Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question 1

Was versteht man unter der bedingten Wahrscheinlichkeit und wie lautet die Formel?

Answer 1

Unter bedingter relativer Häufigkeit meint man, dass vor der Durchführung eines Zufallsexperiments bereits ein Ereignis ,,A” eingetreten und bekannt ist, sowie das zweite Ereignis ,,B”, in Abhängigkeit des eingetretenen steht.

Daraus ergibt sich die Formel:
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
(Man sagt hier: Wahrscheinlichkeit von B unter
der Bedingung A)

Question 2

Wie lautet die Formel des Multiplikationssatzes?

Answer 2

P(A ∩ B) = P(B | A) ⋅ P(A) = P(A | B) ⋅ P(B) 
mit P(A)∧P(B) ≠ 0

Hinweis:
Zwischen Wahrscheinlichkeiten unter der selben Bedingung gelten die gleichen Gesetze wie bisher auch!
• P(A|C) = 1 − P(A|C)
• P(A ∪ B|C) = P(A|C) + P(B|C) − P(A ∩ B|C)
• P(A ∩ B|C) = P(A|C) ⋅ P(B|A ∩ C)

Question 3

Verständnisfrage 3:

Vor uns steht eine Urne, die 3 schwarze Kugeln (Nummer 1-3) und 4 rote Kugeln (Nummer 4-7) enthält. Wir ziehen ohne Zurücklegen und nacheinander zwei Kugeln aus der Urne. Wir definieren die Ereignisse A: Die erste gezogene Kugel ist rot
und B: Die zweite gezogene Kugel ist rot. Nun wollen wir ein wenig rechnen:

a) Wie wahrscheinlich ist es, zwei schwarze Kugeln zu ziehen?
b) Wie wahrscheinlich ist es, zuerst rot und dann schwarz zu ziehen?
c) Wie wahrscheinlich ist es, eine rote und eine schwarze zu ziehen? Anders formuliert: Wie wahrscheinlich ist es, genau eine rote zu ziehen?
d) Wie wahrscheinlich ist es, dass die erste oder (∪) zweite rot ist?

Answer 3

a) Gesucht ist: P(Ā ∩ Ē), wir kennen P(Ā) = 3/7
und P(Ē|Ā) = 2/6.
Also P(Ā ∩ Ē) = P(Ā) ⋅ P(Ē|Ā) = 3/7 * 2/6 ≈ 14.3%

b) Gesucht ist: P(A ∩ Ē), wir kennen P(A) = 4/7
und P(B|A) = 3/6.
Also P(A ∩ Ē) = P(A) ⋅ P(Ē|A) = 4/7 * 3/6 ≈ 28.6%

c) Gesucht ist: P(A ∩ Ē) + P(Ā ∩ B)
Also P(A ∩ Ē) + P(Ā ∩ B) =
P(A) ⋅ P(Ē|A) + P(Ā) ⋅ P(B|Ā) =
4/7 * 3/6 + 3/7 * 4/6 ≈ 57.1%

d) Hier kann man mit dem Gegenereignis rechnen: Ist keine rot, sind beide schwarz.
P(A ∪ B) = 1 − P(Ā ∩ Ē) = 1 - 3/7 * 2/6 ≈ 85.7%

Question 4

Was versteht man unter der bedingten relativen Häufigkeit und wie lautet deren Formel?

Answer 4

Mit der bedingten relativen Häufigkeit sagt aus, wie hoch eine Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit einer Bedingung ist. Also wie hoch die Wahrscheinlichkeit bspw. wäre, dass jemand studiert, obwohl er keine Lust darauf hat.

Formel:
fA | B = hA∩B / hB = fA∩B / fB

Question 5

Wie lautet der Satz von Bayes?

Answer 5

P(A | B) = P(A) ⋅ P(B | A) / P(B)

Hinweis:
Wird dann verwendet, wenn Werte berechnet werden müssen, weil bspw. nicht aus einem Wahrscheinlichkeitsbaum ablesbar.

!!!
In der Regel wird außerdem der ,,Satz der totalen Wahrscheinlichkeit” benötigt
!!!