六、相关与回归分析

Question 1

（皮尔逊）积差相关/的适用范围和公式

Answer 1

【适用范围】⒈数据成对，不宜少于30对；⒉两列变量各自正态总体；⒊连续数据；⒋变量间呈线性关系。
【公式】
基本式：r= Σxy/N·Sx·Sy
使用标准分数：r=Σ Zx·Zy /N

Question 2

斯皮尔曼等级相关的适用范围

Answer 2

①适用于只有两列变量，且属于等级变量，主要用于解决称名数据和顺序数据的相关问题；
②对于属于等距或等比性质的连续变量数据，若按其取值大小，赋予等级顺序，转换为顺序变量数据，也可计算斯皮尔曼等级相关；
③有些虽然是等距或等比数据，其分布不是正整，也可以用斯皮尔曼等级相关。
口诀：“一对直”

Question 3

质与量相关的计算

Answer 3

点二列相关：一列为真正二分称名变量（例如性别），另一列为等距或等比变量，总体正态分布。
二列相关：一列为人为划分的的二分变量（例如及格与否），另一列为等距或等比变量；两列数据均属于总体正态。

Question 4

品质相关

Answer 4

▪️Φ相关：两列相互关联的变量分布要么都是真正的二分变量（例如有无工作、吸烟与否、婚姻状况等），要么有一组人为、一组真正。
公式：(ad—bc) / √(a+b)·(a+c)·(b+d)·(c+d)
tips：四表格里abcd分别为↖️↗️↙️↘️，对角相减，相邻相加

▪️四分相关
两列相互关联的变量分布都是人为的二分变量

Question 5

相关与回归的关系

Answer 5

▪️区别
相关：用相关系数度量变量间的密切程度。双向，不强调哪个是自变量,哪个是变量的变化而变化的关系。
回归：用数学模型表示变量之间数量关系的可能形式。单向，找出一个变量随着另一个或者多个变量的变化而变化的关系。
▪️联系
1. 广义而言,相关分析包括回归分析
2. 二者共同起点是确定变量之间是否存在关系
3. 一元线性回归之中,相关系数等于两回归系数的几何平均数
b_xy = r* S_x/S_y，b_yx=r*S_y/S_x

⚠️注意
1. 一种模型只有在当初抽取样本的同一范围内才能应用,即回归方程不能对X值范围外的数据做出预测
2. 相关分析和回归分析均不能确定因果关系
3. 若两变量间不存在相关关系,不要刻意去寻求两变量的某种关系,并用相关分析和回归分析来分析

Question 6

线性回归的建立、检验、应用

Answer 6

▪️回归模型的建立

• 平均数法：Y^=a+bX，将数据按照奇偶分成两组，然后分别代入回归方程，形成二元一次方程组后分别解出a和b。
• 最小二乘法：误差平方和最小原理，即散点图中每一点沿Y轴方向到直线的距离（Y-Y^）的平方和最小。

▪️检验

• 回归模型的检验：①回归模型的有效性检验（方差分析）；②回归系数的显著性检验（t检验）
• 回归效果的检验：决定系数r²等于回归平方和在总平方和中所占的比例，r²=Σ(Y-估计值Y)² / Σ(Y-均值Y)² =SSr/SSt

▪️应用

• 点估计：将确定的自变量Xi的值代入回归模型，得到相应的Yi值。
• 区间估计：以一定的概率为保证，预测当自变量X值取一定的Xi值时，因变量Yi的可能范围。