Wiskunde theorie

Question 1

de vgl van de X-as in de ruimte wordt gegeven door x=0

Answer 1

niet waar:
- x-as in de ruimte heeft alle y- en z-waarden gelijk aan 0, terwijl x vrij kan varieren
- correcte vgl y=0,z=0

Question 2

de vgl vh xz-vlak id ruimte wordt gegeven door x=0,z=0

Answer 2

niet waar:
- xz-vlak bevat alle punten waar y=0
- x=0 en y=0 beschrijft alleen een punt

Question 3

de vgl x^2+y^2+z^2+3x-4z+1=0 stelt een bol voor met straal (vierkantswortel 12)/4

Answer 3

niet waar:
- de staal is wortel(12)/2

Question 4

De vectoren 𝑎 en -2a zijn gelijk.

Answer 4

niet waar:
- De vector −2𝑎 heeft een tegenovergestelde richting en lengte is verschillend dan a. Ze zijn dus niet gelijk.

Question 5

Twee evenwijdige vectoren kunnen niet opgeteld worden.

Answer 5

niet waar:
- 2 evenwijdige vectoren kunnen worden opgeteld door hun componenten bij elkaar op te tellen
- som = resulteren ie vector in dezelfde richting als de originele vectoren

Question 6

De som en het verschil van 2 vectoren zijn gelijk aan elkaar, op zin van de vector na.

Answer 6

niet waar:
- grootte of richting = verschillend

Question 7

Het is niet altijd mogelijk om een eenheidsvector van een bepaalde richting op te stellen.

Answer 7

niet waar:
- voor elke niet nulvector kan je een eenheidsvector opstellen door de vector te delen door zijn grootte

Question 8

De vector (1,0,1) is een eenheidsvector.

Answer 8

niet waar:
- de grootte vd vector is:
wortel (1^2+0^2+1^2)= wortel2
- dus het is geen eenheidsvector want het moet 1 zijn

Question 9

De vectoren a en −2a zijn evenwijdig.

Answer 9

waar:
- de ene is een scalair veelvoud v a dus ze zijn evenwijdig

Question 10

De grootte van de vector −2a is 4 keer meer dan die van a.

Answer 10

niet waar:
- het is 2x zo groot (absolute waarde v -2 maal a)

Question 11

Het inwendig product van 2 vectoren is gelijk aan 0.

Answer 11

niet waar:
- Dit is alleen waar als de twee vectoren loodrecht op elkaar staan. Voor andere hoeken is het inwendig product niet nul.

Question 12

Het uitwendig product van 2 vectoren is gelijk aan 0.

Answer 12

niet waar:
- Dit is alleen waar als de vectoren evenwijdig zijn.

Question 13

Het inwendig product van 2 evenwijdige vectoren is 0.

Answer 13

niet waar:
- inwendig product v 2 vectoren die loodrecht op elkaar staan = 0

Question 14

Het uitwendig product van 2 evenwijdige vectoren is 0.

Answer 14

waar:
- Het uitwendig product van evenwijdige vectoren is
0, omdat de sinus van de hoek tussen hen sin(0 ∘)=0 en sin(180°)=0 is.

Question 15

Voor eenheidsvectoren i,j,k:

Answer 15

i×j=k: Waar.
Volgens de definitie van het vectorproduct.
j×k=−i: Waar.
Idem.
i×j+j×i=0: Waar.
Het vectorproduct is antisymmetrisch (
u×v=−(v×u)).
i×j+i×k=k−j: Waar.

j×i=−k,k×j=−i,i×k=−j.

i×j=k,j×k=i,k×i=j.

Question 16

Gegeven 2 punten in de ruimte, kan altijd een parametervoorstelling van een rechte worden opgesteld.

Answer 16

waar:
- met 2 punten die verschillend zijn kun je altijd een rechte definiëren

Question 17

Gegeven 2 punten in de ruimte, kan altijd een vergelijking van een vlak worden opgesteld.

Answer 17

niet waar:
- voor een vlak zijn er altijd 3 punten nodig
- 3 punten die niet op dezelfde rechte liggen

Question 18

Gegeven 3 punten in de ruimte, kan altijd een vergelijking van een vlak worden opgesteld.

Answer 18

niet waar:
- dit kan enkel als de 3 punten niet op 1 rechte liggen

Question 19

Van elke matrix kan je een determinant berekenen.

Answer 19

niet waar:
- De determinant kan alleen worden berekend voor vierkante matrices (matrices waarbij het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen). Voor niet-vierkante matrices is de determinant niet gedefinieerd.

Question 20

De rang van een matrix is hetzelfde als de determinant van een matrix.

Answer 20

niet waar:
- De rang van een matrix is het aantal lineair onafhankelijke rijen of kolommen.
- De determinant is een waarde die alleen bestaat voor vierkante matrices en geeft informatie over de inverteerbaarheid.
- Deze twee concepten zijn niet hetzelfde.

Question 21

De rang van een 4×3 stelsel kan gelijk zijn aan 4.

Answer 21

niet waar:
De rang van een matrix kan nooit groter zijn dan de kleinste dimensie van de matrix. Voor een 4×3 matrix is de maximale rang 3

Question 22

Stel dat de rijen van een 3×3 matrix corresponderen met de coördinaten van 3 punten in de ruimte. Als de determinant van deze matrix 0 is, dan liggen deze punten op eenzelfde rechte.

Answer 22

niet waar:
Als de determinant 0 is, betekent dit dat de drie punten in één vlak liggen (ze zijn coplanair). Voor het liggen op een rechte moeten de drie punten ook collineair zijn. De bewering gaat niet ver genoeg.

Question 23

Een vierkante matrix heeft altijd een rang gelijk aan de dimensie van die matrix.

Answer 23

niet waar:
- vierkante matrix heeft alleen een rang gelijk aan haar dimensie als ze inverteerbaar is (determinant niet gelijk aan 0)
- bij singuliere matrix (determinant = 0) is de rang lager door lineaire afhankelijkheid

Question 24

Een homogeen stelsel kan geen oplossingen hebben.

Answer 24

niet waar:
- Een homogeen stelsel heeft altijd minstens één oplossing, namelijk de triviale oplossing waarin alle onbekenden gelijk zijn aan 0. Als de rang van de coëfficiëntenmatrix kleiner is dan het aantal onbekenden, heeft het stelsel oneindig veel oplossingen.

Question 25

Een 4×3 stelsel met rang van de coëfficiëntenmatrix 2 heeft altijd oneindig veel oplossingen.

Answer 25

?

Question 26

De volgorde van de rijen in de matrixvoorstelling van een stelsel is belangrijk voor het oplossen van een stelsel.

Answer 26

niet waar:
- De volgorde van de rijen kan worden veranderd zonder de oplossingen van het stelsel te beïnvloeden. Dit komt omdat rijoperaties de oplossingen niet veranderen.

Question 27

De volgorde van de kolommen in de matrixvoorstelling van een stelsel is belangrijk voor het oplossen van een stelsel.

Answer 27

waar:
- De volgorde van de kolommen is belangrijk omdat de kolommen corresponderen met specifieke onbekenden. Als de volgorde verandert, verandert ook de interpretatie van de onbekenden.

Question 28

Elke vierkante matrix is inverteerbaar.

Answer 28

niet waar:
- Een vierkante matrix is alleen inverteerbaar als haar determinant ongelijk aan 0 is. Als de determinant 0 is, is de matrix singulier en niet-inverteerbaar.

Question 29

In een singuliere matrix is één van de rijen een lineaire combinatie van de andere rijen.

Answer 29

waar:
- singuliere matrix heeft een determinant van 0, wat betekent dat de rijen of kolommen lineair afhankelijk zijn
- hierdoor vormen de rijen geen volledige basis en is de matrix niet van volle rang

Question 30

x2+ y2 = 4 is een functie die inverteerbaar is.

Answer 30

niet waar:
- De vergelijking x2 +y2=4 beschrijft een cirkel en is geen functie, omdat het niet voldoet aan de verticale lijn-test (voor sommige waarden van
x bestaan er twee waarden van
y). Bovendien is een functie inverteerbaar als ze één-op-één is, wat hier niet het geval is.

Question 31

De functie y = ln x + 10 is een functie met domein R.

Answer 31

De natuurlijke logaritme lnx is alleen gedefinieerd voor x>0. Het domein van deze functie is dus (0,∞), niet heel 𝑅

Question 32

De functie y = sinh (x-4) is een functie met beeld R.

Answer 32

waar:
- De functie sinh(x), de hyperbolische sinus, heeft als beeld R, ongeacht de verschuiving x−4. Het beeld van sinh(x−4) blijft daarom ook 𝑅

Question 33

De functie y= e-2x+2 heeft geen nulpunten.

Answer 33

waar:
- De exponentiële functie e −2x
is altijd positief en kan nooit nul worden. Door 2 toe te voegen, blijft de functie altijd groter dan
2 Er zijn dus geen nulpunten.

Question 34

De functie y=x+x2 is een oneven functie.

Answer 34

niet waar:
Een functie is oneven als f(−x)=−f(x). Hier geldt:
f(−x)=(−x)+(−x) 2
=−(x+x2 ).
De functie is niet oneven (en ook niet even).

Question 35

De functie y=sin x is inverteerbaar.

Answer 35

niet waar:
- De sinusfunctie sinx is niet één-op-één op heel R, omdat dezelfde y-waarden herhaald worden (de functie is periodiek). Om inverteerbaar te zijn, moet de functie worden beperkt tot een interval zoals [− 2/π,2/π], waar ze strikt stijgend is.

Question 36

De functie y=sin2x heeft amplitude gelijk aan 2.

Answer 36

niet waar:
- De amplitude van een sinusfunctie wordt bepaald door de maximale uitwijking van de grafiek. Voor sin2x varieert de waarde tussen
0 en 1, dus de amplitude is
1/2
- De bewering dat de amplitude
2 is, klopt niet.

Question 37

De functie y=(x-3)(x-2)/(x-3)2 heeft een verticale asymptoot in x=3.

Answer 37

niet waar:
- Voor x=3 wordt zowel de teller als de noemer nul, waardoor het een onbepaalde vorm is. Het is een verwijderbare discontinuïteit, niet een verticale asymptoot. De functie kan worden herleid tot
y= x−3/x−2 wanneer 𝑥≠3

Question 38

De functie y = 2x heeft een schuine asymptoot.

Answer 38

niet waar:
De exponentiële functie
y=2 ^x
heeft een horizontale asymptoot bij y=0 als x→−∞. Er is geen schuine asymptoot.

Question 39

De functie y=tg x is een continue functie.

Answer 39

niet waar:
De tangensfunctie heeft verticale asymptoten bij x= 2/π+kπ, waar k∈Z. Op deze punten is de functie niet gedefinieerd, dus ze is niet overal continu.

Question 40

Elk complex getal heeft een complex toegevoegde.

Answer 40

waar:
- voor elke z=a+bi is er een complex toegevoegde z=a-bi

Question 41

Een complex getal en zijn toegevoegde hebben dezelfde modulus

Answer 41

waar:
- de modulus is hetzelfde want het pakt de “absolute” waarde van a en b dus ze mogen ook negatief zijn, wortel(a^2+b^2)

Question 42

Het complex getal –i heeft geen exponentiële schrijfwijze

Answer 42

niet waar:
- -i kan geschreven worden als e^3pi/2i

Question 43

Het complex getal 2i heeft geen goniometrische schrijfwijze

Answer 43

niet waar,
- 2i kan geschreven worden als 2(cos (pi/2)+isin(pi/2))

Question 44

Het complex getal 1-i ligt in het tweede kwadrant

Answer 44

niet waar:
- ligt in 4de kwadrant

Question 45

Een complex getal heeft oneindig veel exponentiële schrijfwijzes.

Answer 45

waar:
- de hoek oneindig veel 2kpi bij opgeteld worden

Question 46

Het getal i^5 is niet complex.

Answer 46

niet waar:
- i^5=i

Question 47

De vergelijking x2 + 4 = 0 heeft geen oplossing over de complexe getallen.

Answer 47

niet waar:
- de oplossing is x=+- 2i

Question 48

De vergelijking x4 + 16 = 0 heeft precies 4 oplossingen

Answer 48

waar:
- x=2e^ipi/4, 2e^i3pi/4, 2e^i5pi/4, 2e^i7pi/4

Question 49

Als z een oplossing is van een vergelijking, dan is ook zijn complex toegevoegde
steeds een oplossing

Answer 49

niet waar:
- werkt alleen als de coefficienten reeel zijn

Question 50

De afgeleide van een functie bestaat altijd.

Answer 50

niet waar:
-Een functie heeft niet altijd een afgeleide. Bijvoorbeeld, functies kunnen niet differentieerbaar zijn op punten waar ze niet continu zijn of waar er scherpe hoeken of verticale raaklijnen bestaan (bijv.
f(x)=∣x∣ is niet differentieerbaar in
x=0).

Question 51

De afgeleide van een functie in een bepaald punt is gelijk aan de raaklijn van de functie in dat punt.

Answer 51

niet waar:
- De afgeleide in een punt f ‘(x) geeft de richtingscoëfficiënt (helling) van de raaklijn, maar niet de volledige vergelijking van de raaklijn. De raaklijn in een punt x=c is een lijn met vergelijking y=f (c)(x−c)+f(c), waar de afgeleide slechts een onderdeel van is.

Question 52

Als f ′(x)=0 in het punt x=c, dan is
𝑐 een lokaal maximum of minimum.

Answer 52

niet waar:
Als f ′(x)=0, kan x=c een lokaal maximum, minimum of een zadelpunt zijn. Voorbeeld:
f(x)=x ^3 heeft f ‘(0)=0, maar x=0 is een zadelpunt en geen extremum.

Question 53

Als f ′′(x)=0 in het punt x=c, dan is
c een buigpunt.

Answer 53

niet waar:
- Het feit dat f ′′(x)=0 betekent niet automatisch dat er een buigpunt is. Een buigpunt vereist een verandering in de concaviteit (van bol naar hol of omgekeerd), wat inhoudt dat de tweede afgeleide van teken moet veranderen. Controle via f “(x) op een interval rond 𝑐 is nodig.

Question 54

De differentiaal van een functie is gelijk aan het verschil in functiewaarden.

Answer 54

niet waar:
De differentiaal df=f ′(x)dx is een benadering van het verschil in functiewaarden Δf=f(x+dx)−f(x), maar ze zijn niet exact gelijk. Het verschil in functiewaarden omvat ook hogere-orde termen.

Question 55

Elke functie kan gelineariseerd worden in elk van zijn punten.

Answer 55

niet waar:
Niet alle functies kunnen in elk punt gelineariseerd worden. Alleen functies die differentieerbaar zijn in een punt x=c kunnen daar lokaal benaderd worden door een lijn, met vergelijking y=f(c)+f ′(c)(x−c). Als de functie niet differentieerbaar is, is linearisatie niet mogelijk.

Question 56

Elke functie heeft een expliciete voorstelling.

Answer 56

niet waar:
Sommige functies hebben geen expliciete voorstelling, maar kunnen impliciet worden beschreven. Bijvoorbeeld, de functie x 2 +y 2=1 beschrijft een cirkel en is niet expliciet geschreven als y=f(x).

Question 57

De functie y=x ^2is inverteerbaar.

Answer 57

niet waar:
- De functie y=x ^2is niet inverteerbaar over zijn gehele domein, omdat het niet injectief is (één-op-één). Bijvoorbeeld, x=2 en x=−2 geven beide y=4. Over een beperkt domein, zoals x≥0, kan de functie wel inverteerbaar worden.

Question 58

Een homogeen stelsel van vergelijkingen kan geen oplossingen hebben.

Answer 58

niet waar:
- Een homogeen stelsel van vergelijkingen heeft altijd minstens één oplossing: de triviale oplossing
x=0.

Question 59

Twee vectoren staan loodrecht op elkaar als en slechts als hun inwendig product gelijk is aan 0.

Answer 59

waar:
- Het inwendig product van twee vectoren is a⋅b=∣a∣∣b∣cos(θ). Als θ=90 ∘, dan is cos(θ)=0, wat betekent dat het inwendig product nul is.

Question 60

De functie y=x4-cos x is een even functie.

Answer 60

waar:
is even

Question 61

Een complex getal met een negatief argument is gelegen in het derde of vierde kwadrant.

Answer 61

waar:
- Het argument van een complex getal geeft de hoek aan die het maakt met de positieve reële as. Een negatief argument betekent dat de hoek negatief is, wat overeenkomt met ligging in het derde of vierde kwadrant.

Question 62

De rationale functie (x+1)/((x+2)(x+1)) heeft een verticale asymptoot in x=-1

Answer 62

niet waar:
- De factor x+1 in de teller en noemer annuleert elkaar, dus er is geen verticale asymptoot in x=−1. In plaats daarvan is er een verwijderbare discontinuïteit in x=−1.

Question 63

De zadelpunten van een functie kunnen bepaald worden d.m.v. de tweede afgeleide van de functie.

Answer 63

niet waar:
- Zadelpunten worden geïdentificeerd door de eerste afgeleide gelijk te stellen aan nul (kritieke punten) en te analyseren of de tweede afgeleide van teken verandert rondom het punt. De tweede afgeleide alleen is niet voldoende.

Question 64

Twee vectoren zijn evenwijdig met elkaar als en slechts als hun uitwendig product gelijk is aan 1.

Answer 64

niet waar:
- Twee vectoren zijn evenwijdig als hun uitwendig product a× b=0. Het uitwendig product gelijk aan 1 heeft geen betekenis in dit verband.

Question 65

De adjunct van de matrix is gelijk aan de inverse matrix vermenigvuldigd met zijn determinant.

Answer 65

waar:
De adjunct (geconjugeerde matrix) voldoet aan Adj(A)=det(A)A ^−1Dit geldt alleen als det(𝐴)≠0

Question 66

Elke functie heeft een primitieve functie

Answer 66

waar:
Elke continue functie heeft een primitieve (of antiderivatieve) functie volgens de hoofdstelling van de integraalrekening.

Question 67

Elk complex getal heeft een exponentiële schrijfwijze

Answer 67

waar:
- Elk complex getal kan worden geschreven in de vorm z=re ^iθ, waar 𝑟 de modulus en 𝜃 het argument is.

Question 68

De afgeleide van een functie komt overeen met de raaklijn van de functie.

Answer 68

niet waar:
De afgeleide geeft de helling van de raaklijn, maar niet de volledige raaklijnvergelijking.

Question 69

De bepaalde integraal van een oneven functie over het interval
[−10,10] is gelijk aan 0.

Answer 69

waar:
- Bij een oneven functie geldt f(−x)=−f(x), waardoor de positieve en negatieve bijdragen elkaar opheffen over een symmetrisch interval.

Question 70

De kegelsnede 16x ^2+4y ^2+32x+24y+12=0 stelt een hyperbool voor.

Answer 70

niet waar:
- De vergelijking stelt een ellips voor. Door te herschrijven in standaardvorm kun je zien dat het een ellips is vanwege de positieve coëfficiënten van 𝑥^2en y ^2 met verschillende waarden.

Question 71

het scalair poduct van 2 loodrechte vectoren is gelijk aan het vectorieel product van 2 evenwijdige vectoren

Answer 71

waar:
scalair product van 2 loodrechte vectoren
a⋅ b =∣a∣∣ b∣cosθ
Als a en b loodrecht op elkaar staan, dan is
θ=90 ∘, en dus cos(90 ∘)=0.
Daarom:
a⋅ b=0.

vectorieel product van 2 evenwijdige vectoren:
a× b=∣a∣∣b∣sinθ n
Als 𝑎 en b evenwijdig zijn, dan is
sin(0 )=0 of sin(180 )=0.
Daarom:
a×b=0.

Question 72

het getal -i+1 heeft oneindig veel verschillende schrijfwijzes

Answer 72

De bewering is waar. Het complexe getal −i+1 heeft in de exponentiële en poolcoördinaten representatie oneindig veel verschillende schrijfwijzen, omdat de hoek
θ periodiek is met een periode van
2π.

Question 73

de functie y = sin x is niet inverteerbaar

Answer 73

De bewering “De functie y=sinx is niet inverteerbaar” is waar wanneer we naar de functie op haar volledige domein kijken, omdat de sinusfunctie niet injectief is. Echter, door het domein te beperken, kan de sinusfunctie wel inverteerbaar worden.

Question 74

f”h(x)=0 is het punt x=c , dan is c een buigpunt

Answer 74

De bewering is niet altijd waar. Het is mogelijk dat f ′′(x)=0 bij x=c een buigpunt aangeeft, maar het is niet gegarandeerd. Er moeten extra voorwaarden, zoals de derde afgeleide, in overweging worden genomen om te bepalen of het daadwerkelijk een buigpunt is

Question 75

als je 2 vectoren hebt, dan kan je altijd zowel een vlak als een rechte op ondubbelzinnige wijze bepalen

Answer 75

Rechtdoor: Met twee vectoren kun je altijd een rechte bepalen, op voorwaarde dat de vectoren niet identiek of lineair afhankelijk zijn.
Vlak: Met twee vectoren kun je een vlak bepalen indien de vectoren niet lineair afhankelijk zijn (d.w.z., ze moeten niet parallel zijn).

Question 76

het complex getal i^3 ligt in het tweede kwadrant

Answer 76

Omdat −i zich op de negatieve imaginaire as bevindt (geen reëel deel en imaginair negatief), ligt i ^3=−i op de grens van het derde en vierde kwadrant, maar strikt genomen niet in het tweede kwadrant.

Question 77

de functie y^2/a^2-x^2/b^2=4 heeft enkel een impliciete schrijfwijze

Answer 77

Dit is echter niet één enkele functie, maar twee afzonderlijke functies (y positief en
y negatief). Dit betekent dat de oorspronkelijke vergelijking inderdaad vaak impliciet wordt gelaten omdat het eenvoudiger is om beide takken van de hyperbool te beschrijven.

Question 78

als de afgeleide van een functie in een punt gelijk is aan nul dan bereikt de functie een extremum in dit punt

Answer 78

De bewering is niet altijd waar. Het feit dat f ′(x)=0 betekent alleen dat de helling horizontaal is, maar het garandeert geen extremum.

Question 79

zij A een (4*5) matrix, wanneer de rang van A gelijk is aan 3, dan bezit het stelsel ax=0 minstens 3 oplossingen

Answer 79

De bewering dat het stelsel
Ax=0 minstens 3 oplossingen heeft is juist. Omdat de dimensie van de nulruimte gelijk is aan 2, zijn er oneindig veel oplossingen.

Question 80

de functie y=-x^2 -6 is inverteerbaar

Answer 80

De functie y=−x 2−6 is niet injectief, omdat dezelfde
y-waarde overeenkomt met twee
x-waarden (x en −x). Hierdoor is de functie als geheel niet inverteerbaar.

Question 81

Het complex getal
1/i heeft geen exponentiële schrijfwijze

Answer 81

niet waar:
- e ^−iπ/2

Question 82

De 4 oplossingen in
C van de vergelijking z ^16=−i ^4
liggen op een cirkel met straal 1.

Answer 82

waar i ^4=−1 ^ 4=−1.

Question 83

De bepaalde integraal van de functie f(x)=x ^3+sin(x) over het interval (−5,5) is gelijk aan 0.

Answer 83

waar:
sin(x) is een oneven functie en heeft dezelfde eigenschap = 0

Question 84

Het vectorieel product van de eenheidsvector van de Z-as met de vector (2,0,0) is een vector evenwijdig met de Y-as.

Answer 84

De eenheidsvector van de Z-as is k=(0,0,1), en het vectorieel product is: k×(2,0,0)=(0,2,0).
Deze vector is evenwijdig met de
Y-as.

Question 85

Het scalair product van 2 evenwijdige vectoren is gelijk aan 0

Answer 85

niet waar:
Het scalair product van twee vectoren u⋅v=∣u∣∣v∣cos(θ),
waar θ de hoek tussen de vectoren is. Als de vectoren evenwijdig zijn, is θ=0 of 180 ∘, en
cos(𝜃)≠0. Het scalair product is alleen 0 als een van de vectoren de nulvector is.

Question 86

De rationale functie
2x+1/(x+2)(x−2) heeft geen verticale en geen horizontale asymptoten.

Answer 86

niet waar:
Verticale asymptoten: De noemer
(x+2)(x−2)=0 bij x=±2, dus er zijn verticale asymptoten bij
Horizontale asymptoot: Voor
∣x∣→∞, de graad van de teller (2x+1) is gelijk aan de graad van de noemer ((x+2)(x−2)), en de horizontale asymptoot wordt bepaald door de leidende coëfficiënten:y= 2/1 =2.
Dus de functie heeft zowel verticale als horizontale asymptoten.