vecteur Flashcards
:)
Comment construire l’image d’un point par une translation ?
La translation qui transforme A en B associe, à tout point C du plan, un unique point D tel que [AD] et [BC] ont le même milieu
Comment caractériser une translation ?
La translation qui transforme A en B est appelé translation de vecteur AB. Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur.
Notion de représentant d’un vecteur et de vecteurs égaux
On dit que vecteur AB et vecteur CD sont des représentants d’un même vecteur u et qu’ils sont égaux. Cette égalité se note vecteur AB = vecteur CD.
Un vecteur u donné admet une infinité de représentant qui sont tous égaux entre eux.
Cela signifie qu’on peut tracer un représentant du vecteur u à partir de n’importe quel point du plan.
Propriété d’égalité de vecteur
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont le même sens, même direction et même longueur.
Egalité vectorielle dans un parallélogramme
Vecteur AB = vecteur CD équivaut à ABDC est un parallélogramme.
La norme d’un vecteur
Par définition la longueur du vecteur u est appelé norme du vecteur u et elle est notée || u ||. Si vecteur AB est un représentant du vecteur u, la norme du vecteur AB est la distance de A à B. || AB || = AB.
Le vecteur nul
Par définition un vecteur nul est un vecteur dont l’origine et l’extrémité sont confondus. On le note 0. (“vecteur nul”)
AA = CC = RR = … = 0
Définition de la somme de deux vecteurs
La somme de vecteur u et vecteur v et le vecteur w associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations du vecteur u et vecteur v. On note vecteur u + vecteur v = vecteur w
La relation de Chasles
Quels que soient les points du plan A,B et C, on a AB + BC = AC (c’est la relation de Chasles)
Propriété d’addition des vecteurs, pour tous vecteur u,v, w du plan
P1. on peut permuter les termes : u + v = v + u
P2. on peut effecteur des sommes partielles : u + (v + w) = (u + v) + w
P3. le vecteur nul est neutre pour l’addition des vecteurs : u + 0 = 0 + u = u
P4 pour tout vecteur u du plan, il existe un unique vecteur noté -u tel que u + -u = 0
on l’appelle vecteur opposé de u
les vecteurs u et -u ont la même direction, la même longueur mais des ses opposés.
Si vecteur AB est représentant de u, alors BA est un représentant de -u on a donc AB = -BA et BA = -AB
Notion de vecteur colinéaire
2 vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que u = kv
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs
Conséquence : 2 vecteurs AB et CD sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction
Notion de vecteur colinéaire : démontrer le parallélisme de deux droites
Deux droites (AB) et (CD) sont prallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Trois points M, N, P sont alignés si et seulement si les vecteurs MN et MP sont colinéaires
Ecriture vectorielle des transformations du plan étudiées au collège
Si une symétrie centrale transforme A en A’ et B en B’ alors vecteur A’B’ égal vecteur -AB
Su une homothétie de centre O et de rapport k tranforme A en A’ et B en B’ alors vecteur A’B’ égal vecteur kAB
Caractérisation vectorielle du milieu d’un segment
I est milieu de [AB] si vecteur IA + vecteur IB = 0
