1 - komplexe Zahlen, Gruppen, Ringe, Körper Flashcards
C - Realteil/Imaginärteil
x = Re (z) y = Im (z)
C - Addition
Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert
C - Multiplikation
wie bei reellen Zahlen, wobei i²=-1
C - Division
mit konjugiert komplexer Zahl erweitern, wobei i²=-1
C - Trigonometrische Darstellung
x = r*cos(phi) y = r*sin(phi) z = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*(cos(phi)+i*sin(phi))
cos(phi)=x/r
sin(phi)=y/r
phi = arctan(y/x)
r = wurzel(x²+y²)
-> Potenzieren und Wurzelziehen einfach
C - Polarform
z=r*e^i(phi)
-> Potenzieren und Wurzelziehen einfach
C - Darstellung in Gaußscher Zahlenebene
Rechnen wie mit Vektoren möglich, geometrisch anschaulich
C - Klassische Darstellung
z=x+yi
Eigenschaften bzgl Addition (A1-A5)
A1 - Abgeschlossenheit bzgl. Addition A2 - Assoziativgesetz bzgl. Addition A3 - Neutrales Element bzgl. Addition A4 - Inverses Element bzgl. Addition A5 - Kommutativgesetz bzgl. Addition
Eigenschaften bzgl Multiplikation (M1-M7)
M1 - Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation
M2 - Assoziativgesetz bzgl. Multiplikation
M3 - Distributivgesetze
M4 - Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation
M5 - Neutrales Element bzgl. Multiplikation
M6 - Keine Nullteiler
M7 - Inverses Element bzgl. Multiplikation
A1
Abgeschlossenheit bzgl. Addition: Wenn a und b zu S gehören, dann gehört auch a+b zu S.
A2
Assoziativgesetz bzgl. Addition: a+ (b+c) = (a+b) + c für alle a,b ,c aus S.
A3
Neutrales Element bzgl. Addition: Es gibt ein Element 0 in S.
A4
Inverses Element bzgl. Addition: Zu jedem a aus S gibt es ein Element a’ aus S, so dass a+ a’ = a’ + a
= 0 gilt.
A5
Kommutativgesetz bzgl. Addition: a + b = b +a für alle a, b aus S.
M1
Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation: Wenn a und b zu S gehören, dann gehört auch a * b zu S.
M2
Assoziativgesetz bzgl. Multiplikation: a * (bc) = (ab) * c für alle a, b, c aus S.
M3
Distributivgesetze: a * (b +c) = ab + ac für alle a, b,c aus S.
(a+b) * c = a * c + b * c für alle a, b, c aus S.
M4
Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation: ab = ba für alle a, b aus S.
M5
Neutrales Element bzgl. Multiplikation: Es gibt ein Element 1 in S, so dass für alle a aus S gilt: a* 1 =
1 * a = a.
M6
Keine Nullteiler: Wenn a und b aus S sind und a* b = 0 dann ist entweder a = 0 oder b = 0.
M7
Inverses Element bzgl. Multiplikation: Zu jedem a aus S gibt es ein Element a’ aus S, so dass a * a’ =
a’ * a = 1 gilt.
Halbgruppe +
A1-A2
Gruppe +
A1-A4
komm. / abelsche Gruppe +
A1-A5
Halbruppe *
M1-M2
Gruppe *
M1,M2,M5,M7
komm. /abelsche Gruppe *
M1,M2,M4,M5,M7
Ring
A1-A5,M1-M3
komm. Ring
A1-A5,M1-M4
Integritätsbereich
A1-A5,M1-M6
Körper
A1-A5,M1-M7
N entspricht?
Halbgruppe bzgl + und *
Z entspricht?
Integritätsbereich
Q entspricht?
Körper
R entspricht?
Körper
C entspricht?
Körper
(m,n)-Matrizen entspricht?
abelsche Gruppe +
(n,n)-Matrizen entspricht?
Ring
Polynome mit Koeff. aus Z entspricht?
Integritätsbereich (m7 gilt nicht)
Menge aller durch m teilbaren Zahlen entspricht?
komm. Ring
Permutation entspricht?
Gruppe +
zyklische Gruppe
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein festes Element a gibt, sodass JEDES Element g€G als Potenz von a dargestellt werden kann. a heißt “erzeugendes Element” oder “Generator” von G.
Die Menge Zp*={1,2,…,p-1} (p Primzahl) bildet eine zyklische Gruppe.
endliche Körper
GF(p^m)
Endliche Körper haben genau p^m Elemente, wobei p Primzahl ist und m pos. Ganzzahl.
Die Elemente werden als Polynome dargestellt.
Addition: entspricht bitweisem XOR
Multiplikation: mod eines irreduziblen Polynoms vom Grad m
Menge der ganzen Zahlen mit Addition und Multiplikation
Integritätsbereich
Menge der ganzen Zahlen mit der Addition
abelsche Gruppe
linearer Raum entspricht?
nichts, da nur A1 oder M1 (Skalarmultiplikation)
Polynome über Zp, +, * entspricht
Ring
Die Menge der natürlichen Zahlen bildet bzgl. + und *
Halbgruppe bzgl. der Addition (A4 gilt nicht)
Halbgruppe bzgl. der Multiplikation (M7 gilt nicht)
Was (A1-M7) gilt wo nicht?
In N: A4 und M7 gelten nicht
In Z: M7 gilt nicht
