Мера Лебега

Question 1

Определение кольца, алгебры, сигма-кольца и сигма-алгебры

Answer 1

Непустое семейство подмножеств K из P(X) называется кольцом, если оно замкнуто относительно операций пересечения и симметрической разности.

Алгебра — такое кольцо, что X Э K.

Сигма-кольцом называют кольцо, замкнутое относительно счётного объединения.

Сигма-алгебра — это кольцо, которое одновременно является кольцом и сигма-кольцом.

Question 2

Примеры сигма-алгебры

Answer 2

Для любого множества Х существует тривиальная сигма-алгебра {∅, X}
Для любого множества Х существует сигма-алгебра, содержащая все его подмножества
Борелевская сигма-алгебра: минимальная сигма-алгебра, которая содержит все открытые подмножества заданного топологического пространства (обычно этим пространством является R).

Question 3

Мера

Answer 3

Мерой на полукольце(кольце) S(K) называется отображение m: S(K) — R, если для него выполнены аксиомы: неотрицательность и аддитивность

Question 4

Множество Кантора

Answer 4

…

Question 5

Сигма-аддитивная мера (определение)

Answer 5

Мера m, заданная на полукольце S, называется сигма-аддитивной, если для любого счётного разбиения множества А из S выполнено равенство: m(A) = sum( m(Ai), i = 1, inf )

Question 6

Внешняя мера

Question 7

Множество меры нуль

Answer 7

Множество А называется множеством меры нуль, если для любого E > 0 существует покрытие множества А элементарными множествами Ak, такое что сумма m(Ak) < E.

Question 8

Продолжение меры по Лебегу

Answer 8

Это сужение внешней меры на систему измеримых множеств.

Question 9

Примеры измеримых множеств

Answer 9

1) Полуинтервалы, отрезки, интервалы
2) Открытые множества (являются конечными или счётными объединениями открытых интервалов)
3) Замкнутые множества
4) Борелевские множества — множества, полученные из открытых и замкнутых множеств с помощью счётного числа операций объединения и пересечения
5) Счётные множества, например множество рациональных чисел, имеют меру нуль