1 - komplexe Zahlen, Gruppen, Ringe, Körper

Question 1

C - Realteil/Imaginärteil

Answer 1

x = Re (z)
y = Im (z)

Question 2

C - Addition

Answer 2

Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert

Question 3

C - Multiplikation

Answer 3

wie bei reellen Zahlen, wobei i²=-1

Question 4

C - Division

Answer 4

mit konjugiert komplexer Zahl erweitern, wobei i²=-1

Question 5

C - Trigonometrische Darstellung

Answer 5

x = r*cos(phi)
y = r*sin(phi)
z = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*(cos(phi)+i*sin(phi))

cos(phi)=x/r
sin(phi)=y/r
phi = arctan(y/x)

r = wurzel(x²+y²)

-> Potenzieren und Wurzelziehen einfach

Question 6

C - Polarform

Answer 6

z=r*e^i(phi)

-> Potenzieren und Wurzelziehen einfach

Question 7

C - Darstellung in Gaußscher Zahlenebene

Answer 7

Rechnen wie mit Vektoren möglich, geometrisch anschaulich

Question 8

C - Klassische Darstellung

Answer 8

z=x+yi

Question 9

Eigenschaften bzgl Addition (A1-A5)

Answer 9

A1 - Abgeschlossenheit bzgl. Addition
A2 - Assoziativgesetz bzgl. Addition
A3 - Neutrales Element bzgl. Addition
A4 - Inverses Element bzgl. Addition
A5 - Kommutativgesetz bzgl. Addition

Question 10

Eigenschaften bzgl Multiplikation (M1-M7)

Answer 10

M1 - Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation
M2 - Assoziativgesetz bzgl. Multiplikation
M3 - Distributivgesetze
M4 - Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation
M5 - Neutrales Element bzgl. Multiplikation
M6 - Keine Nullteiler
M7 - Inverses Element bzgl. Multiplikation

Question 11

A1

Answer 11

Abgeschlossenheit bzgl. Addition: Wenn a und b zu S gehören, dann gehört auch a+b zu S.

Question 12

A2

Answer 12

Assoziativgesetz bzgl. Addition: a+ (b+c) = (a+b) + c für alle a,b ,c aus S.

Question 13

A3

Answer 13

Neutrales Element bzgl. Addition: Es gibt ein Element 0 in S.

Question 14

A4

Answer 14

Inverses Element bzgl. Addition: Zu jedem a aus S gibt es ein Element a’ aus S, so dass a+ a’ = a’ + a
= 0 gilt.

Question 15

A5

Answer 15

Kommutativgesetz bzgl. Addition: a + b = b +a für alle a, b aus S.

Question 16

M1

Answer 16

Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation: Wenn a und b zu S gehören, dann gehört auch a * b zu S.

Question 17

M2

Answer 17

Assoziativgesetz bzgl. Multiplikation: a * (bc) = (ab) * c für alle a, b, c aus S.

Question 18

M3

Answer 18

Distributivgesetze: a * (b +c) = ab + ac für alle a, b,c aus S.
(a+b) * c = a * c + b * c für alle a, b, c aus S.

Question 19

M4

Answer 19

Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation: ab = ba für alle a, b aus S.

Question 20

M5

Answer 20

Neutrales Element bzgl. Multiplikation: Es gibt ein Element 1 in S, so dass für alle a aus S gilt: a* 1 =
1 * a = a.

Question 21

M6

Answer 21

Keine Nullteiler: Wenn a und b aus S sind und a* b = 0 dann ist entweder a = 0 oder b = 0.

Question 22

M7

Answer 22

Inverses Element bzgl. Multiplikation: Zu jedem a aus S gibt es ein Element a’ aus S, so dass a * a’ =
a’ * a = 1 gilt.

Question 23

Halbgruppe +

Answer 23

A1-A2

Question 24

Gruppe +

Answer 24

A1-A4

Question 25

komm. / abelsche Gruppe +

Answer 25

A1-A5

Question 26

Halbruppe *

Answer 26

M1-M2

Question 27

Gruppe *

Answer 27

M1,M2,M5,M7

Question 28

komm. /abelsche Gruppe *

Answer 28

M1,M2,M4,M5,M7

Question 29

Ring

Answer 29

A1-A5,M1-M3

Question 30

komm. Ring

Answer 30

A1-A5,M1-M4

Question 31

Integritätsbereich

Answer 31

A1-A5,M1-M6

Question 32

Körper

Answer 32

A1-A5,M1-M7

Question 33

N entspricht?

Answer 33

Halbgruppe bzgl + und *

Question 34

Z entspricht?

Answer 34

Integritätsbereich

Question 35

Q entspricht?

Answer 35

Körper

Question 36

R entspricht?

Answer 36

Körper

Question 37

C entspricht?

Answer 37

Körper

Question 38

(m,n)-Matrizen entspricht?

Answer 38

abelsche Gruppe +

Question 39

(n,n)-Matrizen entspricht?

Answer 39

Ring

Question 40

Polynome mit Koeff. aus Z entspricht?

Answer 40

Integritätsbereich (m7 gilt nicht)

Question 42

Menge aller durch m teilbaren Zahlen entspricht?

Answer 42

komm. Ring

Question 44

Permutation entspricht?

Answer 44

Gruppe +

Question 44

zyklische Gruppe

Answer 44

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein festes Element a gibt, sodass JEDES Element g€G als Potenz von a dargestellt werden kann. a heißt "erzeugendes Element" oder "Generator" von G. Die Menge Zp*={1,2,...,p-1} (p Primzahl) bildet eine zyklische Gruppe.

Question 44

endliche Körper

Answer 44

GF(p^m) Endliche Körper haben genau p^m Elemente, wobei p Primzahl ist und m pos. Ganzzahl. Die Elemente werden als Polynome dargestellt. Addition: entspricht bitweisem XOR Multiplikation: mod eines irreduziblen Polynoms vom Grad m

Question 45

Menge der ganzen Zahlen mit Addition und Multiplikation

Answer 45

Integritätsbereich

Question 46

Menge der ganzen Zahlen mit der Addition

Answer 46

abelsche Gruppe

Question 47

linearer Raum entspricht?

Answer 47

nichts, da nur A1 oder M1 (Skalarmultiplikation)

Question 48

Polynome über Zp, +, * entspricht

Answer 48

Ring

Question 49

Die Menge der natürlichen Zahlen bildet bzgl. + und *

Answer 49

Halbgruppe bzgl. der Addition (A4 gilt nicht) | Halbgruppe bzgl. der Multiplikation (M7 gilt nicht)

Question 50

Was (A1-M7) gilt wo nicht?

Answer 50

In N: A4 und M7 gelten nicht | In Z: M7 gilt nicht