - это физическое свойство эллипса, основывающееся на том, что фокальные радиусы, проведенные к точке касания, составляют с касательной к эллипсу равные углы, и заключающееся в том, что если в одном из фокусов расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из одного фокуса, сконцентрируются во втором фокусе, и наоборот.
Гипербола
Гипербола - это геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний (а точнее модуль это разности) до двух фиксированных точек есть величина постоянная.
Фокусы гиперболы
Фокусы гиперболы - это фиксированные точки, не принадлежащие гиперболе, модуль разности расстояний до которых из любой точки гиперболы есть величина постоянная.
Фокальное расстояние
Фокальное расстояние - это расстояние между фокусами гиперболы.
Фокальные радиусы гиперболы
Фокальные радиусы гиперболы - это отрезки, соединяющие произвольную точку на гиперболе с её фокусами.
Оси гиперболы
Оси гиперболы - это прямые, являющиеся также осями симметрии гиперболы, одна из которых проходит через фокусы гиперболы, а вторая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему фокусы.
Действительная ось гиперболы
Действительная ось гиперболы - это та ось гиперболы, что проходит через её фокусы.
Мнимая ось гиперболы
Мнимая ось гиперболы - эта то ось гиперболы, что не проходит через её фокусы.
Центр гиперболы
Центр гиперболы - это точка, являющаяся также центром симметрии гиперболы, являющаяся точкой пересечения осей симметрии.
Каноническая система координат для гиперболы
Каноническая система координат для гиперболы - это система координат, начало которой совпадает с центром гиперболы.
Канонические переменные в уравнении гиперболы
Канонические переменные в уравнении гиперболы - это переменные, соответствующие канонической системе координат.
Действительная полуось гиперболы
Действительная полуось гиперболы - это отрезок, соединяющий центр гиперболы и её вершиной, лежащей на оси симметрии с фокусами.
Мнимая полуось гиперболы
Мнимая полуось гиперболы - это отрезок, соединяющий центр гиперболы с её мнимой вершиной, лежащей на оси симметрии без фокусов.
Каноническое уравнение гиперболы
Каноническое уравнение гиперболы:
⠀x²⠀⠀y²
⠀— - — = 1.
⠀a²⠀⠀b²
Вершины гиперболы
Вершины гиперболы - это точки пересечения гиперболы с действительной осью симметрий.
Эксцентриситет гиперболы
Эксцентриситет гиперболы - это величина, равная отношению фокального расстояния гиперболы к её действительной оси. Эксцентриситет гиперболы всегда попадает в интервал (1;+∞).
Сопряжённая гипербола
Сопряжённая гипербола - это гипербола, задаваемая уравнением x²/a² - y²/b² = - 1.
Каноническое уравнение сопряжённой гиперболы
Каноническое уравнение сопряжённой гиперболы - это уравнение гиперболы, которое имеет вид
x²/a² - y²/b² = - 1.
Уравнения гиперболы через эксцентриситет
Уравнения гиперболы через эксцентриситет:
|F₁M| = ±(εx - a),
где каждое уравнение можно считать уравнением гиперболы (знак плюс соответствует правой ветви гиперболы, а знак минус - левой).
Директрисы гиперболы
Директрисы гиперболы - это прямые, перпендикулярные её действительной оси и удалённый в сторону центра гиперболы от её вершин на ε.
Фокальный параметр гиперболы p
Фокальный параметр гиперболы p - это параметр гиперболы, заключающийся в расстоянии от директрисы гиперболы до ближайшего к ней фокуса
p = c - a/ε = c - a²/c = (c² - a²)/c = b²/c.
Геометрическое свойство гиперболы, при помощи которого доказывают её оптическое свойство
Геометрическое свойство гиперболы, при помощи которого доказывают её оптическое свойство заключается в том, что направляющий вектор касательно, проведённой к гиперболе в точке M параллелен биссектрисе угла F₁MF₂.
Оптическое свойство гиперболы
Оптическое свойство гиперболы: лучи, вышедшие из одного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распространяются так, будто вышли из другого фокуса.
Равнобочная гипербола
Равнобочная гипербола - это гипербола, у которой действительная и мнимая полуоси равны (a=b) и угол между асимптотами равен π/2.
Уравнение равнобочной гиперболы (и ей сопряжённой гиперболы) в системе координат, в которой оси координат совпадают асимптотами равнобочной гиперболы
Уравнение равнобочной гиперболы (и ей сопряжённой гиперболы) в системе координат, в которой оси координат совпадают асимптотами равнобочной гиперболы, имеет вид
xy = a²/2
(уравнение сопряжённой гиперболы: xy = -a²/2).
Парабола
Парабола - это геометрическое место точек, равноудалённых от фиксированной точки и от фиксированной прямой.
Фокус параболы
Фокус параболы - это фиксированная точка, лежащая на оси симметрии параболы, расстояние от которой до некоторой точки параболы равно расстоянию от этой точки до директрисы.
Директриса параболы
Директриса параболы - это фиксированная прямая, перпендикулярная оси симметрии параболы, расстояние от которой до некоторой точки параболы равно расстоянию от этой точки до фокуса параболы.
Фокальный радиус точки на параболе
Фокальный радиус точки на параболе - это расстояние между точкой на параболе и фокусом параболы, которое равно расстоянию между данной точкой и директрисой параболы.
Ось параболы
Ось параболы - это прямая, также являющаяся её осью симметрии, проходящая через фокус параболы перпендикулярно директрисе.
Эксцентриситет параболы
Эксцентриситет параболы равен единице.
Вершина параболы
Вершина параболы - это точка, в которой парабола пересекает свою ось симметрии.
Каноническая система координат для параболы
Каноническая система координат для параболы - это система координат, начало которой совпадает с вершиной параболы, а ось абсцисс - с осью симметрии.
Канонические координаты параболы
Канонические координаты параболы - это координаты, соответствующие её канонической системе координат.
Фокальный параметр параболы p
Фокальный параметр параболы p - это количественный параметр параболы, равный расстоянию от фокуса до директрисы параболы. При помощи фокального параметра параболы можно посчитать уравнение директрисы (x=-p/2) и координаты фокуса параболы (F(p/2;0)).
Каноническое уравнение параболы
Каноническое уравнение параболы - это уравнение, имеющее вид
y²=2px.
Геометрическое свойство параболы, на котором основывается её оптическое свойство
Геометрическое свойство параболы, на котором основывается её оптическое свойство, заключается в том, что в любой точке параболы нормальный вектор к касательной к параболе в этой точке составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.
Оптическое свойство параболы
Оптическое свойство параболы заключается в том, что если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения будут параллельны оси параболы.
Неполное уравнение кривой второго порядка
Неполное уравнение кривой второго порядка - это такое уравнение кривой второго порядка Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (A² + B² + C² ≠ 0), в котором либо B=0 (нет слагаемого с произведением переменных), либо A=C=0 (нет слагаемых с квадратами переменных).
Переобозначение переменных при повороте системы координат на плоскости на угол, кратный π/2
Переобозначение переменных при повороте системы координат на плоскости на угол, кратный π/2 - это прием, соответствующий введению новых переменных… (см. картинку замечание 11.4., с. 324).
Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата по x
Выделение из квадратного трехчлена полного квадрата по x заключается в следующем преобразовании:
ax² + bx +c = a(x-x₀) + d,
где x₀ = -b/(2a), d = (b² - 4ac)/(-4a) = c - b²/(4a).
