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Mathe > 1 - komplexe Zahlen, Gruppen, Ringe, Körper > Flashcards

1 - komplexe Zahlen, Gruppen, Ringe, Körper Flashcards

1
Q

C - Realteil/Imaginärteil

A 
x = Re (z)
y = Im (z)
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2
Q

C - Addition

A

Realteil und Imaginärteil werden getrennt addiert

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3
Q

C - Multiplikation

A

wie bei reellen Zahlen, wobei i²=-1

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4
Q

C - Division

A

mit konjugiert komplexer Zahl erweitern, wobei i²=-1

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5
Q

C - Trigonometrische Darstellung

A 
x = r*cos(phi)
y = r*sin(phi)
z = r*cos(phi) + r*sin(phi)*i = r*(cos(phi)+i*sin(phi))

cos(phi)=x/r
sin(phi)=y/r
phi = arctan(y/x)

r = wurzel(x²+y²)

-> Potenzieren und Wurzelziehen einfach

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6
Q

C - Polarform

A

z=r*e^i(phi)

-> Potenzieren und Wurzelziehen einfach

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7
Q

C - Darstellung in Gaußscher Zahlenebene

A

Rechnen wie mit Vektoren möglich, geometrisch anschaulich

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8
Q

C - Klassische Darstellung

A

z=x+yi

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9
Q

Eigenschaften bzgl Addition (A1-A5)

A 
A1 - Abgeschlossenheit bzgl. Addition
A2 - Assoziativgesetz bzgl. Addition
A3 - Neutrales Element bzgl. Addition
A4 - Inverses Element bzgl. Addition
A5 - Kommutativgesetz bzgl. Addition
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10
Q

Eigenschaften bzgl Multiplikation (M1-M7)

A

M1 - Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation
M2 - Assoziativgesetz bzgl. Multiplikation
M3 - Distributivgesetze
M4 - Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation
M5 - Neutrales Element bzgl. Multiplikation
M6 - Keine Nullteiler
M7 - Inverses Element bzgl. Multiplikation

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11
Q

A1

A

Abgeschlossenheit bzgl. Addition: Wenn a und b zu S gehören, dann gehört auch a+b zu S.

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12
Q

A2

A

Assoziativgesetz bzgl. Addition: a+ (b+c) = (a+b) + c für alle a,b ,c aus S.

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13
Q

A3

A

Neutrales Element bzgl. Addition: Es gibt ein Element 0 in S.

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14
Q

A4

A

Inverses Element bzgl. Addition: Zu jedem a aus S gibt es ein Element a’ aus S, so dass a+ a’ = a’ + a
= 0 gilt.

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15
Q

A5

A

Kommutativgesetz bzgl. Addition: a + b = b +a für alle a, b aus S.

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16
Q

M1

A

Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation: Wenn a und b zu S gehören, dann gehört auch a * b zu S.

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17
Q

M2

A

Assoziativgesetz bzgl. Multiplikation: a * (bc) = (ab) * c für alle a, b, c aus S.

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18
Q

M3

A

Distributivgesetze: a * (b +c) = ab + ac für alle a, b,c aus S.
(a+b) * c = a * c + b * c für alle a, b, c aus S.

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19
Q

M4

A

Kommutativgesetz bzgl. Multiplikation: ab = ba für alle a, b aus S.

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20
Q

M5

A

Neutrales Element bzgl. Multiplikation: Es gibt ein Element 1 in S, so dass für alle a aus S gilt: a* 1 =
1 * a = a.

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21
Q

M6

A

Keine Nullteiler: Wenn a und b aus S sind und a* b = 0 dann ist entweder a = 0 oder b = 0.

22
Q

M7

A

Inverses Element bzgl. Multiplikation: Zu jedem a aus S gibt es ein Element a’ aus S, so dass a * a’ =
a’ * a = 1 gilt.

23
Q

Halbgruppe +

A

A1-A2

24
Q

Gruppe +

A

A1-A4

25
Q

komm. / abelsche Gruppe +

A

A1-A5

26
Q

Halbruppe *

A

M1-M2

27
Q

Gruppe *

A

M1,M2,M5,M7

28
Q

komm. /abelsche Gruppe *

A

M1,M2,M4,M5,M7

29
Q

Ring

A

A1-A5,M1-M3

30
Q

komm. Ring

A

A1-A5,M1-M4

31
Q

Integritätsbereich

A

A1-A5,M1-M6

32
Q

Körper

A

A1-A5,M1-M7

33
Q

N entspricht?

A

Halbgruppe bzgl + und *

34
Q

Z entspricht?

A

Integritätsbereich

35
Q

Q entspricht?

A

Körper

36
Q

R entspricht?

A

Körper

37
Q

C entspricht?

A

Körper

38
Q

(m,n)-Matrizen entspricht?

A

abelsche Gruppe +

39
Q

(n,n)-Matrizen entspricht?

A

Ring

40
Q

Polynome mit Koeff. aus Z entspricht?

A

Integritätsbereich (m7 gilt nicht)

42
Q

Menge aller durch m teilbaren Zahlen entspricht?

A

komm. Ring

44
Q

Permutation entspricht?

A

Gruppe +

44
Q

zyklische Gruppe

A

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein festes Element a gibt, sodass JEDES Element g€G als Potenz von a dargestellt werden kann. a heißt “erzeugendes Element” oder “Generator” von G.

Die Menge Zp*={1,2,…,p-1} (p Primzahl) bildet eine zyklische Gruppe.

44
Q

endliche Körper

A

GF(p^m)
Endliche Körper haben genau p^m Elemente, wobei p Primzahl ist und m pos. Ganzzahl.

Die Elemente werden als Polynome dargestellt.
Addition: entspricht bitweisem XOR
Multiplikation: mod eines irreduziblen Polynoms vom Grad m

45
Q

Menge der ganzen Zahlen mit Addition und Multiplikation

A

Integritätsbereich

46
Q

Menge der ganzen Zahlen mit der Addition

A

abelsche Gruppe

47
Q

linearer Raum entspricht?

A

nichts, da nur A1 oder M1 (Skalarmultiplikation)

48
Q

Polynome über Zp, +, * entspricht

A

Ring

49
Q

Die Menge der natürlichen Zahlen bildet bzgl. + und *

A

Halbgruppe bzgl. der Addition (A4 gilt nicht)

Halbgruppe bzgl. der Multiplikation (M7 gilt nicht)

50
Q

Was (A1-M7) gilt wo nicht?

A

In N: A4 und M7 gelten nicht

In Z: M7 gilt nicht

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