Пространства

Question 1

Метрика и её аксиомы

Answer 1

Метрика, заданная на множестве Х, — отображение p : X * X — [0, inf ), которое удовлетворяет аксиомам:

1) p(x, y) = 0 <=> x = y
2) p(x, y) = p(y, x)
3) p(x,y) <= p(x,z) + p(y, z)

Question 2

Полное метрическое пространство

Answer 2

Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел в этом пространстве

Question 3

Примеры полных и неполных метрических пространств

Answer 3

…

Question 4

Пополнение метрического пространства

Answer 4

Полное метрическое пространство (X, p) называется пополнением метрического пространства (X, p), если (X, p) является всюду плотным подпространством (X, p).

Question 5

Сжимающее отображение

Answer 5

Отображение f называется сжимающим, если существует a из [0,1), такое что для любых x,y из X: p(f(x), f(y) ) <= a p(x,y)

Question 6

Теорема (Принцип сжимающих отображений )

Answer 6

Пусть (X, p) — непустое полное метрическое пространство, f: X — X — сжимающее отображение с константой сжатия а.

Тогда 1) E! неподвижная точка x* отображения f
2) Для любого xo из Х: xo, f(xo), … fn(xo) — x*.

Question 7

Нормированное пространство

Answer 7

Нормированным пространством называется векторное пространство над R или C, на котором задана норма.

Question 8

Банахово пространство

Answer 8

Пространство называется Банаховым, если оно нормированное и полное

Question 9

Аксиомы нормы

Answer 9

1) Положительная определённость: || x || >= 0 для любого х, || x || = 0 только когда x = 0
2) Однородность: || ax || = |a| ||x||
3) Неравенство треугольника:
|| x+y || = ||x|| + ||y||

Question 10

Теорема о пополнении нормированного пространства

Answer 10

Для любого нормированного пространства Х0 существует банахово пространство Х, которое является пополнением Х0. Причём Х0 является векторным подпространством в Х.

Question 11

Неравенство Гёльдера

Question 12

Аксиомы скалярного произведения

Answer 12

1) < x1 + x2, y > = <x1, y> + <x2, y>
2) <ax, y> = a <x,y>
Эти два свойства называются линейностью по первому аргументу.
3) <x,y> = <y, x> с чертой — эрмитовость
4) <x, x > >= 0, <x,x> = 0 только если х = 0

Question 13

Гильбертово пространство

Answer 13

Гильбертовым пространством называется векторное пространство со скалярным произведением, полное относительно нормы <x,x> ^ 1/2

Question 14

Неравенство Коши-Буняковского

Answer 14

|<x,y>| <= ||x|| * ||y||

Question 15

Предгильбертово пространство

Answer 15

Векторное пространство Х со скалярным произведением, dimX = inf

Question 16

Ортогональные векторы, система

Answer 16

Два вектора х, у из Н называются ортогональными, если <x,y>=0
Система векторов называется ортогональной, если любые два различных вектора из этой системы ортогональны друг другу

Question 17

Проекция вектора

Answer 17

Проекцией вектора х на векторное подпространство L из Н называется вектор y Э L, такой что (x-y) ортогонально L

Question 18

Теорема о проекции

Answer 18

Пусть L — замкнутое векторное подпространство H. Тогда для любого х Э Н существует единственная его проекция на L

Question 19

Ортонормированная система

Answer 19

Система векторов ортонормирована, если она ортоганальна и норма каждого из векторов этой системы равна 1

Question 20

Ряд Фурье

Answer 20

Число Cn = <x, En> называется коэффициентом Фурье элемента х по ортонормированной системе (En)

Ряд sum( CnEn, 1, inf) называется рядом Фурье элемента х