Week 13 - 15/11

Question 1

Analysis - Reihen und Folgen

Satz para calcular un límite

Answer 1

Sean An y Bn sucesiones convergentes en K, cuyos respectivos límites sean a y b.

1. lim (xAn + yBn) = xa + yb, x,y pertenecen a K
2. lim(An * Bmn ) = a * b
3. lim (1/An) = 1/a, lim √a = a

Question 2

Analysis - Reihen

Definición de Reihen

Answer 2

Sea (An)n una sucesión. La serie asignada es la sucesión de las sumas parciales.
Sn = ∑ak

El límite se escribe:
lim Sn: ∑ak

Question 3

Diferencia entre Sucesión (Folge) y Serie (Reihe)

Answer 3

Una sucesión es una menge de elementos a base de un criterio, y la serie sería la suma de sus términos

Question 4

Analysis - Reihen

Observaciones de la definición de Serie

Answer 4

1. para convergencia tiene que converger hacia 0 (Nullfolgen)
2. La regla para calcular una Sucesión, igual sirve ∑(xak + ybk) = xa + yb
3. Para Ak > 0, es ∑Ak monoton wachsend y beschränkt , entonces ∑Ak es convergente

Question 5

Analysis

Definición de Serie alternante

Answer 5

Sea una serie (Ak)k>0 monotona decreciente a cero, con Ak > 0. Entonces converge la Serie alternante Σ(-1)^k ak

Question 6

Analysis - Reihe

Definición de Convergencia absoluta

Answer 6

Una serie ΣAk se llama convergente absoluta, caso que Σ|Ak| converja

Question 7

Analysis - Reihe

Observaciones acerca de Convergencia absoluta

Answer 7

1. Convergencia absoluta –> convergencia
2. La convergencia absoluta es invariante bajo el reordenamiento de sus términos

Question 8

Analysis - Reihe

Criterios para Convergencia absoluta

Answer 8

Se tiene que cumplir lo siguiente:
1. Existe una ΣCk mayor que 0, y |Ak| menor igual que Ck a partir de K mayor igual que N, un numero natural(Criterio de comparación). Ck se llama majorante (
2. La mayorante sirve de la siguiente manera: si la mayorante converge, ya que funciona como limite superior, significa que la serie “original” es convergente absoluta
3. El Criterio de la raíz habla de la raiz del valor absoluto de la
FALTA ESCRIBIR DESCRIPCIÓN

Question 9

Analyse - Reihen

Qué forma tiene la potenzreihe

Answer 9

Σ(Ak)x^K

Question 10

Analysis - Reihen

Radio de Convergencia: Definicion y Observaciones

Answer 10

S:= 1/lim k√|Ak|

La Serie converge absolutamente para |x| < , y diverge para |x| > . |X-Xo| < S para convergencia estandar.

Observaciones:
- El borde der Rand tiene que adicionalmente ser investigado/conseguido |x| =
- Alternativamente vale: 1/|Ak+1/Ak|

Question 11

Analysis - Exponentialreihen

Teorema y Defincion de Radio de convergencia

Answer 11

La serie Σ 1/k! x^k, cuyo radio de convergencia es S=infinito, es decir converge para todas las x de K absolutamente.

Question 12

Analysis - Reihen

Producto de Cauchy

Answer 12

Se dice que para dos series absolutamente convergentes ΣAk y ΣBk, el producto de Cauchy igual converge:

La forma es ΣCk = (ΣAk) * Σ(Bk)

Question 13

Analysis - Reihen

Teorema sobre las funciones geométricas sin y cos

Answer 13

Cos t = Re(e^it)
Sin t = Im(e^it)
e^it = cos t + sin t

Question 14

Analysis - Reihen

Potenzreihen basierend auf cos t und sin t

Answer 14

cos t = Σ (-1)^j * (t^2j)/(2j)i

sin = Σ (-1)^j * (t^2j+1)/(2j+1)i

Question 15

Analysis - Reihen

Observaciones acerca de las funciones geométricas

Answer 15

Es gilt:
- cos t = Realteil e^it = 0.5 (e^it + e^-it)
- sin t = Imaginärteil e^it = 0.5 (e^it - e^-it)

e^iπ = cos π + i sin π = -1
e^iπ/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i

Question 16

Lineare Algebra -

Fórmula de Best approximation

Answer 16

u * (x) = Σαk bk (x)

mit αk = < v1, bk>

Question 17

Lineare Algebra

Definición de Aplicaciones Lineales (Lineare Abbildungen)

Answer 17

• V y W son espacios vectoriales sobre K. Una función θ que va de V a W se llama aplicación Lineal en caso que:
• θ (α x + βy) = αθ (x) + βθ(y), todas las x y y pertenecientes de V, y los escalares de K

Question 18

Lineare Algebra

Observaciones sobre Aplicaciones lineales

Answer 18

1. θ(0) = 0 siempre
2. w^ = θ(1 v^) es subespacio, caso que v^ sea igualmente subespacio de V
3. Para A = {X1, ….., Xn} Teilemenge de V, entonces aplica que θ(span(A)) = span(θ(A))
   4.

Question 19

Lineare Algebra

Definición de Kern/Nullraum y de Image/Bildraum

Answer 19

Sei θ : V –> W Lineare Abbildung

i) Kerθ := {x de V|θ(x) = 0} c V se llama Kern oder Nullraum
ii) Imθ := {y de W|existe un x de V, y = θ(x)} = θ(V) c W se llama Image oder Bildraum

Observación:

Kerθ es Unterraum de V, Imθ es Unterraum de W