Grundbegriffe der Statistik

Question 1

Was ist die beschreibende oder deskriptive Statistik?

Answer 1

Sie beschreibt und stellt bekannnte Daten dar und fässt diese in Kennzahlen und Diagrammen zur anschließenden Interpretation zusammen

Question 2

Was sind Anwendungsgebiete der Stochastik?

Answer 2

• Big Data / Predictive Analytics / Data-Mining
• Bild-/Sprachverabeitung
• Kompressionsverfahren
• Kryptografie

Question 3

Was versteht man unter der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

Answer 3

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befässt sich mit Systemen, deren Verhalten nicht exakt vorhersehbar ist, aber trotzdem quantitativ (in Zahlen) beschreiben kann

Question 4

Was versteht man unter der Schließende Statistik oder induktiver Statistik?

Answer 4

Unter der schließenden oder der induktiven Statistik, versteht man das Ziehen von Rückschlüssen aus unvollständigen Daten, zu einem zugrunde liegenden System

Anwendungsgebiete z.B.:

• Data Mining
• Umfrageauswertungen
• Maschinelles Lernen
• z.B. für Lastprognosen (Web-Server)
• oder für Absatzprognosen (Handel)

Question 5

Was sind Anwendungsgebiete der beschreibende oder deskriptive Statistik?

Answer 5

• Allgemeine Statistiken
• Arbeitslosenstatistik
• Business Intelligence (systematischen Analyse des eigenen Unternehmens)
• Server-Verfügbarkeitsstatistik

Question 6

Was sind Themengebiete der Stochastik?

Answer 6

• Beschreibende / diskriptive Statistik
• Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Schließende / induktive Statistik

Question 7

Was versteht man unter einem Zufallsexperiment?

Answer 7

• Ist ein Vorgang, der
  • beliebig oft unter den gleichen Bedingungen wiederholt
  werden kann und
  • dessen Ergebnis nicht mit Sicherheit vorhergesagt
  werden kann.
• Die Menge aller möglichen (sich gegenseitig ausschließenden) Ergebnisse des Zufallsexperiments wird Ergebnismenge (oder Ereignismenge, Ergebnisraum) genannt und üblicherweise mit Ω bezeichnet

Beispiel: Wurf eines sechsseitigen, perfekten Würfels

Annahme: Der Werfer kann den Würfel nicht so exakt werfen, dass eine zuvor gewählte Seite nach
dem Wurf oben liegt. Andernfalls handelt es sich nicht mehr um ein Zufallsexperiment, da der
Ausgang des Vorgangs vorhersehbar ist.

Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Question 8

Was versteht man unter einem unmögliche Ereignis?

Answer 8

Die leere Menge { }

Question 9

Was versteht man unter einem sicheren Ereignis?

Answer 9

Das sichere Ereignis ist Ω selbst

Question 10

Was versteht man unter der absoluten Häufigkeit?

Answer 10

Die absolute Häufigkeit ,,hA” gibt an, wie oft ein bestimmter Wert in einer Stichprobe vorkommt

hA von A

Beispiel:
Wir betrachten die Stadionbesucher von Astoria Buxtehude. Beim Derby gegen Eintracht Hückelhoven zählen wir insgesamt 500 (n) Zuschauer. 350 kaufen eine Stadionwurst.
Ist A das Ergeignis A: Eine Stadionwurst wird gekauft

==>
hA = 350 (absolute Häufigkeit) und
fA = hA/n = 350/500 (relative Häufigkeit)

Question 11

Was versteht man unter der relativen Häufigkeit?

Answer 11

Die relative Häufigkeit ist der Anteil der Durchführungen, bei denen das Ereignis A tatsächlich eingetreten ist

fA = hA / n

Beispiel:
Wir betrachten die Stadionbesucher von Astoria Buxtehude. Beim Derby gegen Eintracht Hückelhoven zählen wir insgesamt 500 (n) Zuschauer. 350 kaufen eine Stadionwurst.
Ist A das Ergeignis A: Eine Stadionwurst wird gekauft

==>
hA = 350 (absolute Häufigkeit) und
fA = hA/n = 350/500 (relative Häufigkeit)

Question 12

Was versteht man unter dem statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff?

Answer 12

Der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff meint das unvorhersehbare Ergebnis, bei einer einzelnen Durchführung eines Zufallsexperiments, bei der die relative Häufigkeit bei sehr vielen Wiederholungen aber immer ähnlich ausfällt. Dieser Grenzwert der relativen Häufigkeit von A für wachsenden Stichprobenumfang, bezeichnet man als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A

Question 13

Was versteht man unter einem Wahrscheinlichkeitsraum bzw. unter der axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit?

Answer 13

• Der Wahrscheinlichkeitsraum einer Zufallsgröße bzw. eines Zufallsexperiments besteht aus dem Ereignisraum (Ω,A) und dem sogenannten Wahrscheinlichkeitsmaß ℙ:
• Das Tripel (Ω,A,P) ist der Wahrscheinlichkeitsraum und
  P das W-maß oder auch W-Verteilung
• Das Wahrscheinlichkeitsmaß gibt dazu an, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Ereignisse eintreten. Mehr dazu findest
• Für jedes Ereignis A Element ,,A” heißt dann P(A) die „Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A“

Question 14

Was wäre die nach der ,,axiomatische Definition” Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von A?

Answer 14

P( Ā ) = 1 – P(A)

Question 15

Was wäre nach der ,,axiomatische Definition”, die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses von A ?

Answer 15

P( { } ) = 0

Question 16

Was versteht man unter der Potenzmenge?

Answer 16

• Die Potenzmenge P (M) ist die Menge aller Teil-
  mengen einer Menge M
• Die Potenzmenge einer Menge mit n Elementen enthält, 2^n Elemente <==> | M | = n ⟹ | P (M) | = 2^n

Beispiel:
Für die Menge M = {1, 2} ist P (M) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}

Question 17

Was ist der Durchschnitt zweier Ereignisse A und B ⊆ Ω?

Answer 17

A ∩ B

Question 18

Was ist die Vereinigung zweier Ereignisse A und B ⊆ Ω?

Answer 18

A ∪ B

Question 19

Was ist das Gegenereignis des Ereignisses A ⊆ Ω?

Answer 19

Ā bzw. Ω⧵A

Question 20

Wann spricht man von einer Unvereinbarkeit der Ereignisse A und B?

Answer 20

Man spricht von einer Unvereinbarkeit der Ereignisse A und B, wenn sie sich gegenseitig ausschließen (A und B sind dann disjunkt) ==> A ∩ B = ∅

Question 21

Wann spricht man von einer Vereinbarkeit der Ereignisse A und B?

Answer 21

Man spricht von einer Vereinbarkeit der Ereignisse A und B, wenn sie sich gegenseitig nicht ausschließen ==> A ∪ B != ∅

Question 22

Wann spricht man von einem Elementarereignis?

Answer 22

Das Elementarereignis ist die Teilmenge von Ω, die nur ein Element enthält

Beispiel: Wurf eines Würfels mit Elementarereignissen: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Question 23

VERSTÄNDNISFRAGE 1:
Wir werfen einen Oktaeder (einen Würfel mit acht Seiten – cool, oder?) zwei Mal und schreiben uns beide Augenzahlen auf. Dann gilt:

1. Die Ergebnismenge Ω ist?
2. Die Ereignismenge ,,A” aller bildbaren Ereignisse ist?
3. Das Ereignis A: Die Summe der Augenzahlen ist gerade wird repräsentiert durch die Menge
   A = … dargestellt?
4. Das Ereignis B: Die Summe der Augenzahlen ist ungerade dann entsprechend durch die Menge
   B = … dargestellt?
5. Das Ereignis C: Die Summe der Augenzahlen beträgt 12, wird durch die Menge C = … dargestellt?
6. Das Ereignis D: Es fällt ein Einserpasch ist ein …?
7. Die Ereignisse A und B sind …?
8. Die Ereignisse A und C sind …?
9. Falls das Experiment tatsächlich ω = (1, 2) liefert, dann …?

Answer 23

1. Ω = {(1, 1), (1, 2), … , (8, 8)}
2. ,,A” = 2^64 Elemente
3. A = {(1, 1), (1, 3), … , (8, 8)}
4. B = {(1, 2), (1, 4), … , (8, 7)}
5. C = {(4, 8), (5, 7), (6, 6), (7, 5), (8, 4)}
6. Elementarereignis, da die zugehörige Menge D = {(1, 1)} nur ein Element enthält
7. Diskunkt, da A ∩ B = ∅
8. Vereinbar
9. Ist nur das Ereignis B eingetreten

Question 24

Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit und der Häufigkeit?

Answer 24

Die Häufigkeit bezieht sich auf bekannte Ergebnisse, während es bei der Wahrscheinlichkeit, eher Wahrscheinlichkeitsrechnung geht

Question 25

Was ist das sichere Ereignis?

Answer 25

P(Ω) = 1

Question 26

Was gilt für beliebige, unvereinbare Ereignisse A und B?

Answer 26

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Question 27

Nenne die Additionsregel für zwei beliebige (also nicht unbedingt unvereinbare) Ereignisse A und B?

Answer 27

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Hinweis:
Für Ereignisse A1 , … , An , die paarweise unvereinbar sind, gilt:
P(A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An ) = P(A1 ) + ⋯ + P(An )

Question 28

Was versteht man unter dem Gesetz der großen Zahlen?

Answer 28

Das Gesetz der großen Zahlen sagt aus, dass mit wachsender Anzahl n von Wiederholungen eines Zufallsexperiments, die relative Häufigkeit jedes Ereignisses A, stochastisch gegen die Wahrscheinlichkeit von A konvergiert

D.h., dass für jede beliebige Genauigkeit ε, z.B. für ε = 0.001 mit n → ∞, die Wahrscheinlichkeit gegen Eins konvergiert und die relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, näher als ε beieinander liegen
==> statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff!

Question 29

Welche Eigenschaften hat das Laplace-Experiment?

Answer 29

• Es gibt nur endlich viele mögliche Ergebnisse. Sie besitzen die Wahrscheinlichkeit (k/n)
• Jedes dieser Ergebnisse ist gleich wahrscheinlich (1/n)

Beispiel:
Sie haben einen Würfel mit sechs Seiten und werfen ihn ein Mal. Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis 5 beträgt 1/6 . Das ist übrigens genau identisch mit
der Wahrscheilichkeit für das (Elementar-)Ereignis
A: Die gewürfelte Zahl ist eine 5.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B: Die gewürfelte Zahl ist gerade beträgt 3/6 ==> 1/2

Question 30

VERSTÄNDNISFRAGE 2:

Wir wollen die oben aufgeführten Additionsregeln an einem Beispiel betrachten und schauen uns folgende Ereignisse für ein Bauprojekt an:

• R: Das Projekt wird rechtzeitig fertig.
• V : Das Projekt wird moderat verspätet fertig (maximal 20% zu spät).
• S: Das Projekt wird stark verspätet fertig (mehr als 20% verspätet).
• K : Die geplanten Kosten werden überschritten.

Weiterhin haben wir in der Vergangenheit schon viele Daten gesammelt, sodass wir mit Sicherheit sagen können, dass: P(R) = 1/6 , P(V ) = 1/3 und P(K ) = 70%.

Dann ist

a) P(NichtR) = …?
b) P(R ∪ V ) = …?
c) P(S) = …?
d) P(S ∪ K ) = …?

Answer 30

a) P(NichtR) = 1 − P(R) = 5/6
b) P(R ∪ V ) = P(R) + P(V ) = 3/6 , denn R und V sind unvereinbar
c) P(S) = 1 − P(R ∪ V ) = 3/6
d) P(S ∪ K ) nicht eindeutig bestimmbar, denn S und K sind vereinbar, wir kennen aber P(S ∩ K ) nicht

Question 31

Welche Arten zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten gibt es?

Answer 31

1. Empirisch durch Zählen (Gesetz der großen Zahlen)
2. Berechnung bei Laplace-Experimenten
3. Berechnung aus bestehenden und bereits bekannten Wahrscheinlichkeiten

Question 32

Was versteht man unter einem Ereignis?

Answer 32

• Ein Ereignis (z.B. Teilmenge A) ist erst einmal eine Menge, die ähnlich zum Ergebnis ( ω ) einen möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments ( Ω ) beschreibt.
  Der Unterschied ist, dass ein Ereignis auch mehrere Ergebnisse umfassen kann, somit also stets eine Teilmenge der Ergebnismenge ist

Hinweis:
Ereignisse müssen sich im Gegensatz zu Ergebnissen nicht gegenseitig ausschließen

Beispiel:
Wurf eines Würfels mit Ereignis G:
„Gewürfelte Zahl ist eine gerade Zahl.“
==> G := { 2, 4 ,6 }

Question 33

Was versteht man unter einem Ergebnis?

Answer 33

• Von einem Ergebnis ( ω ) spricht man, wenn es Teilmenge eines eingetretenen Ereignisses ist, das wiederum Teilmenge des Zufallsexperiments ist, also wenn gilt: ω ⊆ A ⊆ Ω

Question 34

Was versteht man unter der Ereignismenge/Ereignisraum?

Answer 34

• Die Menge aller Ereignisse bildet den Ereignisraum des Zufallsexperiments. Er ist die Menge aller möglichen Teilmengen des Ergebnisraums Ω.
  Der Ereignisraum ist also nichts anderes als die Potenzmenge der Ergebnismenge Ω und wird daher oft mit P(Ω) bezeichnet und hat folgende Eigenschaften:

a) Ω ∈ ,,F” (Ergebnismenge muss enthalten sein)
b) Für jedes Ereignis A ∈ ,,F” folgt, dass auch das Gegenereignis Ā ∈ ,,F” im Ereignisraum liegt. Deswegen liegt auch die leere Menge (Gegenereignis von Ω) in ,,F”
c) Für A1, A2, ⋯, Ai ∈ ,,F”, liegt auch eine beliebige Vereinigung ⋃i Ai, mit i ∈ ℕ, im Ereignisraum

Hinweis:
Wenn die Mächtigkeit |Ω| = n ist, so ist die Mächtigkeit der Potenzmenge | P(Ω) | = 2^n
Mit anderen Worten: Wenn der Ergebnisraum Ω aus n Elementen besteht, so gibt es 2^n verschiedene Ereignisse

Question 35

Was versteht man unter der Ergebnismenge/Ergebnisraum?

Answer 35

• Die Ergebnismenge oder der Ergebnisraum ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments und wird als Ω bezeichnet

Beispiel:
Wurf eines Würfels mit Ergebnismenge
Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }