01 Optimal ressursanvendelse i enkle økonomier

Question 1

I enhver mikroøkonomisk modell er sentral ebestanddeler:

Answer 1

• preferanser - representert ved nyttefunksjoner
• teknologier - representert ved produktfunksjoner
• knapphet - representert ved tilgang på ressurser (produksjonsfaktorer)
• institusjoner - representert bl.a. ved lovbestemmelser som sikrer at eierrettigheter blir ivaretatt, at kontrakter blir håndhevet, at reguleringsorganer har legitimitet og at etablerte sosiale normer følges

Question 2

Teknologi: Produktfunksjon

Answer 2

x<sub>1</sub> = F(N<sub>1</sub>) med F(0) = 0, F'(N<sub>1</sub>) \> 0, F''(N<sub>1</sub>) \< 0
x<sub>2</sub> = G(N<sub>2</sub>) med G(0) = 0, G'(N<sub>2</sub>) \> 0, G''(N<sub>2</sub>) \< 0

med N_i som bruk av arbeidskraft i fremstilling av vare x_i

Question 3

Ressursknapphet

Answer 3

N₁ + N₂ <= N

Question 4

Produksjonsmulighetene

Answer 4

De to produktfunksjonene er strengt voksende, og har dermed en invers. Da kan vi skrive:

x<sub>1</sub> = F(N<sub>1</sub>) med F' \> 0 =\> N<sub>1</sub> = F<sup>-1</sup>(x<sub>1</sub>) := f(x<sub>1</sub>)
x<sub>2</sub> = G(N<sub>2</sub>) med G' \> 0 =\> N<sub>2</sub> = G<sup>-1</sup>(x<sub>1</sub>) := g(x<sub>2</sub>​)

Som med knapphet av arbeidskraft gir:

N = N₁ + N₂ = f(x₁) + g(x₂​)
f(x₁) + g(x₂​) - N = 0

Definerer transformasjonsfunksjonen
T(x₁, x₂; N) := f(x₁) + g(x₂​) - N = 0

Question 5

Marginal transformasjonsbrøk

Answer 5

For alle punkter på randen av produksjonsmulighetsområdet har vi:

f(x₁) + g(x₂(x₁; N)) - N = 0

Når vi deriverer denne mhp. x₁, får vi:

dx₂(x₁; N) / dx₁ = - f’(x₁) / g’(x₂)

Fra et økonomisk synspunkt er tallverdien av dette signingstalle mer interessant:

MTB := - dx₂ / dx₁ = f’(x₁) / g’(x₂) = G’(N₂) / F’(N₁)

MTV angir det realøkonomiske bytteforholdet, marginal alternativkostnad eller bare grensekostnaden for vare 1. Denne grensekostnaden sier hvor mye vi må gi opp i produksjonen av vare 2, med full ressursanvendelse, for å få frembragt ytterligere én enhet av vare 1.

Question 6

Det antall enheter produksjonen av vare 2 må reduseres med per enhets økning i produksjonen av vare 1, er _____ jo mer vi produserer av vare 1 i utgangspunktet.

Answer 6

Det antall enheter produksjonen av vare 2 må reduseres med per enhets økning i produksjonen av vare 1, er større jo mer vi produserer av vare 1 i utgangspunktet.

Question 7

MSB forteller ____

Answer 7

MSB forteller hvor mange enheter av en av varene konsumenten er villig til å gi opp for å få én enhet til av vare 1, uten at nyttenivået endres.

Question 8

At MSB er avtakende, kan tolkes som at konsumentens betlingsvilje ______

Answer 8

At MSB er avtakende, kan tolkes som at konsumentens betlingsvilje for vare 1 (i enheter av vare 2) er lavere jo mer han eller hun konsumerer av vare 1 i utgangspunktet.

Question 9

MSB (utledning)

Answer 9

Marginal Substitusjonsbrøk

U<sub>0</sub> = U(c<sub>1</sub>, c<sub>2</sub>)
c<sub>2</sub> = c<sub>2</sub>(c<sub>1</sub>; U<sub>0</sub>)

U₀ = U(c₁, c₂(c₁; U₀))

Vi deriverer og får:
0 = U’₁ + U’₂ dc₂ / dc₁
dc₂ / dc₁ = - U’₁ / U’₂

Ergo er indifferenskurven fallende i (c₁, c₂)-diagrammet.

MSB(c₁, c₂) = U’₁ / U’₂

Question 10

At økonomien er lukket må innebære følgende krav til anvendelse i forhold til tilgang:

Answer 10

c₁ <= x₁
c₂ <= x₂

_{Egenproduksjon av vare 1 setter en øvre grense for hvor mye som kan konsumeres av vedkommende vare.}

Question 11

Optimal ressursanvendelse i en lukket økonomi

Answer 11

Max_{(c1, c2, x1, x2, N1, N2)} U(c₁, c₂) gitt den realøkonomiske rammen:

x₁ = F(N₁)
x₂ = G(N₂)
N₁ + N₂ <= N
c₁ <= x₁
c₂ <= x₂

Vi skal altså finne konsum, sysselsetting og produksjon for hver vare, slik at velferden til husholdningene blir så stor som mulig.

Denne modellen har én frihetsgrad.

Setter inn for c₁ og c₂ og substituerer for N₂ = N - N₁. Problemet er dermed redusert til å finne et maksimum av funksjonen W(N₁), definert som:

Max_{N1 ∈ [0, N]} {U(F(N₁), G(N - N₁)) := W(N₁)}

W’(N*₁) = … = 0

[Her skjer det en del ting]

MSB(c*₁, c*₂) = MTB(x*₁, x*₂)

Question 12

Optimal ressursanvendelse i en lukket økonomi: Den gitte tilgangen av arbeidskraft bør fordeles mellom de bransjene slik at marginal betalingsvilje for vare 1 (i enheter av vare 2) akkurat er lik _____ for vare 1 (i enheter av vare 2).

Answer 12

Optimal ressursanvendelse i en lukket økonomi: Den gitte tilgangen av arbeidskraft bør fordeles mellom de bransjene slik at marginal betalingsvilje for vare 1 (i enheter av vare 2) akkurat er lik det realøkonomiske bytteforholdet eller grensekostnaden for vare 1 (i enheter av vare 2).

Question 13

Badekardiagram for maskimal nytte

Answer 13

Question 14

Maksimeringsproblemet til bedriftene

Answer 14

PF(N) - wN

med førsteordensbetingelse

PF’(N) - w = 0

og andreordensbetingelse

PF’‘(N) < 0

Question 15

Bedriftens etterspørselfunksjon

Answer 15

N₁ = (F’)^-1 (w / P₁) = N₁ (w / P₁)

er etterspørselfunksjon etter arbeidskraft for bedrift 1

Question 16

Bedriftens tilbudsfunksjon

Answer 16

x₁(w / P₁) = F( N₁(w/P₁) )

er tilbudssfunksjonen for bedrift 1

Question 17

Bedriftens profittfunksjon

Answer 17

π₁(P₁, w) = P₁x₁(w/P₁) - wN₁(w/P₁)

voksende i P₁, avtakende i w

Question 18

Husholdningen har inntekt:

Answer 18

R = wN + π₁(P₁, w) + π₂(P₂, w)

Question 19

Husholdningsens budsjettbetingelse

Answer 19

P₁c₁ + P₂c₂ = R
c₂ = R / P₂ - (P₁ / P₂) c₁

Question 20

Husholdningens maskimeringsprogram

Answer 20

U(c₁, c₂) = U(c₁, R / P₂ - (P₁ / P₂) c₁)

Problemet avhenger ikke av de tre variablene R, P₁, P₂ hver for seg, bare av brøkene.

Forsteordensbetingelsen for maskimum m.h.t. c₁ er

δU / δc₁ + δU / δc₂ * (-P₁ / P₂) = 0
P₁ / P₂ = U’₁ / U’₂ = MSB

Question 21

Walras’ lov

Answer 21

Hvis likevekt i alle markeder utenom ett, må det også være likevekt i det siste